2016届安徽省“皖南八校”高三第三次联考数学(理)试题【word】


2016 届安徽省“皖南八校”高三第三次联考数学(理)试题【word】 数学(理科)
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分)

一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项 是符合题目要求的.
1.设集合 A ? {x ?5 ? x ? 3} ,集合 B ? N ,则 A ? B ? ( A. {1, 2} B. {0,1, 2} C. {1, 2,3} )

D. {0,1, 2,3}

2.复数

1 在复平面上对应的点位于( (1 ? i )i
B.第二象限

) D.第四象限

A.第一象限

C.第三象限 )

3.“ x ? y ”是“ x ? y ”的( A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件 )

4.已知向量 a ? 3 , b ? A. 57 B. 61

6 ,若 a, b 间的夹角为
C. 78

3? ,则 4a ? b ? ( 4

D. 85

?x ? 1 ? 5.实数 x, y 满足条件 ? x ? y ? 3 ,则目标函数 z ? x ? 2 y 的最大值为( ??2 x ? 3 y ? 5 ? 0 ?
A.5 B.4 C.-1 D.



16 5

6.某同学在研究性学生中,收集到某制药厂今年前 5 个月甲胶囊生产产量(单位:万盒)的数据如下表所 示:

? ,估计该制药厂 6 月份生产甲胶囊产量为( y ? 0.7 x ? a 若 x, y 线性相关,线性回归方程为 ?
A.8.1 万盒 B.8.2 万盒 C.8.9 万盒 D.8.6 万盒 )



7.已知等差数列 ?an ? 的前 n 项和为 S n ,且 S10 ? 5 , a7 ? 1 ,则 a1 ? (

第页

1

A. ?

1 2

B.-1

C.

1 2

D.

1 4


8.一个空间几何体的三视图如图所示,则这个几何体的表面积为( A. 26 ? 4 2 B. 27 ? 4 2 C. 34 ? 4 2

D. 17 ? 2 2

2 9.已知抛物线 x ? 4 y 的焦点为 F ,其上有两点 A( x1 , y1 ) , B ( x2 , y2 ) ,满足 AF ? BF ? 2 ,则
2 y1 ? x12 ? y2 ? x2 ?(

) D.10

A.4

B.6

C.8

10.观察这列数:1,2,3,3,2,1,2,3,4,4,3,2,3,4,5,5,4,3,4,5,6,6,5,4,?,则 第 2016 个数是( A.335 B.336 ) C.337 D.338

11.已知三棱锥 A ? BCD 的四个顶点 A, B, C , D 都在球 O 的表面上, AC ? 平面 BCD , BD ? AD ,且

AD ? 2 5 , BD ? 2 , CD ? 3 ,则球 O 的体积为(
A. 8 6? B.



27 3? 2

C.

7 7? 6

D. 10 3?

12.已知 a, b 分别是方程 3x ? 2 ? A.5 B.7 C.9

x ? 2 , log 3 ( x ? 1) ? x ? 6 的两根,则 a ? b 的值为( 3
D.11



第Ⅱ卷(非选择题
第页 2

共 90 分)

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在机读卡上相应的位置.)
13.已知 (2 x ? 1)( ax ? 2)5 展开式中,不含 x 4 项,且 a ? 0 ,则 a ? __________. 14.运行如图所示的程序框图,输出的结果为__________.

15.已知正项等比数列 ?an ? 满足 log 2 an ? 2 ? log 2 an ? 2 , 且 a3 ? 8 , 若数列 ?bn ? 满足 b1 ? 1 ,bn ? bn ?1 ? an , 则 b11 ? b12 ? __________. 16.已知函数 f ( x) ? x ln x ? mx ? m 在定义域内不存在极值点,则实数 m 的取值范围为__________.
2

三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.(本小题满分 12 分) 已知向量 m ? ( , ? sin x) , n ? (1,sin x ? 3 cos x) , x ? R ,函数 f ( x) ? m ? n . (1)求 f ( x) 的最小正周期及值域; (2)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 f ( A) ? 0, a ? 3, bc ? 2 ,求 ?ABC 的周长. 18.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1 B1C1 中,四边形 ABB1 A1 、 ACC1 A1 都是正方形, AC ? AB ,

??

3 2

?

???? ? ???? A1 D ? ? A1C (0 ? ? ? 1) .
(1)求证: AD ? A1 B1 ; (2)求二面角 B ? A1C ? A 的余弦值.

19.(本小题满分 12 分) 水是最常见的物质之一,是包括人类在内所有生命生存的重要资源,也是生物体最重要的组成部分,为了
第页 3

推动对水资源进行综合性统筹规划和管理,加强水资源保护,解决日益严峻的淡水缺乏问题,开展广泛的 宣传以提高公众对开发和保护水资源的认识,中国水利部确定每年的 3 月 22 日至 28 日为“中国水周” ,以 提倡市民节约用水,某市统计局调查了该市众多家庭的用水量情况,绘制了月用水量的频率分布直方图, 如图所示,将月用水量落入各组的频率视为概率,并假设每天的用水量相互独立. (1)统计方法中,同一组数据常用该组区间的中点值作为代表,据此估计该地家庭的平均用水量; (2)求在未来连续 3 个月里,有连续 2 个月的月用水量都不低于 12 吨且另 1 个月的月用水量低于 4 吨的 概率; (3)用 X 表示在未来 3 个月里用水量不低于 12 吨的月数,求随机变量 X 的分布列及数学期望 E ( X ) .

20.(本小题满分 12 分) 已知椭圆 C :

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 和圆 D : x 2 ? y 2 ? b 2 分别与射线 y ? x ( x ? 0) 交于 A, B 两点,且 2 a b

OA ?

2 10 2 10 . OB ? 5 5

(1)求椭圆 C 的方程; (2)若不经过原点 O 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆交于 M , N 两点,且 S ?OMN ? 1 ,证明:线段 MN 中点
2 2 P( x0 , y0 ) 的坐标满足 x0 ? 4 y0 ? 2.

21.(本小题满分 12 分) 已知定义域为 R 的函数 f ( x) ? ( x ? ax ? 1)e
2 ?x

,其中 a ? [0, 2] .

(1)讨论 f ( x) 的单调性; (2)证明:当 x ? (0,1 ? a ] 时, f ( x) ?

1 . x

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分,作答时请写 清题号.
22.(本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲
第页 4

如图, ?ABC 的边 AB, BC 与 ? O 交于 A, D, E , C 四点,且 AC ? BE , ?ADC ? ?BDE . (1)求证: CD 平分 ?ACB ; (2)若 2 BE ? 3DE ? 3 ,求 BC 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中, 以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线 l 上两点 M , N 的极坐标分别为 (3, ? ) , ( 3,

?
2

).

(1)设 P 为线段 MN 上的动点,求线段 OP 取得最小值时,点 P 的直角坐标; (2)求以 MN 为直径的圆 C 的参数方程,并求在(1)的条件下直线 OP 与圆 C 相交所得的弦长. 24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 . (1)解不等式 f ( x) ? 1 ; (2)若存在 x ? R ,使 f ( x) ? 2a ? 4 ,求实数 a 的取值范围.

安徽省“皖南八校”2016 届高三第三次联考 数学(理科)参考答案
一、选择题
1-5.BCBCA 6-10.ABCDB 11-12.AB

二、填空题
13. 8 14. 7 15. 96 16. ( ??, ? ]

1 2

三、解答题
17.解: (1)由题, f ( x) ? ? sin 2 x ? 3 sin x cos x ?

3 1 ? ? cos 2 x ? 3 sin x cos x ? ? cos(2 x ? ) ? 1 , 2 2 3

第页

5

又 A ? (0, ? ) ,得 A ?

?
3



在 ?ABC 中,由余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 又 a ? 3, bc ? 2 ,所以 (b ? c) ? 9, b ? c ? 3 ,
2

?
3

? (b ? c) 2 ? 3bc ,

所以 ?ABC 的周长为 3 ? 3 . 18.(1)证明:因为 ABB1 A1 为正方形,故 AB ? AA1 , 因为 AC ? AB , AA1 ? AC ? A , AA1 ? 平面 AA1C1C , AC ? 平面 AA1C1C , 故 AB ? 平面 AA1C1C , 因为 AD ? 平面 AA1C1C ,故 AD ? AB ; 因为 AB // A1 B1 ,故 AD ? A1 B1 ; (2)解:以 A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系, 不妨设 AB ? 2 ,可得 B (2, 0, 0) ,B1 (2, 2, 0) , A1 (0, 2, 0) ,C (0, 0, 2) ,向量 BA1 (?2, 2, 0) ,CB (2, 0, ?2) ,

????

??? ?

? ??? ? ? ? ??2 x ? 2 y ? 0 ?n ? CB ? 0 设 n ? ( x, y, z ) 为平面 BA1C 的法向量,则 ? ? ???? ,即 ? , 2 x ? 2 z ? 0 n ? BA ? 0 ? ? ? 1 ? 不妨令 y ? 1 ,可得 n ? (1,1,1) 为平面 BA1C 的一个法向量,
因为 m ? (1, 0, 0) 为平面 ACA1 的一个法向量, 故二面角 B ? A1C ? A 的余弦值为

??

3 . 3

第页

6

19.解: (1)同一组数据以该组区间的中点值作为代表,据此,估计该地家庭的平均用水量为

2 ? 0.0375 ? 4 ? 6 ? 0.0625 ? 4 ? 10 ? 0.075 ? 4 ? 14 ? 0.05 ? 4 ? 18 ? 0.025 ? 4 ? 9.4 (吨)
(2)设 A1 表示事件“月用水量不低于 12 吨” , A2 表示事件“月用水量低于 4 吨” , B 表示事件“在未 来连续 3 个月里,有连续 2 个月的月用水量都不低于 12 吨且另 1 个月的月用水量低于 4 吨”. 因此, P ( A1 ) ? (0.05 ? 0.025) ? 4 ? 0.3 , P ( A2 ) ? 0.0375 ? 4 ? 0.15 , 因为每天的用水量相互独立, 所以 P ( B ) ? 0.3 ? 0.3 ? 0.15 ? 2 ? 0.027 . (3) X 可能取的值为 0,1,2,3,相应的概率分别为
1 P( X ? 0) ? C30 ? (1 ? 0.3)3 ? 0.343 , P( X ? 1) ? C3 ? 0.3(1 ? 0.3) 2 ? 0.441 , 3 P( X ? 2) ? C32 ? 0.32 (1 ? 0.3) ? 0.189 , P( X ? 3) ? C3 ? 0.33 ? 0.027 ,

故 X 的分布列为

方法一:故 X 的数学期望为 E ( X ) ? 0 ? 0.343 ? 1? 0.441 ? 2 ? 0.189 ? 3 ? 0.027 ? 0.9 . 方法二:因为 X ~ B (3, 0,3) , 所以 X 的数学期望为 E ( X ) ? 3 ? 0.3 ? 0.9 .
2 20.解: (1)由 OB ? 1 知圆 D 半径为 1, b ? 1, b ? 1 ,

由 OA ?

2 10 8 4 2 知 OA ? ,设 A( x, y ) ,则 x 2 ? y 2 ? , 5 5 5



x2 4 4 2 C ,∴ ,∴椭圆 的方程为 ? y2 ? 1. a ? 4 ? ? 1 2 4 5a 5
7

第页

(2)设 M ( x1 , y1 ), N ( x2 , y2 ) ,设直线 l 的方程为 y ? kx ? m ,

? y ? kx ? m ? 由 ? x2 ,得 (1 ? 4k 2 ) x 2 ? 8kmx ? 4m 2 ? 4 ? 0 ; 2 ? ? y ?1 ?4
所以 x1 ? x2 ? ?

4m 2 ? 4 8km , ; x ? x ? 1 2 1 ? 4k 2 1 ? 4k 2
2

而 MN ? 1 ? k ? x1 ? x2 ?

4 k 2 ? 1 ? 4k 2 ? 1 ? m 2 ; 1 ? 4k 2
m 1? k 2


原点 O 到直线 MN 的距离为 d ?

所以 S ?OMN

2 m ? 1 ? 4k 2 ? m 2 1 ? ? MN ? d ? ? 1; 2 1 ? 4k 2
2 2 2

2 2 2 所以 2 m ? 1 ? 4k ? m ? 1 ? 4k ,即 (1 ? 4k ? 2m ) ? 0 ,即 1 ? 4k 2 ? 2m 2 ;

则 x0 ?

x1 ? x2 ?4km 2k ? ?? 2 2 1 ? 4k m

①, y0 ?

y1 ? y2 m 1 ? ? 2 2 1 ? 4k 2m

②,

2 2 由①,②消去 m 得 x0 ? 4 y0 ? 2.

21.解: (1) f ( x) ? (? x ? ax ? 1)e
' 2

?x

? (2 x ? a )e ? x ? ?( x ? (a ? 1))( x ? 1)e ? x ,

①当 a ? 0 时, f ( x) ? ?( x ? 1) e
' 2 '

?x

? 0 ,于是 f ( x) 在 R 上单调递减;
?x

②当 0 ? a ? 2 时, f ( x) ? ?( x ? (a ? 1))( x ? 1)e
'

,当 x ? (??,1) 时, f ( x) ? 0 ,
' '

当 x ? (1,1 ? a ) 时, f ( x) ? 0 ,当 x ? (1 ? a, ??) 时, f ( x) ? 0 , 所以 f ( x) 在 (??,1) 上单调递减,在 (1, a ? 1) 上单调递增,在 (a ? 1, ??) 上单调递减. (2)当 a ? 0 时,由(1)知 f ( x) 在 ? 0,1? 单调递减, 又 f (0) ? 1 ,∴ x ? (0,1] 时, f ( x) ?

x2 ? 1 1 1 ? 1 ? ,即 x ? (0,1 ? a] 时, f ( x) ? 成立, x e x x

当 a ? (0, 2] 时,由(1)知 f ( x) 在 (0,1] 上递减,在 [1,1 ? a ] 上递增,

x2 ? 1 1 1 ? 1 ? ,即得 f ( x) ? 在 x ? (0,1] 上成立, 当 x ? (0,1] 时,由 f ( x) ? x e x x
所以当 x ? (1,1 ? a ] 时,有 f ( x) ? f (1 ? a ) ?
第页

a?2 , e1? a
8

e1? a a?2 1 下面证明 f (1 ? a ) ? 1? a ? ,即 ? a ? 1, a?2 e a ?1
令 x ? a ? 1 , h( x) ? e x ? ( x ? 1) x ,则 h ' ( x) ? e x ? 2 x ? 1 ,且 x ? (1,3] , 记 ? ( x) ? h ' ( x) ? e x ? 2 x ? 1 ,则 ? ' ( x) ? e x ? 2 ? e ? 2 ? 0 , 于是 ? ( x) ? h ' ( x) 在 [1,3] 上单调递增,
3 3 3 x 又因为 h (1) ? 0 , h ( ) ? e 2 ? 4 ? 0 ,所以存在唯一的 x0 ? (1, ) 使得 h ' ( x0 ) ? e 0 ? 2 x0 ? 1 ? 0 , 2 2

'

'

从而 e

x0

? 2 x0 ? 1 ,于是 h( x) 在 [1, x0 ) 上单调递减,在 ( x0 ,3] 上单调递增,
x

2 2 此时 h( x) ? h( x0 ) ? e 0 ? x0 ? x0 ? 2 x0 ? 1 ? x0 ? x0 ? ?( x0 ? ) 2 ?

1 2

5 ? 0, 4

从而 h(a ? 1) ? h( x0 ) ? 0 ,即 因此不等式 f ( x) ?

e1? a 1 , ? a ? 1 ,亦即 f (1 ? a ) ? a?2 a ?1

1 在 (1,1 ? a ] 上成立, x 1 恒成立. x

所以当 a ? (0, 2] 时,对于任意的 x ? (0,1 ? a ] ,不等式 f ( x) ?

22.(1)证明:∵ A, C , E , D 四点共圆,∴ ?CAD ? ?BED , ∵ ?ADC ? ?EDB , AC ? BE ,∴ ?ACD ≌ ?EBD , ∴ AD ? ED ,∴ ?ACD ? ?ECD ,∴ CD 平分 ?ACB . (2)解:由 ?ACB ? ?BDE , ?BAC ? ?BED 知 ?ABC ∽ ?EBD ,

3 AB 2 AB AC 9 ∴ ,即 ? ,∴ AB ? , ? 3 1 BE DE 4 2 9 5 ∴ BD ? AB ? AD ? ? 1 ? , 4 4 5 9 3 15 又 BD ? BA ? BE ? BC ,即 ? ? ? BC ,∴ BC ? . 4 4 2 8
23.解: (1) M , N 的极坐标化为直角坐标分别为 (?3, 0), (0, 3) , 故直线 l 的斜率为

3 ?0 3 3 ,直线 l 的方程为 y ? ? x? 3 , 3 0 ? (?3) 3

由题意,当线段 OP ? MN 时,线段 OP 取得最小值,此时直线 OP 的斜率为 ? 3 .
第页 9

所以直线 OP 的方程为 y ? ? 3 x .

3 ? ? y ? ? 3x x?? ? 4 ? ? 联立 ? ,解得 ? , 3 x? 3 ?y ? 3 3 ?y ? 3 ? ? ? 4
故所求点 P 的直角坐标为 (?

3 3 3 , ). 4 4 3 3 , ), 2 2 3 2 3 2 ) ? 3, 2

(2)因为 MN 的中点坐标为 ( ?

故以 MN 为直径的圆 C 的直角坐标方程为 ( x ? ) 2 ? ( y ?

3 ? x ? 3 cos ? ? ? 2 ? 化为参数方程是 ? , ( ? 为参数). ? y ? 3 sin ? ? 3 ? ? 2

因为圆心 C (?

3 3 , ) 到直线 OP : y ? ? 3 x 的距离为 d ? 2 2

?

3 3 3 ? 2 2 2

?

3 , 2

所以直线 OP 与圆 C 相交所得的弦长为 l ? 2 r 2 ? d 2 ? 2 ( 3) 2 ? (

3 2 ) ? 3. 2

??4, x ? ?1 ? 24.解: (1) f ( x) ? x ? 1 ? x ? 3 ? ?2 x ? 2, ?1 ? x ? 3 , ?4, x ? 3 ?
由 f ( x) ? 1 得 x ?

3 3 ,∴ f ( x) ? 1 的解集为 [ , ??) . 2 2

(2)由(1)知 f ( x) 最大值为 4,由题意,得 2a ? 4 ? 4 , ∴ 0 ? a ? 4 ,即 a 的取值范围是 (0, 4) .

第页

10

第页

11


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