一次函数知识点总结和常见题型归类


一次函数知识点总结与常见题型 基本概念 1、变量:在一个变化过程中可以取不同数值的量。 常量:在一个变化过程中只能取同一数值的量。 例题:在匀速运动公式 s ? vt 中, v 表示速度, t 表示时间, s 表示在时间 t 内所走的路程,则变量是________,常量 是_______。在圆的周长公式 C=2π r 中,变量是________,常量是_________. 2、函数:一般的,在一个变化过程中,如果有两个变量 x 和 y,并且对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的 值与其对应,那么我们就把 x 称为自变量,把 y 称为因变量,y 是 x 的函数。 *判断 Y 是否为 X 的函数,只要看 X 取值确定的时候,Y 是否有唯一确定的值与之对应 1 1 2 例题:下列函数(1)y=π x (2)y=2x-1 (3)y= (4)y= -3x (5)y=x -1 中,是一次函数的有( ) x 2 (A)4 个 (B)3 个 (C)2 个 (D)1 个 P116 1 P87 2 3、定义域:一般的,一个函数的自变量允许取值的范围,叫做这个函数的定义域。 4、确定函数定义域的方法: (1)关系式为整式时,函数定义域为全体实数;(2)关系式含有分式时,分式的分母不等于零; (3)关系式含有二次根式时,被开放方数大于等于零;(4)关系式中含有指数为零的式子时,底数不等于零; (5)实际问题中,函数定义域还要和实际情况相符合,使之有意义。 例题:下列函数中,自变量 x 的取值范围是 x≥2 的是( )

A.y= 2 ? x
函数 y ?

B.y=

1 x?2

C.y= 4 ? x2

D.y= x ? 2 · x ? 2

x ? 5 中自变量 x 的取值范围是___________.

已知函数 y ? ?

1 x ? 2 ,当 ? 1 ? x ? 1 时,y 的取值范围是 ( ) 2 5 3 3 5 3 5 3 5 A. ? ? y ? B. ? y ? C. ? y ? D. ? y ? 2 2 2 2 2 2 2 2

5、函数的图像 一般来说,对于一个函数,如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标,那么坐标平面内由这 些点组成的图形,就是这个函数的图象.例题:P117 5 6、函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 7、描点法画函数图形的一般步骤 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值) ; 第二步:描点(在直角坐标系中,以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标,描出表格中数值对应的各 点) ;第三步:连线(按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来) 。 (画 3 个图像) 8、函数的表示方法 列表法:一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的,不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法:简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函 数关系,不能用解析式表示。 图象法:形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 9、正比例函数及性质 一般地,形如 y=kx(k 是常数,k≠0)的函数叫做正比例函数,其中 k 叫做比例系数. 注:正比例函数一般形式 y=kx (k 不为零) ① k 不为零 ② x 指数为 1 ③ b 取零 (1) 解析式:y=kx(k 是常数,k≠0) (2) 必过点:(0,0)、(1,k) (3) 走向:k>0 时,图像经过一、三象限;k<0 时,?图像经过二、四象限 (4) 增减性:k>0,y 随 x 的增大而增大;k<0,y 随 x 增大而减小 (5) 倾斜度:|k|越大,越接近 y 轴;|k|越小,越接近 x 轴
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例题:.正比例函数 y ? (3m ? 5) x ,当 m 若 y ? x ? 2 ? 3b 是正比例函数,则 b 的值是

时,y 随 x 的增大而增大. ( )

A.0

B.

2 3

C. ?

2 3

D. ?

3 2

.函数 y=(k-1)x,y 随 x 增大而减小,则 k 的范围是 ( ) A. k ? 0 B. k ? 1 C. k ? 1 D. k ? 1 东方超市鲜鸡蛋每个 0.4 元,那么所付款 y 元与买鲜鸡蛋个数 x(个)之间的函数关系式是_______________. 平行四边形相邻的两边长为 x、y,周长是 30,则 y 与 x 的函数关系式是__________. 10、一次函数及性质 一般地,形如 y=kx+b(k,b 是常数,k≠0),那么 y 叫做 x 的一次函数.当 b=0 时,y=kx+b 即 y=kx,所以说正比例 函数是一种特殊的一次函数. 注:一次函数一般形式 y=kx+b (k 不为零) ① k 不为零 ②x 指数为 1 ③ b 取任意实数 (1)解析式:y=kx+b(k、b 是常数,k ? 0) (2)必过点:(0,b)和(- (3)走向:

b ,0) k
b>0 b<0
经过第一、三、四象限

b=0
经过第一、三象限

经过第一、二、三象限

k>0

图象从左到右上升,y 随 x 的增大而增大 经过第一、二、四象限 经过第二、三、四象限 经过第二、四象限

k<0

图象从左到右下降,y 随 x 的增大而减小 思考:若 m<0, n>0, 则一次函数 y=mx+n 的图象不经过 ( ) A.第一象限 B. 第二象限 C.第三象限 D.第四象限 题型:由 k,b 判断图像,由图像判断 k,b (4)增减性: k>0,y 随 x 的增大而增大;k<0,y 随 x 增大而减小. (5)倾斜度:|k| 越大,图象越接近于 y 轴;|k| 越小,图象越接近于 x 轴. (6)图像的平移: (上加下减,左加右减) 例题:若关于 x 的函数 y ? (n ? 1) x
m?1

是一次函数,则 m=

,n )

.

.函数 y=ax+b 与 y=bx+a 的图象在同一坐标系内的大致位置正确的是(

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将直线 y=3x 向下平移 5 个单位,得到直线 线 .

;将直线 y=-x-5 向上平移 5 个单位,得到直

若直线 y ? ? x ? a 和直线 y ? x ? b 的交点坐标为( m,8 ),则 a ? b ? ____________. 已知函数 y=3x+1,当自变量增加 m 时,相应的函数值增加( ) A.3m+1 B.3m C.m D.3m-1 11、一次函数 y=kx+b 的图象的画法. 根据几何知识:经过两点能画出一条直线,并且只能画出一条直线,即两点确定一条直线,所以画一次函数的 图象时,只要先描出两点,再连成直线即可.一般情况下:是先选取它与两坐标轴的交点:与 y 轴的交点(0,b), 与 x 轴的交点( ?

b ,0).即横坐标或纵坐标为 0 的点. k

14、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤: (1)根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式; (2)将 x、y 的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中得到以待定系数为未知数的方程; (3)解方程得出未知系数的值; (4)将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 15、一元一次方程与一次函数的关系 任何一元一次方程到可以转化为 ax+b=0(a,b 为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次方程可以转化为:当 某个一次函数的值为 0 时,求相应的自变量的值. 从图象上看,相当于已知直线 y=ax+b 确定它与 x 轴的交点的横 坐标的值. 16、一次函数与一元一次不等式的关系 任何一个一元一次不等式都可以转化为 ax+b>0 或 ax+b<0(a,b 为常数,a≠0)的形式,所以解一元一次不等 式可以看作:当一次函数值大(小)于 0 时,求自变量的取值范围. 17、一次函数与二元一次方程组 (1)以二元一次方程 ax+by=c 的解为坐标的点组成的图象与一次函数 y= ? (2)二元一次方程组 ?

a c x ? 的图象相同. b b

?a1 x ? b1 y ? c1 a c a c 的解可以看作是两个一次函数 y= ? 1 x ? 1 和 y= ? 2 x ? 2 的图象交点. b1 b1 b2 b2 ? a 2 x ? b2 y ? c 2

18、一次函数的图像与两坐标轴所围成三角形的面积 一次函数 y=kx+b 的图象与两条坐标轴的交点:与 y 轴的交点(0,b),与 x 轴的交点( ? 直线

b ,0). k

1 b b2 (b≠0)与两坐标轴围成的三角形面积为 s= ? ? b ? 2 k 2k

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常见题型 一、☆考察一次函数定义

y ? ? m ? 1? x m ? 3 是 y 关于 x 的一次函数,则 m 的值为 1、 若函数
2

; 解析式为 , .

.

2、要使 y=(m-2)x

n-1

+n 是关于 x 的一次函数,n,m 应满足

二、☆考查图像性质 1、已知一次函数 y=(m-2)x+m-3 的图像经过第一,第三,第四象限,则 m 的取值范围是________. 2、已知 m 是整数,且一次函数 y ? (m ? 4) x ? m ? 2 的图象不过第二象限,则 m 为 3、直线 y ? kx ? b 经过一、二、四象限,则直线 y ? bx ? k 的图象只能是图 4 中的( ) .

4、如图 6,两直线 y1 ? kx ? b 和 y2 ? bx ? k 在同一坐标系内图象的位置可能是(



5. b 为 6.要得到 y=-

时,直线 y ? 2 x ? b 与直线 y ? 3x ? 4 的交点在 x 轴上.

3 3 x-4 的图像,可把直线 y=- x( ). 2 2

(A)向左平移 4 个单位(B)向右平移 4 个单位 (C)向上平移 4 个单位 (D)向下平移 4 个单位 7、已知一次函数 y=-kx+5,如果点 P1(x1,y1),P2(x2,y2)都在函数的图像上,且当 x1<x2 时,有 y1<y2 成立, 那么系数 k 的取值范围是________. 8、已知点(-4,y1),(2,y2)都在直线 y=- 1 x+2 上,则 y1 、y2 大小关系是( 2 )

(A)y1 >y2 (B)y1 =y2 (C)y1 <y2 (D)不能比较 三、☆交点问题 1、若直线 y=3x-1 与 y=x-k 的交点在第四象限,则 k 的取值范围是( ). (A)k<

1 3

(B)

1 <k<1 3

(C)k>1

(D)k>1 或 k<

1 3
. , b 的取值范围是 .

2、若直线 y ? ? x ? a 和直线 y ? x ? b 的交点坐标为 (m,8) ,则 a ? b ? 3、一次函数 y ? kx ? b 的图象过点 ( m,1) 和 (1, m) 两点,且 m ? 1 ,则 k ? 4、直线 y ? kx ? b 经过点 A(?1, m) , B (m,1) (m ? 1) ,则必有( )

A. k ? 0, b ? 0

B.k ? 0, b ? 0

C.k ? 0, b ? 0
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D.k ? 0, b ? 0

5、如图所示,已知正比例函数 y ? ?

经过点 P(a,1),且一次函数图像与 y 轴交于 Q 点。 (1)求 a、b 的值;(2)求△PQO 的面积。

1 和一次函数 y ? x ? b ,它们的图像都 x 2

四、☆面积问题 1、若直线 y=3x+6 与坐标轴围成的三角形的面积为 S,则 S 等于( ). A.6 B.12 C.3 D.24 2、若一次函数 y=2x+b 的图像与坐标轴围成的三角形的面积是 9,则 b=_______. 3、已知一次函数 y ? 2 x ? a 与 y ? ? x ? b 的图像都经过 A(?2, 0) ,且与 y 轴分别交于点 B, c ,则 ?ABC 的面积为 ( )

A.4

B.5

C.6

D.7

4、已知一次函数 y=kx+b 的图像经过点(-1,-5),且与正比例函数 y=

1 x 的图像相交于点(2,a),求(1) 2

a 的值;(2)k、b 的值;(3)这两个函数图像与 x 轴所围成的三角形面积。
五、☆一次函数解析式的求法 (1) 定义型 例 1. 已知函数 y ? (m ? 3) x m
2

?8

? 3 是一次函数,求其解析式。

(2)点斜型

例 2. 已知一次函数 y ? kx ? 3 的图像过点(2,-1),求这个函数的解析式。

(3)两点型 例 3.已知某个一次函数的图像与 x 轴、y 轴的交点坐标分别是(-2,0)、(0,4),则这个函数 的解析式为_____________。 (4)图像型 例 4. 已知某个一次函数的图像如图所示,则该函数的解析式为__________。
y 2 O 1 x

( 5 )斜截型

例 5. 已知直线 y ? kx ? b 与直线 y ? ?2 x 平行,且在 y 轴上的截距为 2 ,则直线的解析式

为 。 (6)平移型 例 6. 把直线 y ? 2 x ? 1 向下平移 2 个单位得到的图像解析式为



(7) 实际应用型 例 7. 某油箱中存油 20 升, 油从管道中匀速流出, 流速为 0.2 升/分钟, 则油箱中剩油量 Q (升) 与流出时间 t(分钟)的函数关系式为 。 (8)面积型 为 (9)对称型 例 8. 已 知 直 线 y ? kx ? 4 与 两 坐 标 轴 所 围 成 的 三 角 形 面 积 等 于 4 , 则 直 线 解 析 式 。 例 9. 若直线 l 与直线 y ? 2 x ? 1 关于 y 轴对称,则直线 l 的解析式为____________。

知识归纳: 若直线 l 与直线 y ? kx ? b 关于
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(1)x 轴对称,则直线 l 的解析式为 y ? ? kx ? b (3)直线 y=x 对称,则直线 l 的解析式为 y ?

(2)y 轴对称,则直线 l 的解析式为 y ? ? kx ? b

1 b x? k k 1 b (4)直线 y ? ? x 对称,则直线 l 的解析式为 y ? x ? k k
(5)原点对称,则直线 l 的解析式为 y ? kx ? b (10)开放型 的函数关系式 (11)比例型 例 10.一次函数的图像经过(-1,2)且函数 y 的值随 x 的增大而增大,请你写出一个符合上述条件 . 例 11..已知 y 与 x+2 成正比例,且 x=1 时 y=-6.求 y 与 x 之间的函数关系式

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练习题: 1. 已知直线 y=3x-2, 当 x=1 时,y= 2. 已知直线经过点 A(2,3),B(-1,-3),则直线解析式为________________ 3. 点(-1,2)在直线 y=2x+4 上吗? (填在或不在) 4. 当 m 时,函数 y=(m-2) x
m 2 ?3

+5 是一次函数,此时函数解析式为

。 . 。

5. 已知直线 y=3x+b 与两坐标轴所围成的三角形的面积为 6,则函数的解析式为 6. 已知变量 y 和 x 成正比例,且 x=2 时,y=-

1 ,则 y 和 x 的函数关系式为 2

7. 点(2,5)关于原点的对称点的坐标为 ;关于 x 轴对称的点的坐标为 ;关于 y 轴对称的点的坐标 为 。 8. 直线 y=kx+2 与 x 轴交于点(-1,0),则 k= 。 9. 直线 y=2x-1 与 x 轴的交点坐标为 与 y 轴的交点坐标 。 10. 若直线 y=kx+b 平行直线 y=3x+4,且过点(1,-2),则 k= . 11. 已知 A(-1,2), B(1,-1), C(5,1), D(2,4), E(2,2),其中在直线 y=-x+6 上的点有_________,在直线 y=3x-4 上的点有_______ 12. 某人用充值 50 元的 IC 卡从 A 地向 B 地打长途电话,按通话时间收费,3 分钟内收费 2.4 元,以后每超过 1 分 钟加收 1 元,若此人第一次通话 t 分钟(3≤t≤45),则 IC 卡上所余的费用 y(元)与 t(分)之间的关系式 是 . 13. 某商店出售一种瓜子,其售价 y(元)与瓜子质量 x(千克)之间的关系如下表 质量 x (千克) 售价 y(元) 1 3.60+0.20 2 7.20+0.20 3 10.80+0.20 4 14.40+0.2

由上表得 y 与 x 之间的关系式是 14. 已知:一次函数的图象与正比例函数 Y=-

2 X 平行,且通过点(0,4), 3

(1)求一次函数的解析式.(2)若点 M(-

8,m)和 N(n,5)在一次函数的图象上,求 m,n 的值 15. 已知一次函数 y=kx+b 的图象经过点(-1, -5),且与正比例函数 y= (1)a 的值 (2)k,b 的值 (3)这两个函数图象与 x 轴所围成的三角形面积. 1 x 的图象相交于点(2,a),求 2

16. 有两条直线 y1 ? ax ? b , y 2 ? cx ? 5c ,学生甲解出它们的交点坐标为(3,-2),学生乙因把 c 抄错了而解 出它们的交点坐标为 ( , ) ,求这两条直线解析式

3 1 4 4

17. 已知正比例函数 y ? k1 x 的图象与一次函数 y ? k 2 x ? 9 的图象交于点 P(3,-6) (1)求 k1 , k 2 的值。(2)如果一次函数 y ? k 2 x ? 9 与 x 轴交于点 A,求 A 点坐标

18. 某种拖拉机的油箱可储油 40L,加满油并开始工作后,?油箱中的余油量 y(L)与工作时间 x(h)之间为一次 函数关系,如图所示. (1)求 y 与 x 的函数解析式. (2)一箱油可供拖位机工作几小时?
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一、☆分段函数 1、某自来水公司为鼓励居民节约用水,采取按月用水量收费办法, 若某户居民应交水费 的函数关系如图所示。 (1)写出

y (元)与用水量 x (吨)

y 与 x 的函数关系式;

y 39.5 27 0 15 20 x

(2)若某户该月用水 21 吨,则应交水费多少元?

2、果农黄大伯进城卖菠萝,他先按某一价格卖出了一部分菠萝后,把剩下的菠萝全部降价卖完,卖出的菠萝的吨 数

x 和他收入的钱数 y (万元)的关系如图所示,结合图象回答下列问题:
2

y(万元)

(1)降价前每千克菠萝的价格是多少元? 1.92 (2)若降价后每千克菠萝的价格是 1.6 元,他这次卖菠萝的总收入是 2 万 元,问他一共卖了多少吨菠萝?

8

x (吨)

3、某市电力公司为了鼓励居民用电,采用分段计费的方法计算电费:每月不超过 100 度时,按每度 0.57 元计费; 每月用电超过 100 度时,其中的 100 度按原标准收费;超过部分按每度 0.50 元计费. (1)设用电 x 度时,应交电费 y 元,当 x ≤100 和 x >100 时,分别写出 y 关于 x 的函数关系式. (2)小王家第一季度交纳电费情况如下: 月份 交费金额 问小王家第一季度共用电多少度? 一月份 76 元 二月份 63 元 三月份 45 元 6 角 合计 184 元 6 角

4、某校需要刻录一批电脑光盘,若电脑公司刻录,每张需要 8 元(含空白光盘费);若学校自刻,除租用刻录机 需 120 元外每张还需成本费 4 元(含空白光盘费),问刻录这批电脑光盘,到电脑公司刻录费用少?还是自刻费用 少?说明你的理由

二、☆一次函数应用 1、 甲、 乙二人在如图所示的斜坡 AB 上作往返跑训练. 已知: 甲上山的速度是 a 米/分, 下山的速度是 b 米/分, (a<b) ; 乙上山的速度是

1 a 米/分,下山的速度是 2b 米/分.如果甲、乙二人同时从点 A 出发,时间为 t(分),离开点 A 2

的路程为 S(米),?那么下面图象中,大致表示甲、乙二人从点 A 出发后的时间 t(分)与离开点 A 的路程 S(米) ?之间的函数关系的是( )

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2、如图 7,A、B 两站相距 42 千米,甲骑自行车匀速行驶,由 A 站经 P 处去 B 站,上午 8 时,甲位于距 A 站 18 千米 处的 P 处,若再向前行驶 15 分钟,使可到达距 A 站 22 千米处.设甲从 P 处出发 x 小时,距 A 站 y 千米,则 y 与 x 之 间的关系可用图象表示为( )

3、汽车由重庆驶往相距 400 千米的成都,如果汽车的平均速度是 100 千米/时,那么汽车距成都的路程 s(千米) 与行驶时间 t(小时)的函数关系用图象表示为( ) S/km
400 200 0

S/km
400 200

S/km
400 200 4

S/km
400 200 2 4

A2

4

t/h

0B 2

t/h

C0

t/h

D 0

2

4

t/h

4、某油库有一大型储油罐,在开始的 8 分钟内,只开进油管,不开出油管,油罐的油进至 24 吨(原油罐没储油) 后将进油管和出油管同时打开 16 分钟,油罐内的油从 24 吨增至 40 吨,随后又关闭进油管,只开出油管,直到将 油罐内的油放完,假设在单位时间内进油管与出油管的流量分别保持不变. (1)试分别写出这一段时间内油的储油量 Q(吨)与进出油的时间 t(分)的函数关系式. (2)在同一坐标系中,画出这三个函数的图象.

5、甲乙两个仓库要向 A、B 两地运送水泥,已知甲库可调出 100 吨水泥,乙库可调出 80 吨水泥,A 地需 70 吨水泥, B 地需 110 吨水泥,两库到 A,B 两地的路程和运费如下表(表中运费栏“元/(吨、千米)”表示每吨水泥运送 1 千米所需人民币) 路程/千米 甲库 乙库 15 运费(元/吨、千米) 甲库 12 乙库 12

25 20 10 8 (1)设甲库运往 A 地水泥 x 吨,求总运费 y (元)关于 x (吨)的函数关系式,画出它的图象(草图). (2)当甲、乙两库各运往 A、B 两地多少吨水泥时,总运费最省?最省的总运费是多少?

A地 B地

20

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6、A 市、B 市和 C 市有某种机器 10 台、10 台、8 台,?现在决定把这些机器支援给 D 市 18 台,E 市 10.已知:从 A 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 200 元和 800 元;从 B?市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 300 元和 700 元;从 C 市调运一台机器到 D 市、E 市的运费为 400 元和 500 元. (1)设从 A 市、B 市各调 x 台到 D 市,当 28 台机器调运完毕后,求总运费 W(元)关于 x(台)的函数关系式, 并求 W 的最大值和最小值. (2)设从 A 市调 x 台到 D 市,B 市调 y 台到 D 市,当 28 台机器调运完毕后,用 x、y 表示总运费 W(元),并 求 W 的最大值和最小值.

7、某公司到果园基地购买某种优质水果,慰问医务工作者,果园基地对购买量在 3000 千克以上(含 3000 千克) 的有两种销售方案,甲方案:每千克 9 元,由基地送货上门。乙方案:每千克 8 元,由顾客自己租车运回,已知该 公司租车从基地到公司的运输费为 5000 元。 (1)分别写出该公司两种购买方案的付款 y (元)与所购买的水果质量 x (千克)之间的函数关系式,并写出 自变量 x 的取值范围。 (2)依据购买量判断,选择哪种购买方案付款最少?并说明理由。

8、某房地产开发公司计划建 A、B 两种户型的住房共 80 套,该公司所筹资金不少于 2090 万元,但不超过 2096 万 元,且所筹资金全部用于建房,两种户型的建房成本和售价如下表:
A 成本(万元/套) 售价(万元/套) 25 30 B 28 34

注:利润=售价-成本 (1)该公司对这两种户型住房有哪几种建房方案? (2)该公司如何建房获得利润最大? (3)根据市场调查,每套 B 型住房的售价不会改变,每套 A 型住房的售价将会提高 a 万元(a>0),且所建的两种 住房可全部售出,该公司又将如何建房获得利润最大?

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