2015世纪金榜理科数学(广东版)课时提升作业(六十) 9.4


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课时提升作业(六十)
变量间的相关关系与统计案例 (45 分钟 100 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 40 分) 1.下面四个散点图中点的分布状态 ,可以直观上判断两个变量之间具有线性相 关关系的是 ( )

A.①②

B.③

C.②③

D.②③④

2.(2014·大庆模拟)为调查中学生近视情况,测得某校男生 150 名中有 80 名近 视,在 140 名女生中有 70 名近视.在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时, 用下列哪种方法最有说服力 ( A.回归分析 C.独立性检验 3.下列说法: ①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,方差恒不变; ②设有一个回归方程 =3-5x,变量 x 增加 1 个单位时,y 平均增加 5 个单位; ③在一个 2×2 列联表中,由计算得 K2 的观测值 k=13.079,则在犯错误的概率不超
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)

B.期望与方差 D.概率

过 0.001 的前提下认为这两个变量间有关系.其中错误的个数是 ( A.0 B.1 C.2 D.3

)

4.(2014·兰州模拟)有人发现,多看电视容易使人变冷漠,下表是一个调查机构 对此现象的调查结果: 冷漠 多看电视 少看电视 总计 68 20 88 不冷漠 42 38 80 总计 110 58 168

则在犯错误的概率不超过多少的前提下认为多看电视与人变冷漠有关系. ( A.0.001 B.0.025 C.0.05 D.0.01 )

5.(2014·广州模拟)某产品的广告费用 x 与销售额 y 的统计数据如下表: 广告费用 x(万元) 销售额 y(万元) 4 49 2 26 3 39 5 54

根据上表可得回归方程 = x+ 中的 为 9.4,据此模型预报广告费用为 6 万元时销 售额为 ( A.63.6 万元 C.67.7 万元 ) B.65.5 万元 D.72.0 万元 后,剩下的 4 组数据相关性最

6.如图所示的五组数据(x,y)中,去掉 强.( )

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A.(5,4) C.(6,8)

B.(3,4) D.(4,10)

7.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动,得到如下的列表: 男 爱好 不爱好 总计 40 20 60 女 20 30 50 总计 60 50 110

由 K2=错误!未找到引用源。算得, K2 的观测值 k=错误!未找到引用源。≈7.8. 附表: P(K2≥k0) k0 参照附表,得到的正确结论是 ( 0.050 3.841 ) 0.010 6.635 0.001 10.828

A.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别有关” B.在犯错误的概率不超过 0.1%的前提下,认为“爱好该项运动与性别无关” C.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关” D.有 99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”

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8.设(x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)是变量 x 和 y 的 n 个样本点,直线 l 是由这 些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线(如图),以下结论中正确的 是 ( )

A.x 和 y 的相关系数为直线 l 的斜率 B.x 和 y 的相关系数在 0 到 1 之间 C.当 n 为偶数时,分布在 l 两侧的样本点的个数一定相同 D.直线 l 过点(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 9.有下列关系: (1) 名师出高徒.(2) 球的体积与该球的半径之间的关系 .(3) 苹果的产量与气候 之间的关系.(4)森林中的同一种树 ,其断面直径与高度之间的关系 .(5) 学生与 他 ( 她 ) 的 学 号 之 间 的 关 系 .(6) 乌 鸦 叫 , 没 好 兆 . 其 中 , 具 有 相 关 关 系 的 是 .

10.(2014·成都模拟)一般来说,一个人脚越长,他的身高就越高.现对 10 名成年 人的脚长 x(单位:cm)与身高 y(单位:cm)进行测量,得如下数据: x y 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29

141 146 154 160 169 176 181 188 197 203

作出散点图后,发现散点在一条直线附近.经计算得到一些数据:错误!未找到引 用源。=24.5,错误!未找到引用源。=171.5,错误!未找到引用源。(xi-错误!
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未找到引用源。)(yi-错误!未找到引用源。)=577.5,错误!未找到引用源。(xi错误!未找到引用源。)2=82.5.某刑侦人员在某案发现场发现一对裸脚印,量得 每个脚印长 26.5cm,请你估计案发嫌疑人的身高为 cm. 11.(2014·云南师大附中模拟)某车间为了规定工时定额.需要确定加工零件所 需时间,为此进行了 5 次试验,收集到如下数据,由最小二乘法求得回归直线方程 =0.67x+54.9. 零件数 x(个) 加工时间 y(min) 10 62 20 30 75 40 81 50 89 .

后来表中一个数据模糊不清了,请你推断出该数据为 12.(能力挑战题)(2014·济宁模拟)下列命题: ①线性回归方程对应的直线: (x1,y1),(x2,y2),?,(xn,yn)中的一个点; = x+

至少经过其样本数据点

②设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=错误!未找到引用源。,则当 x<0 时,f(x)=错误!未找到引用源。; ③ 若 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 与 坐 标 轴 的 交 点 坐 标 分 别 为 (x1,0),(x2,0),(0,y1),(0,y2),则 x1x2-y1y2=0; ④若圆锥的底面直径为 2,母线长为错误!未找到引用源。,则该圆锥的外接球表 面积为 4π . 其中正确命题的序号为 .(把所有正确命题的序号都填上).

三、解答题(13 题 12 分,14~15 题各 14 分) 13.(2014·湛江模拟)一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的
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时间,为此进行了 5 次试验,收集数据如下:

试验顺序 零件数 x(个) 加工时间 y(分钟)

第一次 第二次 第三次 第四次 第五次 10 62 20 67 30 75 40 80 50 89

(1)在 5 次试验中任取 2 次,记加工时间分别为 a,b,求事件 “a,b 均小于 80 分钟” 的概率. (2)请根据第二次、第三次、第四次试验的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程 = x+ . (3)根据(2)得到的线性回归方程预测加工 70 个零件所需要的时间. 14.(2014·淄博模拟)某研究小组为了研究中学生的身体发育情况,在某学校随 机抽出 20 名 15 至 16 周岁的男生,将他们的身高和体重制成 2×2 的列联表,根 据列联表的数据,判断该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和体重之间是否有关 系. 超重 偏高 不偏高 总计 附:独立性检验临界值表 P(K2≥k0) 0.025 0.010 0.005 0.001 4 3 7 不超重 1 12 13 总计 5 15 20

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k0

5.024

6.635

7.879

10.828

15.(能力挑战题)某地区甲校高二年级有 1100 人,乙校高二年级有 900 人,为了 统计两个学校高二年级在学业水平考试中的数学学科成绩 ,采用分层抽样的方 法在两校共抽取了 200 名学生的数学成绩,如表:(已知本次测试合格线是 50 分, 两校合格率均为 100%) 甲校高二年级数学成绩: 分组 频数 [50,60) 10 [60,70) 25 [70,80) 35 [80,90) 30 [90,100] x

乙校高二年级数学成绩: 分组 频数 [50,60) 15 [60,70) 30 [70,80) 25 [80,90) y [90,100] 5

(1)计算 x,y 的值,并分别估计以上两所学校数学成绩的平均分(精确到 1 分). (2)若数学成绩不低于 80 分为优秀,低于 80 分为非优秀,根据以上统计数据填写 下面 2×2 列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“两个 学校的数学成绩有差异”? 甲校 优秀 非优秀 总计 乙校 总计

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答案解析
1.【解析】选 B.散点图①中的点无规律分布,范围很广,表明两个变量之间的相 关程度很小;②中所有的点都在同一条直线上 ,是函数关系;③中的点分布在一 条带状区域上,即点分布在一条直线的附近 ,是线性相关关系 ;④中的点也分布 在一条带状区域内,但不是线性的,而是一条曲线附近,所以不是线性相关关系. 2.【解析】选 C.“近视”与“性别”是两类变量,其是否有关,应该用独立性检 验判断. 3.【解析】选 B.一组数据都加上或减去同一个常数,数据的平均数有变化,方差 不变(方差是反映数据的波动程度的量),①正确;回归方程中 x 的系数具备直线 斜率的功能,对于回归方程 =3-5x,当 x 增加 1 个单位时,y 平均减少 5 个单位, ②错误;因为 K2 的观测值 k=13.079>10.828,故在犯错误的概率不超过 0.001 的前 提下认为这两个变量有关系,③正确. 4.【解析】选 A.可计算 k≈11.377>10.828,故在犯错误的概率不超过 0.001 的 前提下认为多看电视与人变冷漠有关系. 5.【解析】选 B.因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未 找到引用源。, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=42, 又 = x+ 必过(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。),所以 42=错误! 未找到引用源。×9.4+ ,所以 =9.1. 所以回归方程为 =9.4x+9.1, 所以当 x=6 时, =9.4×6+9.1=65.5(万元). 【方法技巧】样本中心点的应用
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在回归分析中,变量 x 与 y 的平均值对应的点(错误!未找到引用源。,错误!未 找到引用源。)称为样本中心点,回归直线方程可能不过任何一个样本点,但必过 中心点,通过把中心点坐标代入回归方程,可以求方程中的系数. 【加固训练】(2013〃安庆模拟)某著名纺织集团为了减轻生产成本继续走高的 压力,计划提高某种产品的价格,为此销售部在 10 月 1 日至 10 月 5 日连续五天 对某个大型批发市场中该产品一天的销售量及其价格进行了调查 ,其中该产品 的价格 x(元)与销售量 y(万件)之间的数据如下表所示: 日期 价格 x(元) 销售量 y(万件) 10 月 1 日 10 月 2 日 10 月 3 日 10 月 4 日 10 月 5 日 9 11 9.5 10 10 8 10.5 6 11 5

已知销售量 y 与价格 x 之间具有线性相关关系,其回归直线方程为: =-3.2x+ , 若该集团提高价格后该批发市场的日销售量为 7.36 万件,则该产品的价格约为 ( A.14.2 元 C.14.8 元 B.10.8 元 D.10.2 元 )

【解析】选 D.依题意错误!未找到引用源。=10,错误!未找到引用源。=8.因为 线性回归直线必过样本中心点(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。), 所以 8=-3.2×10+ ,解得 =40.所以回归直线方程为 =-3.2x+40.令 y=7.36,则 7.36=-3.2x+40,解得 x=10.2.所以该产品的价格约为 10.2 元. 6.【思路点拨】观察哪些点会在某一条直线附近. 【解析】选 D.去除(4,10)后,其余四点大致在一条直线附近,相关性最强. 7.【解析】选 C.因为 K2≈7.8≥6.635,所以相关的概率大于 1-0.010=0.99,所以
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选 C. 8.【思路点拨】根据最小二乘法的有关概念,样本点的中心,相关系数,线性回归 方程的意义等进行判断. 【解析】选 D. 选项 A 表示直线的倾斜程度;它们的计算公式也不相同 相关系数的值有正有负,还可以是 0;当相关系数在 0 到 1 B 之间时,两个变量为正相关,在-1 到 0 之间时,两个变量为 负相关 l 两侧的样本点的个数分布与 n 的奇偶性无关,也不一定是 C 平均分布 回归直线 l 一定过样本点中心(错误!未找到引用源。,错 误!未找到引用源。);由回归直线方程的计算公式 =错误! D 未找到引用源。- 错误!未找到引用源。可知直线 l 必过 点(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。) 9.【解析】(1)(3)(4)是不确定的相关关系,(2)是函数关系,(5)是确定的对应关 系,(6)没有相关性. 答案:(1)(3)(4) 10.【解析】由已知得 =错误!未找到引用源。=7, =错误!未找到引用源。- 错误!未找到引用源。=0, 故 =7x.当 x=26.5 时,y=185.5(cm).
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具体分析 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度 ,直线的斜率

结论 不正确

不正确

不正确

正确

答案:185.5 11.【解析】设所求数据为 m,因为错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 =30, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。. 又(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。)在回归直线上, 所以错误!未找到引用源。=0.67×30+54.9. 解得 m=68. 答案:68 【加固训练】某工厂经过技术改造后,生产某种产品的产量 x(吨)与相应的生产 能耗 y(吨标准煤)有如下几组样本数据. x y 3 2.5 4 3 5 4 6 4.5

据相关性检验,y 与 x 具有线性相关关系,通过线性回归分析,求得回归直线的斜 率为 0.7,那么 y 关于 x 的回归直线方程是 .

【解析】先求得错误!未找到引用源。 =4.5, 错误!未找到引用源。 =3.5, 由 =0.7x+ 过点(错误!未找到引用源。,错误!未找到引用源。),则 =0.35,所以 回归直线方程是 =0.7x+0.35. 答案: =0.7x+0.35 12.【解析】对于①,线性回归方程对应的直线 = x+ ,一定经过(错误!未找到引 用源。,错误!未找到引用源。),可能不经过所有的样本数据点,所以①不正确. 对于②,设 f(x)为定义在 R 上的奇函数,当 x>0 时,f(x)=错误!未找到引用源。, 当 x<0 时,f(x)=-错误!未找到引用源。;所以②不正确.
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对 于 ③ , 圆 x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0) 与 坐 标 轴 的 交 点 坐 标 分 别 为 (x1,0),(x2,0),(0,y1),(0,y2),则 x1x2-y1y2=0,因为当 x=0 时,y2+Ey+F=0,y1y2=F,当 y=0 时,x2+Dx+F=0,x1x2=F,所以 x1x2-y1y2=0,③正确. 对于④,圆锥的底面直径为 2,母线长为错误!未找到引用源。,圆锥的底面圆的 圆心就是圆锥外接球的球心,所以外接球的半径为 1,则该圆锥的外接球表面积 为 4π,所以④正确.正确结果有③④. 答案:③④ 13.【解析】(1)a,b 构成的基本事件(a,b)有:(62,67),(62,75),(62,80), (62,89),(67,75),(67,80),(67,89),(75,80),(75,89),(80,89)共有 10 个. 其中“a,b 均小于 80 分钟”的有(62,67),(62,75),(67,75)共 3 个. 所以事件“a,b 均小于 80 分钟”的概率为错误!未找到引用源。. (2)错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。(20+30+40)=30,错误!未找 到引用源。=错误!未找到引用源。(67+75+80)=74.所以 =错误!未找到引用源。 =错误!未找到引用源。. 所以 =错误!未找到引用源。- 错误!未找到引用源。=74-错误!未找到引用源。 ×30=54.5, 所以 y 关于 x 的线性回归方程 =错误!未找到引用源。x+54.5. (3)由(2)知 y 关于 x 的线性回归方程为 =错误!未找到引用源。x+54.5, 当 x=70 时,y=错误!未找到引用源。×70+54.5=100. 所以预测加工 70 个零件需要 100 分钟的时间. 14.【解析】由表可得 a+b=5,c+d=15,a+c=7,b+d=13,ad=48,bc=3,n=20,所以 K2 的观测值 k=错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。≈5.934,
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由于 5.934>5.024,所以在犯错误的概率不超过 0.025 的前提下认为该学校 15 至 16 周岁的男生的身高和体重之间有关系. 【方法技巧】两个分类变量是否有关的直观判断 在列联表中,可以估计满足条件 X=x1 的个体中具有 Y=y1 的个体所占的比重错误! 未找到引用源。,和满足条件 X=x2 的个体中具有 Y=y1 的个体所占的比重错误!未 找到引用源。,若两个分类变量无关,则两个比重应差别不大,即错误!未找到引 用源。≈错误!未找到引用源。,因此两个比重错误!未找到引用源。和错误! 未找到引用源。相差越大,两个分类变量有关的可能性就越大. 【加固训练】为了比较“传统式教学法”与我校所创立的“三步式教学法”的 教学效果.共选 100 名学生随机分成两个班,每班 50 名学生,其中一班采取“传 统式教学法”,二班实行“三步式教学法”. (1)若全校共有学生 2000 名,其中男生 1100 名,现抽取 100 名学生对两种教学法 的受欢迎程度进行问卷调查,应抽取多少名女生? (2)表 1,2 分别为实行“传统式教学法”与“三步式教学法”后的数学成绩: 表1 数学成绩 频数 表2 数学成绩 频数 90 分以下 5 90~120 分 40 120~140 分 3 140 分以上 2 90 分以下 15 90~120 分 20 120~140 分 10 140 分以上 5

完成下面 2×2 列联表,并回答能否在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为这 两种教学法有差异.
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120 分以下(人数) 一班 二班 总计

120 分以上(人数)

总计(人数)

参考公式:K2=错误!未找到引用源。,其中 n=a+b+c+d. 参考数据: P(K2≥k0) k0 0.40 0.708 0.25 1.323 0.10 2.706 0.05 3.841 0.010 6.635 0.005 7.879

【解析】(1)设抽取女生 x 人,则错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。, 解得 x=45,所以女生抽取 45 人. (2)列联表如下: 120 分以下(人数) 一班 二班 总计 35 45 80 120 分以上(人数) 15 5 20 总计(人数) 50 50 100

K2 的观测值 k=错误!未找到引用源。=6.25, 由此可知在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为这两种教学法有差异,不能 在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为这两种教学法有差异. 15.【解析】(1)依题意甲校应抽取 110 人,乙校应抽取 90 人, 故 x=10,y=15, 由此估计甲、乙两校数学成绩的平均分为: 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。
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≈75, 错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。≈71. (2)2×2 列联表如下: 甲校 优秀 非优秀 总计 40 70 110 乙校 20 70 90 总计 60 140 200

k=错误!未找到引用源。≈4.714, 又因为 4.714>3.841.故能在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为 “两个学校 的数学成绩有差异”.

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