2012年普通高等学校招生全国统一考试理科数学(必修+选修Ⅱ)


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2012 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修Ⅱ)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页。第Ⅱ卷 3 至 4 页。 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
注意事项: 1. 答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好 条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔吧答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选
涂其他答案标号,在试题卷上作答无效。

.........

3. 第Ⅰ卷共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 一、选择题: (1)复数
? 1 ? 3i 1? i ?

(A) 2 ? i

(B) 2 ? i

(C) 1 ? 2 i

(D) 1 ? 2 i

(2)已知集合 A ? {1,3 , m } , B ? {1, m } , A ? B ? A ,则 m = (A) 0或 3 (B) 0 或 3 (C) 1或 3 (D) 1或 3

(3)椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x ? ? 4 ,则该椭圆的方程为 (A)
x
2

?

y

2

?1

(B)

x

2

?

y

2

?1

16 x
2

12 y
2

12 x
2

8 y
2

(C)

?

?1

(D)

?

?1

8

4

12

4

(4)已知正四棱柱 ABCD ? A1 B1C 1 D 1 中, AB ? 2 , CC 1 ? 2 2 , E 为 CC 1 的中点,则直线 AC 1 与平面 BED 的距 离为 (A) 2 (B) 3 (C)
2

(D) 1
? ? ? 的前 100 项和为 ? a n a n ?1 ? 1

(5)已知等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 5 ? 5 , S 5 ? 15 ,则数列 ? (A)
100 101

(B)

99 101

(C)

99 100

(D)

101 100

(6) ? ABC 中, AB 边的高为 CD .若 CB ? a , CA ? b , a ? b ? 0 , | a |? 1 , | b |? 2 ,则 AD ?

数学(必修+选修Ⅱ)试题第

1



(共 4 页)

(A) a ?
3

1

1 3

b

(B)

2 3

a?

2 3

b

(C)
3 3

3 5

a?

3 5

b

(D)

4 5

a?

4 5

b

(7)已知 ? 为第二象限角, sin ? ? cos ? ?

,则 cos 2? ?

(A) ?

5 3

(B) ?

5 9

(C)

5 9

(D)

5 3

(8)已知 F1 、 F2 为双曲线 C : x ? y ? 2 的左、右焦点,点 P 在 C 上, | PF 1 |? 2 | PF 2 | ,则 cos ? F1 PF 2 ?
2 2

(A)

1 4

(B)

3 5
? 1 2

(C) ,则

3 4

(D)

4 5

(9)已知 x ? ln ? , y ? log 5 2 , z ? e (A) x ? y ? z
3

(B) z ? x ? y

(C) z ? y ? x

(D) y ? z ? x

(10)已知函数 y ? x ? 3 x ? c 的图像与 x 恰有两个交点,则 c ? (A) ? 2或 2 (B) ? 9或 3 (C) ? 1或 1 (D) ? 3或 1

(11)将字母 a , a , b , b , c , c 排成三行两列,要求每行的字母互不相同,每列的字母也互不相同,则不同的排列方法 共有 (A) 12 种 (B) 18 种 (C) 2 4 种 (D) 3 6 种
3 7
F 运动,每当碰到正方形的边时反弹,反弹时反射角等于入射角,当点 P 第一次碰到 E 时, P 与正方形的边碰撞

(12)正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 在边 AB 上,点 F 在边 BC 上, AE ? BF ?

,动点 P 从 E 出发沿直线向

的次数为 (A) 16

(B) 14

(C) 12

(D) 10

数学(必修+选修Ⅱ)试题第

2



(共 4 页)

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2012 年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学(必修+选修Ⅱ) 第Ⅱ卷
注意事项: 1. 答题前,考生在答题卡上务必用直径 0.5 毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚,并贴好 条形码。请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。

2.第Ⅱ卷共 2 页,请用直接 0.5 毫米黑色墨水签字在答题卡上各题的答题区域内作答,在试题卷上作答 .......

无效。 ..
3.第Ⅱ卷共 10 小题,共 90 分。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上。 (注意:在试题 ...

卷上作答无效) ......
? x ? y ? 1 ? 0, ? (13)若 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0 , 则 z ? 3 x ? y 的最小值为___________. ? x ? 3 y ? 3 ? 0, ?

(14)当函数 y ? sin x ? (15)若 ( x ?
1 x
n

3 cos x ( 0 ? x ? 2 ? ) 取得最大值时, x ? ______________.

) 的展开式中第 3 项与第 7 项的二项式系数相等,则该展开式中

1 x
2

的系数为___________.

(16)三棱柱 ABC ? A1 B1C 1 中,底面边长和侧棱长都相等, ? BAA 1 ? ? CAA 1 ? 60 ? ,则异面直线 AB 1 与 BC 1 所 成角的余弦值为____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17) (本小题满分 10 分) (注意:在试题卷上作答无效)

.........

? ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ,已知 cos( A ? C ) ? cos B ? 1 , a ? 2 c ,求 C .

(18) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

.........

P

如图,四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 为菱形, PA ? 底面 ABCD ,
AC ? 2 2 , PA ? 2 , E 是 PC 上的一点, PE ? 2 EC .

(Ⅰ)证明: PC ? 底面 BED ; (Ⅱ)设二面角 A ? PB ? C 为 90 ? ,求 PD 与平面 PBC 所成角的大小. 数学(必修+选修Ⅱ)试题第
3
B

E

A D



(共 4 页)

C

(19) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

.........

乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,依次轮换.每 次发球,胜方得 1 分,负方的 0 分。设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方的 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜 负结果相互独立。甲、乙的一局比赛中,甲先发球。 (Ⅰ)求开始第 4 次发球前,甲、乙的比分为 1 比 2 的概率; (Ⅱ) ? 表示开始第 4 次发球时乙的得分,求 ? 的期望。 (20) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

.........

设函数 f ( x ) ? ax ? cos x , x ? [ 0 , ? ] . (Ⅰ)讨论 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)设 f ( x ) ? 1 ? sin x ,求 a 的取值范围。 (21) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

.........
2

已知抛物线 C : y ? ( x ? 1) 与圆 M : ( x ? 1) ? ( y ?
2

1 2

) ? r ( r ? 0 ) 有一个公共点 A ,且在 A 处两曲线的切线为
2 2

同一直线 l . (Ⅰ)求 r ; (Ⅱ)设 m , n 是异于 l 且与 C 及 M 都相切的两条直线, m , n 的交点为 D ,求 D 到 l 的距离。 (22) (本小题满分 12 分) (注意:在试题卷上作答无效)

.........

函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 .定义数列 { x n } 如下: x1 ? 2 , x n ?1 是过两点 P ( 4 ,5 ) 、 Q n ( x n , f ( x n )) 的直线 PQ n 与 x 轴的
2

交点的横坐标. (Ⅰ)证明: 2 ? x n ? x n ?1 ? 3 ; (Ⅱ)求数列 { x n } 的通项公式。

数学(必修+选修Ⅱ)试题第

4



(共 4 页)


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