贵州省八校联盟2015届高三第二次联考试题 数学理 Word版含答案


贵州省八校联盟 2015 届高三第二次联考试题
(理科数学)
命制:遵义四中高三数学备课组 注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分。答卷前考生务必 将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 回答第 I 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3. 答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一

项是符合题目要求的. 1.已知集合 A ? ? x | x( x ? 3) ? 0? , B ? ? x | x ? 1|? 2? , 则 " x ? A"是" x ? B "的 ( )

A.充分不必要条件 C.充分必要条件 ? 1 ? x, x ? R 2.已知 f ( x) ? ? , 则f ( f (1 ? i)) ? ?(1 ? i) x, x ? R

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
( )

A.2 ? i

B.1

C.3

D.3 ? i


3.设随机变量 ? ~ N (2,4), 若P(? ? a ? 2) ? P(? ? 2a ? 3) ,则实数 a 的值为 (
A.1 B.

5 C.5 D.9 3 4.从 1,2,3,?,9 这 9 个数中任取 5 个不同的数,则这 5 个数的中位数是 5 的概率 等于 ( ) 5 5 2 4 A. B. C. D. 1 7 9 7 9 5.某几何体的三视图如图所示, 1 则该几何体的体积为 ( )
正视图 侧视图

1

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俯视图

1 6 2 C. 3 A.

B.

1 2 5 D. 6

6.已知数列 ?an ? 是等差数列,若 a2 ? 2, a4 ? 4, a6 ? 6 构成等比数列,这数列 ?an ? 的公 差 d 等于
A.1 B. ?1 C.2 D. ? 2





, Q ? 63,则输出的 P 的值是 ( 7.执行如图所示的程序框图,如果输入 P ? 153



否 开始 输入正 整数 P,Q 是

Q ? 0?

R为P除以 Q的余数

P=Q

Q=R

输出 P

结束

A.2

B.3

C.9

D.27

8..若二项式 (3 ? x)n (n ? N * ) 中所有项的系数之和为 a ,所有项的系数的绝对值之和
b a 为 b ,则 ? 的最小值为 a b 5 A.2 B. 2


C. 13 6 D. 9 2



? x ? y ?1 ?0 ? x ?1 ? 9.由不等式组 ?e x ? y ? 0 确定的平面区域为 M ,由不等式组 ? 确定的平面区 0 ? y ? e ? ? 0 ? x ?1 ?

域为 N ,在 N 内随机的取一点 P ,则点 P 落在区域 M 内的概率为 ( 3 2 1 3 A.1 ? B.1 ? C.1 ? D.1 ? e e e 2e



10.如图,在正方形 ABCD中,E、F 分别是BC、CD的中点,沿AE、AF、EF把 正方形折成一个四面体,使 B、C、D三点重合,重合后的点记为P,P点在?AEF
内的射影为 O .则下列说法正确的是
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A. O是?AEF的垂心 C. O是?AEF的外心

B. O是?AEF的内心 D. O是?AEF的重心

11.双曲线

x2 y2 ? ? 1的右焦点 F 与抛物线 y 2 ? 4 px ( p ? 0) 的焦点重合,且在第一 4a 2 b 2

象限的交点为 M,MF 垂直于 x 轴,则双曲线的离心率是 A. 2 2 ? 2 B. 2 2 C. 2 ? 1 D. 2 ? 2

(

)

12.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点, OB ? OC ? OD ? 1, OB ? OC ? OD ? 0 ,
A(1,1), 则 AD OB 的取值范围





? A. ? ? ?1 ? 2, 2 ? 1? 1 ?1 C. ? ? 2, ? 2 ?2 ? 2? ?

1 ? 1 B. ? ? ? 2, ? ? 2 ? 2 D. ? ?1 ? 2,1 ?
第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

? 2? ?

2? ?

二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

? 4 13.已知 cos( ? ? ) ? , 则 sin 2? ? 4 5

.

14. 已知数列 ?an ? 的前 n项和为Sn ,点(n, Sn )(n ? N * )在函数y ? 2x2 ? x 的图象 上,则数列 ?an ?的通项公式为 .

15.已知函数 y ? f ( x)( x ? (??, ?2) (2, ??)), 在其图象上任取一点P( x, y)都满足 方程 x2 ? 4 y 2 ? 4. ①函数 y ? f ( x) 一定具有奇偶性; ② 函数 y ? f ( x)在(??,?2) 是单调函数;

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③ ?x0 ? (??, ?2) (2, ??), 使x ? 2 f ( x); ④ ?x ? (??, ?2) (2, ??), 使 x ? 2 f ( x). 以上说法正确的序号是 .

2 2 2 16. 实数 a, b, c, d 的最小值 满足 b ? a ? 2 ? ( c? d ? 3 ln d2) ? 0, 则( b? ) d ? (a? c )

是 . 三.解答题:本大题共 6 小题. 解答须写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.( 本 小 题 满 分 12 分 ) 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 向 量

m ? ( a ? b, si n A? si n C,向量 ) n ? (c,sin A ? sin B) ,且 m // n ;
(Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)设 BC 中点为 D ,且 AD ? 3 ;求 a ? 2c 的最大值及此时 ?ABC 的面积。

18.(本小题满分 12 分)为了促进学生的全面发展,贵州某中学重视学生社团文化 建设, 2014 年该校某新生确定争取进入曾获团中央表彰的 “海济社” 和 “话剧社” 。 已知该同学通过考核选拨进入两个社团成功与否相互独立,根据报名情况和他本 1 3 人的才艺能力,两个社团都能进入的概率为 ,至少进入一个社团的概率为 , 24 8 并且进入“海济社”的概率小于进入“话剧社”的概率。 (1)求该同学分别通过选拨进入“海济社”的概率 p1 和进入“话剧社”的概 率 p2 ; (2)学校根据这两个社团的活动安排情况,对进入“海济社”的同学增加 1 个校本选修课学分,对进入“话剧社”的同学增加 0.5 个校本选修课学分.求该同 学在社团方面获得校本选修加分分数的分布列和数学期望。

19.(本小题满分 12 分)如图,正方形 ABCD 所在平面与等腰三角形 EAD 所在平面
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相交于 AD, EA ? ED, AE ? 平面CDE . (1)求证: AB ? 平面ADE ; (2)设 M 是线段 BE 上一点,当直线 AM 与平面 EAD 所 成角的正弦值为
2 2 时,试确定点 M 的位置. 3

20.(本小题满分 12 分)过椭圆

x2 a2

?

y2 b2

? 1 的右焦点 F 作斜率 k ? ?1 的直线交椭圆于 A,

1 B 两点,且 OA ? OB与a ? (1, ) 共线. 3 (1)求椭圆的离心率;

(2)设 P 为椭圆上任意一点,且 OP ? mOA ? nOB(m, n ? R) 证明: m 2 ? n 2 为定值。

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x . (1) 求函数g ( x) ? f ( x ? 1) ? x的最大值;
1 n ? e(n ? N * , e ? 2.71828 ???); (2) 求证:(1+ ) n 2a(b ? a) . (3) 当0 ? a ? b时,求证:f (b) ? f (a ) ? 2 a ? b2

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请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分. 22. (本小题满分 10 分)如图,⊙O 的半径 OC 垂直于直径 AB,M 为 BO 上一点, CM 的延长线交⊙O 于 N,过 N 点的切线交 AB 的延长线于 P。 (1)求证: PM 2 ? PB ? PA ; (2)若⊙O 的半径为 2 3 ,OB= 3 OM. 求:MN 的长。
N
第22题

C

A

M O

B

P

? 2 t ? x ? ?1 ? ? 2 23. (本小题满分 10 分)已知直线 l 的参数方程为 ? (其中 t 为参数) , ?y ? 2 t ? ? 2
曲线 C1 : ? 2 cos2 ? ? 3? 2 sin 2 ? ? 3 ? 0 ,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴,建 立极坐标系,两种坐标系中取相同长度单位。 (1)求直线 l 的普通方程及曲线 C1 的直角坐标方程; (2)在曲线 C1 上是否存在一点 P ,使点 P 到直线 l 的距离最大?若存在,求出距离最 大值及点 P .若不存在,请说明理由。
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24. (本小题满分 10 分)已知关于 x 的不等式 2x ?1 ? x ?1 ? log2 a. (1)当 a ? 8 时,求不等式解集; (2)若不等式有解,求 a 的范围。

贵州省八校联盟 2015 届高三第二次联考试题 (理科数学)答案 一.选择题 题号 答案 1 A 2 C 3 B 4 C 5 D 6 B 7 C 8 B 9 D 10 11 12 A C B

解析:
2.

f (1 ? i) ? (1 ? i)(1 ? i ) ? 1 ? i 2 ? 2 ? f ( f (1? i )) ? f (2) ? 3,选C
a ? 2 ? 2a ? 3 5 ? 2, 则a ? , 选B 2 3
A'

3. ? =2,根据正态分布的性质, 4. p ?
2 4 5 9 2 4

D'

C'

2 ? , 选C 7

D

B' C

5. 该几何体为 正方体ABCD ? A ' B ' C ' D截去三棱锥A ? A ' BD ,

1 1 5 V ? 1 ? ? ?1?1 ? , 选D 3 2 6
6.
2

A

B

a2 ? 2, a4 ? 4, a6 ? 6成等比数列,则 ? a4 ? 4 ? = ? a2 ? 2 ?? a6 ? 6 ?

化简得d 2 ? 2d ? 1 ? 0, d ? ?1, 选B

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b a 1 8.令x ? 1, a ? 2n , 令x ? ?1, b ? 4n , ? ? 2 n ? n , a b 2 b a 1 1 1 5 令t ? 2n , t ? 2, ? ? 2n ? n ? t ? ? 2 ? ? , 选B a b 2 t 2 2
18 16 14 12

9.

10

8

M 区域为曲边图形ABC , N区域为矩形OBCD,
y = ex

6

y= e 4 y=1 x

D 2 A OB
2 4

C
5 10

20

15

10

5

根据几何概型的定义, 1 S ABC e ? 1 ? 2 3 p? ? ? 1 ? , 选D SOBCD e 2e
15 20 25

6

8

10

P(B,C,D)

12

易知PA、PE、PF 两两垂直, PA ? 平面PEF , 从而PA ? EF , 而PO ? 平面AEF , 则PO ? EF , 所以EF ? 平面PAO ? EF ? AO,同理可知AE ? FO, AF ? EO, ? O为?AEF的垂心,选A

10.

A

M

F

G

O

H

E

11. 易知M ( p, 2 p)且p = 4a ? b , 从而
2 2
3.5

p2 4 p2 ? 2 ? 1, 化简得b 2 ? 4ap 2 4a b

?e ?

2 3 p b c b2 ? 2 而e ? ? 1 ? 2 ? 1 ? 2e , 解得e= 2 ? 1 选C 2a 2.5 8a a 4a
2

?BCD为圆O:x 2 ? y 2 ? 1的内接等边三角形 ? AD ? OB ? (OD ? OA) ? OB ? OD ? OB ? OA ? OB
A(1,1)

1.5

1

? OD OB cos120? ? OA OB cos ? OA, OB ? 1 ? ? ? 2 cos ? OA, OB ? 2

12.
4 3 2 1

B

0.5

D O
0.5 1

C
1

2 3 4 5 6 1 1 ? OA, OB ?? [0, ? ], ? AD ? OB ? [? ? 2, ? ? 2] 2 2 选B

二.填空题
2 2.5

1.5

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3

7 25 解析:
13. ?

14. 10 an ? 4n ? 1

15. ③④

16. 8

13. sin 2? ? ? cos(2 8? ?

?

? ? 7 ) ? ? cos 2(? ? ) ? 1 ? 2 cos 2 (? ? ) ? ? 2 4 4 25
2

14.由题意可得: Sn ? 2n ? n, 易知数列?an ?为等差数列,首项为3,公差为4
6

? an ? 4n ? 1
15.
4

双曲线: 1 渐近y= x 2

x2 4

-y2=1

2

B1
5

P( x,f(x)),

f(x) 1 < x 2

函数的图象是双曲线的一部分。 易知(1) (2)不成立。 (3) (4) 可转化为双曲线的渐近线的斜 率问题, (3) (4)都是满足条件 的。正确答案是(3) (4)
10 15

F2
2

F1

5

16.由题意可知,?b ? a ? 2 ? 0, c ? d 2 ? 3ln d ? 0.

点(b, a )满足方程x ? y ? 2=0,点 ? d , c ? 满足方程y ? x 2 ? 3ln x ? 0 从而(b ? d ) 2 ? (a ? c) 2 可转化为直线x ? y ? 2=0上的点到曲线y ? x 2 ? 3ln x ? 0 的距离的平方. 令f ( x) ? 3ln x ? x 2 , f ?( x) ? 而f (1) ? ?1, ?点(1, -1)到直线x ? y ? 2=0的距离d ? 到曲线y ? x 2 ? 3ln x ? 0的最小值 ? (b ? d ) 2 ? (a ? c) 2的最小值为8. 1?1? 2 2 ? 2 2为直线x ? y ? 2=0上的点 3 ? 2x ? 1 x 解得x ? ? 3 2
(舍去)
4

或x ? 1

三.解答题
17.解: (Ⅰ)因为 m // n ,故有 (a ? b)(sin A ? sin B) ? c(sin A ? sin C ) ? 0
2 2 2 由正弦定理可得 (a ? b)(a ? b) ? c(a ? c) ? 0 ,即 a ? c ? b ? ac

由余弦定理可知 cos B ?

a 2 ? c 2 ? b2 ac 1 ? ? ? ,因为 B ? (0, ? ) ,所以 B ? ……..5 分 3 2ac 2ac 2
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(Ⅱ)设 ?BAD ? ? ,则在 ?BAD 中,由 B ? 由正弦定理及 AD ? 3 有

?
3

可知 ? ? (0,

2? ), 3

BD AB AD ? ? ? 2; 2 ? sin ? sin( ? ? ) sin ? 3 3 2? ? ? ) ? 3 cos ? ? sin ? ,………..7 分 所以 BD ? 2sin ? , AB ? 2sin( 3
所以 a ? 2BD ? 4sin ? , c ? AB ? 3 cos? ? sin ? 从而 a ? 2c ? 2 3 cos ? ? 6sin ? ? 4 3 sin(? ? 由 ? ? (0, 即? ?

?
6

) ………..8 分

?
3

2? ? ? 5? ? ? ) 可知 ? ? ? ( , ) ,所以当 ? ? ? , 3 6 6 6 6 2

时, a ? 2c 的最大值为 4 3 ;………..10 分

此时 a ? 2 3, c ? 3 ,所以 S ?

1 3 3 .………..12 分 ac sin B ? 2 2

18.解: (1)据题意,有

1 ? p1 p2 ? ? ? 24 ? ?1 ? (1 ? p )(1 ? p ) ? 3 1 2 ? 8 ?

(3 分)

1 ? p1 ? ? ? 6 解得 ? ?p ? 1 2 ? 4 ?

(6 分)

(2)令该同学在社团方面获得校本选修课加分分数为 ? ,则 ? 的取值有 0、0.5、1、1.5. (7 分)

p(? p (? p (? p(?
?

1 1 15 ? 0) ? (1 ? )(1 ? ) ? 4 6 24 1 1 5 ? 0.5) ? ? (1 ? ) ? 4 6 24 1 1 3 ? 1) ? (1 ? ) ? ? 4 6 24 1 1 1 ? 1.5) ? (1 ? )(1 ? ) ? 4 6 24
0 0.5 1
第 - 10 - 页 共 15 页

1.5

p

15 24

5 24

3 24

1 24
( 10 分 )

所以, ? 的数学期望为:

E (? ) ? 0 ?

15 5 3 1 7 ? 0.5 ? ? 1? ? 1.5 ? ? 24 24 24 24 24

(12 分)

19.解析:(1)∵AE⊥平面 CDE,CD? 平面 CDE, ∴AE⊥CD. 在正方形 ABCD 中,CD⊥AD, ∵AD∩AE=A,∴CD⊥平面 ADE. ∵AB∥CD,∴AB⊥平面 ADE. (2)由(1)得平面 EAD⊥平面 ABCD,取 AD 中点 O,取 BC 中点 F,连接 EO、OF. ∵EA=ED,∴EO⊥AD, ∴EO⊥平面 ABCD. 以 OA、OF、OE 分别为 x、y、z 轴建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设 AB=2,则 A(1,0,0),B(1,2,0),E(0,0,1). 设 M(x,y,z). ∴ BM =(x-1,y-2,z), BE =(-1,-2,1), ∵B,M,E 三点共线,设 BM =λ BE (0 ? ? ? 1) , ∴M(1-λ ,2-2λ ,λ ), ∴ AM =(-λ ,2-2λ ,λ ). 设 AM 与平面 EAD 所成角为θ ,∵平面 EAD 的一法向量为 n=(0,1,0), ∴sinθ = cos〈AM,n〉 ?
2 ? 2? 6? ? 8? ? 4
2

(2 分)

(4 分)

(5 分) (6 分)

(8 分) (9 分) (11 分) (12 分)

?

1 2 2 ,解得λ = 或λ = ?1 (舍去) , 3 3

∴点 M 为线段 BE 上靠近 B 的三等分点.

20.解:设 AB: y ? ? x ? c ,直线 AB 交椭圆于两点, A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ?

?b2 x2 ? a2 y 2 ? a2b2 2 ? b2 x 2 ? a 2 ? ? x ? c ? ? a 2b 2 , ? b 2 ? a 2 ? x 2 ? 2a 2cx ? a 2c 2 ? a 2b 2 ? 0 ? ? y ? ?x ? c
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x1 ? x2 ?

2a2 c a 2 c 2 ? a 2 b2 , x x ? , 1 2 a 2 ? b2 a 2 ? b2

2/

? 1? OA ? OB ? ? x1 ? x2 , y1 ? y2 ? 与a ? ?1, ? 共线 , ? 3?

3? y1 ? y2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 0,3? ?x1 ? c ? x2 ? c ? ? ? x1 ? x2 ? ? 0
x1 ? x2 ? 3c 2 6a c 6 , a ? 3b2 , c ? a 2 ? b2 ? ,e ? ? 2 3 a 3 6'

(2) a 2 ? 3b2 ,椭圆方程为 x2 ? 3 y2 ? 3b2 , 设M(x,y)为椭圆上任意一点, OM ?(x,y),

OM ? mOA ? nOB , ? x, y ? ? ? mx1 ? nx2 , my1 ? ny2 ? ,点M ? x, y ? 在椭圆上

? mx1 ? nx2 ?

2

? 3 ? my1 ? ny2 ? ? 3b 2
2

2 2 m2 ( x ? n2 ( 2x2 ? 3 2y 2 ? ) 1 ? 3 y 1 )

2m n1 ( x2?x 31 y2 ? y)

2

3 b

/

8

x1 ? x2 ?

3c 2 3 2 2 1 2 ,a ? c ,b ? c , 2 2 2

x1 x2 ?

a 2 c 2 ? a 2b2 3 2 ? c , 8 a 2 ? b2

x1 x2 ? 3 y1 y2 ? x1 x2 ? 3 ? ? x1 ? c ?? ? x2 ? c ? ? 4 x1 x2 ? 3c ? x1 ? x2 ? ? 3c 2 3 9 ? c 2 ? c 2 ? 3c 2 ? 0 2 2 10'

x12 ? 3 y12 ? 3b2 , x2 2 ? 3 y2 2 ? 3b2代入得 3b2 m2 ? 3b2 n2 ? 3b2 , m2 ? n2 ? 1 12'

21.(1) g ( x) ? f ( x ? 1) ? x ? ln( x ? 1) ? x得 ? x ? (?1, 0), g ?( x) ? 0, g ( x)单调递增; x ? (0, ??), g ?( x) ? 0, g ( x)单调递减; ? g ( x)max ? g (0) ? 0

g ?( x) ?

1 ?x ?1 ? 1? x 1? x

4分

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1 1 1 (2)证明:由(1)可知, ln( x ? 1) ? ( x x ? 0)得, ln(1 ? ) ? ? ln(1 ? ) n ? 1 n n n 1 n ? (1 ? ) ? e.得证. 8分 n

(3)(方法较多)证明:f (b) ? f (a) ? ln b ? ln a ? ln 由(1)可知, ln( x ? 1) ? x a ?b b?a ? f (b) ? f (a) ? ? b b 2 2 0 ? a ? b,? a ? b ? 2ab 1 2a ? ? 2 b a ? b2 b ? a 2a(b ? a ) ? ? 2 b a ? b2 2a(b ? a) f (b) ? f (a) ? 2 .得证. a ? b2

b a a ?b ? ? ln ? ? ln(1 ? ) a b b

12分

22. 解:(1)连结 ON,则 ON ? PN ,且 ?OCN 为等腰三角形 则 ?OCN ? ?ONC , ? ?PMN ? ?OMC ? 90? ? ?OCN , ?PNM ? 90? ? ?ONC

C

? ?PMN ? ?PNM ,? PM ? PN

??3 分
A M O B P

2 由条件,根据切割线定理,有 PN ? PB ? PA ,所以 PM ? PB ? PA

2

??5 分
N

2 2 (2) OM ? 2 ,在 Rt ?COM 中, CM ? OC ? OM ? 4 .

第22题

BM ? OB ? OM ? 2 3 ? 2 AM ? OA ? OM ? 2 3 ? 2
根据相交弦定理可得: MN ? CM ? BM ? AM
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??7 分

? MN ?

BM ? AM (2 3 ? 2)(2 3 ? 2) ? ?2 CM 4

??10 分

(1)23.解: (1) l : y ? x ? 1

C1 :

x2 ? y2 ? 1 3

??5 分

(2)由题意可知 C1 : ?

? x ? 3 cos? (其中 ? 为参数) y ? sin ? ?

??6 分

? P 到 l 得距离为 d ?

3 cos? ? sin ? ? 1 2

2 sin(? ? ) ? 1 3 ? 2

?

??7 分

? d max ?
此时 sin(? ?

3 3 ? 2, 2 2

??8 分

?
3

) ? ?1 , ? ?

?
3

? 2k? ?

?
2

, ? ? 2 k? ?

?
6

??9 分

? x p ? 3 cos ? ?
即 P ( ,? ) .

3 1 , y p ? sin ? ? ? 2 2
??10 分 ??1 分 ??2 分

3 2

1 2

24.解: (1)由题意可得: 2x ?1 ? x ?1 ? 3 当x? 当

1 1 时, ? 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3, x ? ?3 ,即 ? 3 ? x ? 2 2
??3 分 ??4 分

1 5 ? x ? 1 时, 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,即 x ? 2 3

当 x ? 1 时, 2 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,即 x ? 3

? 该不等式解集为 ?x ? 3 ? x ? 3?.
(2)令 f ( x) ? 2x ?1 ? x ?1 ,有题意可知: log2 ? f ( x) min
a

??5 分 ??6 分

1 ? ? ? x, x ? 2 ? 1 ? 又? f ( x ) ? ?3 x ? 2, ? x ? 1 2 ? x , x ?1 ? ? ?

??8 分

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? f ( x) min ? ?
即a ? 2
? 1 2

1 2

??9 分

,a ?

2 2

??10 分

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