山东省聊城市某重点高中2012-2013学年下学期高一3月模块测试数学试题


聊城市某重点高中 2012-2013 学年下学期高一 3 月模块测试 数学试题 第 I 卷(选择题)
一、选择题
2 1. 如果函数 f ( x) ? x ? 2(a ?1) x ? 2 在区间 (??,4] 上是减少的,那么实数 a 的取值范围是



) B. a ? ?3 C. a ? 5 D. a ? ?3

A. a ? ?3

2.已知平面向量的集合 A 到 B 的映射 f 为 f ( x) ? x ? 2( x ? a)a ,其中 a 为常向量,若映射 f 满足 f ( x) ? f ( y) ? x ? y 对任意 x, y ? A 恒成立,则 a 用坐标可能是

5 1 ,? ) 2 A. 2 (

(
B.

2 2 , ) 4 4

3 1 ( , ) C. 4 4

1 3 (? , ) 2 2 D.

3.设 a , b 都是非零向量,命题 P: a b ? 0 ,命题 Q: a与b 的夹角为钝角。则 P 是 Q 的( ) A.充分不必要条件 4.已知集合 A. B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件

A ? ?1,3,5,7,9?, B ? ?0,3,6,9,12?
B.

,则 A C.

B?
D.

?3,5?

?3, 6?

?3, 7?

?3,9?

5.平面内有定点 A、 B 及动点 P, 设命题甲是“|PA|+|PB|是定值”,命题乙是“点 P 的轨迹是以 A、 B 为焦点的椭圆”,那么甲是乙的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6. 已 知 y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 函 数 , 且 对 任 意 x ? R , 都 有

f ( x ? 2) ?

1 ? f ( x) 1 ? f ( x) , 又

f (1) ?

1 1 , f (2) ? 2 4 ,则 f (2010) 等于(
1 B. 3 1 C. 4



1 A. 2

3 D. 5
)

7.设全集 U 是实数集 R, M={x|x2>4}, N={x|1<x≤3}, 则图 1 中阴影部分表示的集合是(

图1

-1-

A.{x|-2≤x<1} B.{x|-2≤x≤2} C.{x|1<x≤2} D.{x|x<2} 8.设全集

U ? R, A ? ?x | x( x ? 3) ? 0?, B ? ?x | x ? ?1?,
B (?3, ?1) D (??, ?1)

则图中阴影部分表示的集合为(



A (?1,0) C [?1,0)

9.若函数 f ( x) 的定义域是[0,4],则函数 A [ 0,2] 10. 函

g ( x) ?

f (2 x) x 的定义域是(
D [0,2) 大 致 图

) 象 为

B (0,2) C (0,2] 数 f(x)=e2x+1 的

11.“ 1 ? a ? 2 ”是“对任意的正数 x , A.充分不必要条件 C.充要条件

2x ?

a ≥1 x ”的

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

12.函数

y?

1 ? x2 1 ? x 2 的值域是(
B.(-1,1]

) C.[-1,1) D.(-1,1)

A.[-1,1]

-2-

第 II 卷(非选择题)
二、填空题
2 13. 若奇函数 f ( x ) 在定义域 ( ?1,1) 上递减,且 f (1 ? a) ? f (1 ? a ) ? 0 ,则 a 的取值范围是

___________________ 14.

logx ( 2 ? 1) ? ?1,则 x=
▲ .

15.已知集合 A={1,2,3,4,5},集合 B={1,2,4,6},则 A ? B =

log 1 (3x ? 2)
16.函数 y=
2

的定义域是

三、解答题 17.(本小题满分 12 分)

已知函数

f ( x) ?

ax 在x ? 1 x ?b 处取得极值 2。
2

(1)求函数 f ( x) 的表达式; (2)当 m 满足什么条件时,函数 f ( x) 在区间 (m,2m ? 1) 上单调递增?

(3) 若

P( x0 , y0 ) 为

f ( x) ?

ax ax f ( x) ? 2 x ? b 图象上任意一点, x ? b 的图象切于点 P, 直线与
2

求直线的斜率 k 的取值范围。

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x | x ? 2 | . (1)写出 f ( x ) 的单调区间; (2)解不等式 f ( x ) ? 3 ; (3)设 0 ? a ? 2 ,求 f ( x ) 在 [0,a ] 上的最大值.

19.(本小题满分 16 分)

? ? 已知函数 f ? x ? ? ax ? 2ax ? 2 ? b?a ? 0? 在区间 2 , 3 上的值域为 ?2 , 5?
2

(Ⅰ)求 a , b 的值; (Ⅱ)若关于 x 的函数 g? x ? ? f ? x ? ? ?m ? 1?x 在区间 ?2 , 4? 上为单调函数,求实数 m 的
-3-

取值范围.

20.(12 分)设命题 为假命题,“

p : 4x ? 3 ≤1

?p ? ? q ” ,命题 q : x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ≤ 0 ,若“
2

?q ? ?p ”为真命题,求实数 a 的取值范围

21.(本题满分 16 分)已知函数 根为 x1=3, x2=4. (1)求函数 f(x)的解析式;

f ( x) ?

x2 ax ? b (a,b 为常数)且方程 f(x)-x+12=0 有两个实

(2)设 k ? 1 ,解关于 x 的不等式;

f ( x) ?

(k ? 1) x ? k 2? x .

22.本小题满分 14 分)已知函数

f ( x) ? ln x ?

a x , g ( x) ? f ( x) ? ax ? 6 ln x ,其中 a ?R . (1)

讨论 f ( x) 的单调性; (2)若 g ( x) 在其定义域内为增函数,求正实数 a 的取值范围; (3)设 函数

h( x) ? x 2 ? mx ? 4 , 当 a ? 2 时,若存在 x1 ? (0,1) ,对于任意的 x2 ? [1, 2] ,总有

g ( x1 ) ? h( x2 ) 成立,求实数 m 的取值范围.

-4-

高一数学试卷答案
1.B 2.D 3.B 4.D 5.B 6.C 7.C 8.B 9.C 10.C 11.A 12.B 13. 14. 15.{1,2,4}

16.

f ?( x) ?
17.(1)因为

a( x 2 ? b) ? ax(2 x) ( x 2 ? b) 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 2分

而函数

f ( x) ?

ax x ? b 在 x ? 1 处取得极值 2,
2

?a(1 ? b) ? 2a ? 0 ? ? ? f (1) ? 0 ?a ? 4 ? a ?2 ? ? ? f ( 1 ) ? 2 b ?1 1 ? b ? ? 所以 , 即 解得 ?
f ( x) ? 4x 1 ? x 2 即为所求

所以

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

f ?( x) ?
(2)由(1)知

4( x 2 ? 1) ? 8x 2 ? 4( x ? 1)(x ? 1) ? ( x 2 ? 1) 2 (1 ? x 2 ) 2

? 令 f ( x) ? 0 得: x1 ? ?1, x2 ? 1
则 f ( x) 的增减性如下表:

x
f ?( x)

(-∞,-1) 负

(-1,1) 正

(1,+∞) 负

f ( x)
可知, f ( x) 的单调增区间是[-1,1],

所以

?m ? ?1 ? ?2m ? 1 ? 1 ? ?1 ? m ? 0. ?m ? 2 m ? 1 ?
· · · · · · · · · 9分

所以当 m ? (?1,0] 时,函数 f ( x) 在区间 (m,2m ? 1) 上单调递增。

-5-

(3)由条件知,过 f ( x) 的图象上一点 P 的切线的斜率 k 为:

k ? f ?( x0 ) ?
t?


2 2 4(1 ? x0 ) ? 1 ? x0 ?2 2 1 ? 4 ? ? 4[ ? ] 2 2 2 2 2 2 (1 ? x0 ) (1 ? x0 ) (1 ? x0 ) 1 ? x0

1 2 1 ? x0 ,则 t ? (0,1] ,

1 1 k ? 8(t ? ) 2 ? 4 2 的图象性质知: 此时, t? 1 1 k min ? ? 2; 4 时,



k ?4 当 t ? 1 时, max
1 [ ? , 4] 所以,直线的斜率 k 的取值范围是 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分

2 2 ? ? x ? 2 x ? ( x ? 1) ? 1, x ? 2, f ( x) ? x | x ? 2 |? ? 2 2 ? ?? x ? 2 x ? ?( x ? 1) ? 1, x ? 2. ……………2 18.解(1) :

2] . …4 1] 和 [2, ? ?) ; 单调递减区间是 [1, ? f ( x ) 的单调递增区间是 ( ??,

解(2) :

? x ? 2, ? x ? 2, x | x ? 2 |? 3 ? ? 2 或? 2 ? 2 ? x ? 3 或 x ? 2, ? x ? 2 x ? 3 ? 0, ? x ? 2 x ? 3 ? 0,
………………………8

? 不等式 f ( x ) ? 3 的解集为 {x | x ? 3}.

(3)解: (1)当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 是 [0,a ] 上的增函数,此时 f ( x ) 在 [0,a ] 上的最大值是

f (a ) ? a(2 ? a )

………………………10

1] 上是增函数,在 [1,a ] 上是减函数,此时 f ( x ) 在 [0,a ] 上 (2)当 1 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [0,
的最大值是 f (1) ? 1 ; 综上,当 0 ? a ? 1 时, f ( x ) 在 [0,a ] 上的最大值是 a(2 ? a ) ;当 1 ? a ? 2 时, f ( x ) 在 [0,a ] 上的最大值是 1 。 ………………………12

19.解: (Ⅰ)∵a>0,∴所以抛物线开口向上且对称轴为 x=1. ∴函数 f(x)在[2,3]上单调递增. 由条件得

-6-

? f (2) ? 2 ?2 ? b ? 2 ? ? ? f (3) ? 3 ,即 ? 3a ? 2 ? b ? 3 ,解得 a=1,b=0. ………………………6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a=1,b=0. ∴f(x)=x2?2x+2,从而 g(x)=x2?(m+3)x+2. ………………………8 分

若 g(x)在[2,4]上递增,则对称轴

x?

m?3 ?2 2 ,解得 m≤1;……………………11 分 m?3 ?4 2 ,解得 m≥5,……………………14 分

若 g(x)在[2,4]上递减,则对称轴

x?

故所求 m 的取值范围是 m≥5 或 m≤1. …………………………………………………16 分

20.:由

4x ? 3 ≤1

1 ≤ x ≤1 ,得 2 ,

因此,
2

?p : x ?

1 2 或 x ?1,

由 x ? (2a ? 1) x ? a(a ? 1) ≤ 0 ,得 a ≤ x ≤ a ? 1 因此 ?q : x ? a 或 x ? a ? 1 , 因为 ? p 是 ? q 的必要条件,所以

?q ? ? p ,



1 ? ?x| x ? a,或x ? a ? 1? ? ? ? x | x ? ,或x ? 1? 2 ?

?.

1 ? ?a ≤ , 2 ? ? 1? a ? ?0, ? ? a ? 1≥ 1 , ? 2? . 因此 ? 解得
x2 x1 ? 3, x2 ? 4分别代入方程 ? x ? 12 ? 0 ax ? b 21.解: (1)将 ,得

? 9 ? ?9 ? ?a ? ?1 x2 ? 3a ? b 解得 , 所以 f ( x ) ? ( x ? 2). ? ? 16 b ? 2 2 ? x ? ? ? ?8 ? ? 4a ? b
x2 (k ? 1) x ? k x 2 ? (k ? 1) x ? k ? , 可化为 ?0 2? x 2? x (2)不等式即为 2 ? x ,
即 ( x ? 2)(x ? 1)(x ? k ) ? 0. 10

8

-7-

①当 1 ? k ? 2, 解集为x ? (1, k ) ? (2,??).
2

12 14 16

( x ? 2) ( x ? 1) ? 0解集为x ? (1,2) ? (2,??); ②当 k ? 2时, 不等式为
③ 当k ? 2时, 解集为x ? (1,2) ? (k ,??) .

22.解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 (0,??) ,且

f ' ( x) ?

x?a x2 ,

………1 分 ………2 分

①当 a ? 0 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (0,??) 上单调递增;

②当 a ? 0 时,由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ;由 f ' ( x) ? 0 ,得 x ? ?a ; 故 f ( x) 在 (0,?a) 上单调递减,在 (?a,??) 上单调递增. ………3 分

(Ⅱ)

g ( x) ? ax ?

a 5 ax2 ? 5 x ? a a ? 5 ln x g ' ( x) ? a ? 2 ? ? x x x x2 ,g ( x) 的定义域为 (0,??) ,

因为 g ( x) 在其定义域内为增函数,所以 ?x ? (0,??) , g ' ( x) ? 0

? ax2 ? 5x ? a ? 0 ? a( x 2 ? 1) ? 5x ? a ?

5x ? 5x ? ?a?? 2 ? x ?1 ? x ? 1? max ………5 分
2

5x 5 5 ? ? 5 1 x ?1 x ? 2 a? 2 x 而 ,当且仅当 x ? 1 时取等号,所以
2

………7 分

(Ⅲ)当 a ? 2 时,

g ( x) ? 2 x ?

2 x 2 ? 5x ? 2 2 ? 5 ln x g ' ( x) ? x x2 ,

由 g ' ( x) ? 0 得

x?

1 1 1 x ? (0, ) x ? ( ,1) g ' ( x ) ? 0 2 或 x ? 2 ,当 2 时, 2 时, g ' ( x) ? 0 . ;当

所以在 (0,1) 上,

1 g ( x) max ? g ( ) ? ?3 ? 5 ln 2 2

………8 分

h(1), h(2)} 而 h( x) 在 [1,2] 上的最大值为 max{

? 1 g ( ) ? h(1) ? ?m ? 8 ? 5 ln 2 ? 2 ? ? ?? 3 ? 5 ln 2 ? 5 ? m ? ? 1 ? g ( 1 ) ? h(2) ? ? m ? (11 ? 5 ln 2) ? ? ? m ? 8 ? 5 ln 2 ……12 2 ? ?? 3 ? 5 ln 2 ? 8 ? 2m 有? 2


-8-

所以实数 m 的取值范围是 [8 ? 5 ln 2, ? ?)

…………14 分

-9-


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