统计学原理 第五章 5-1-(5.1-5.4)


第5章 指数

《统计学教程》第5章 指数
5.1 相对数 5.3 平均指数 5.1.1 相对数的量纲 5.3.1 平均指数数量指数和质量指数 5.1.2 计划完成相对数 5.3.2 固定权数的平均指数 5.1.2 结构相对数 5.4 指数体系 5.1.3 比例相对数 5.4.1 指数体系与因素分析 5.1.4 比较相对数 5.4.2 指数体系的动态分析 5.1.6 强度相对数 5.4.3 指数体系的静态分析 5.1.7 动态相对数 5.5 我国的物价指数 5.1.8 相对数小结 5.5.1 居民消费价格指数 5.2 综合指数 5.5.2 商品零售价格指数 5.2.1 指数的分类 5.5.3 工业品出厂价格指 5.2.2 综合指数原理 5.5.4 股票价格指数 5.2.3 拉氏指数和帕氏指数 5.2.4 著名的指数公式 5.2.5 拉氏指数和帕氏指数的变形
2012年7月9日/下午2时2分

? 统计指数起源于十八世纪的欧洲后半期。当时

物价变动频繁,出于了解物价变动的实际需要, 产生了反映单一商品价格在不同时间上对比的 个体物价指数(动态相对数),并逐渐发展演 进为反映多种商品价格全面变动的综合物价指 数,形成了初步的指数方法和理论。随后,指 数的应用逐步推广到反映产量变动的物量指数, 以及反映其它现象综合的各种指数,例如工业 生产量指数、劳动生产率指数、生活水平指数 和社会发展指数等。最后,指数的应用扩展到 数量差异的静态对比领域。

? 从内涵角度,指数是反映研究对象某一数量特

征在时间上,或空间上差异的方向和程度的测 度。从外延角度,指数可以从广义和狭义两个 概念上去理解。狭义的指数是指度量多个项目 综合变动的方向和程度的测度,一般称为总指 数。广义的指数是指任意两个数值的对比,泛 指反映数量差异的各类相对数,既包括狭义的 指数,也包括只反映单项事物变动的个体指数。

? 工业生产指数

(Industrial Production Index, Index of Industrial Production, Industrial Output Index) ? 工业生产指数就是用加权算术平均数编制的工业产品 实物量指数,是西方国家普遍用来计算和反映工业发 展速度的指标,也是景气分析的首选指标。工业生产 指数是以代表产品的生产量为基础,用报告期除以基 期取得产品产量的个体指数,以工业增加值计算权数 来加权计算总指数的。因此,在工业生产指数的计算 中,产品增加值的计算是权数计算的关键。

工业生产指数
? 个体指数 ? 分类指数【采矿业、制造业、电力、燃气及水的生产 ? ? ? ? ? ?

和供应业】 总指数【工业综合发展速度】 【权数】 以美国为例,工业生产指数由美国联邦储备委员会 (Federal Reserve Board)搜集资料,样本为250家个别 企业,代表27种不同的工业,以1987年为基期。 ★所有工业; ★市场分类:包括最终产品、中产品和原料市场; ★工业类别:包括制造业(耐用品与非耐用品)、矿业及 公用事业。

? 美国于每月15号公布上个月的统计结果。指数

上扬,代表经济好转,利率可能会调高,对美 元应是偏向利多,反之为利空。

我国工业生产指数
? 500多种代表产品 ? 选取的基本原则主要包括: ? 从各个行业分品种和规格来选择代表产品,并

注重价值量比较大,处于上升趋势和经济寿命 期长,且在一定的时期内处于相对稳定的产品。 ? 【权数】1995年,五年不变。 ? 个体指数、分类指数、总指数。

工业生产指数与工业总产值发展速度
? 产品法与工厂法 ? 抽样调查与全面调查 ? 平均指数与综合指数

劳动生产率
? 劳动生产率是指劳动者在一定时期内创造的劳

动成果与其相适应的劳动消耗量的比值。劳动 生产率水平可以用同一劳动在单位时间内生产 某种产品的数量来表示,单位时间内生产的产 品数量越多,劳动生产率就越高;也可以用生 产单位产品所耗费的劳动时间来表示,生产单 位产品所需要的劳动时间越少,劳动生产率就 越高。

劳动生产率
? 全员劳动生产率指根据产品的价值量指标计算

的平均每一个从业人员在单位时间内的产品生 产量。是考核企业经济活动的重要指标,是企 业生产技术水平、经营管理水平、职工技术熟 练程度和劳动积极性的综合表现。

? 目前我国的全员劳动生产率是将工业企业的工

业增加值除以同一时期全部从业人员的平均人 数来计算的。计算公式为:
? 全员劳动生产率=工业增加值/全部从业人员平均人数

人类发展指数
? 人类发展指数HDI(Human Development Index)是由

联合国开发计划署(UNDP)在《1990年人文发展报 告》中提出的,用以衡量联合国各成员国经济社会发 展水平的指标,是对传统的GNP指标挑战的结果。 ? 1990年5月,联合国开发计划署首次公布了人文发展 指数(HDI)。 ? 人类发展指数考虑国民生产总值、教育成绩【识字 率】、平均寿命等因素。 ? 在1991 年的《人文发展报告》中,又增加了环境破坏 和居民自由程度两个因素。

5.1 相对数

? 相对数为两个相互关联的数据的比值。 ? 绝对数作为统计整理数值汇总的直接成果,反

映的只是数据的总量数值和频数分布,表现为 具有量纲的绝对水平。 ? 相对数是指通过两个有关联的数据对比的方式 来反映现象之间联系的测度。其一般形式可表 示为: ? 相对数=对比数/基数。

? 通过计算这样的一个比值,将所研究的数据的

绝对水平转化为以某一基准单位水平的相对形 式,具体的绝对水平在这一相对比较过程中消 失了;同时,相对数还以无名数的形式,或者 以分子与分母量纲的复合形式,消除了或者统 一了数据的量纲,使之具有普遍的可比性。

? 5.1.1 相对数的量纲 ? 与绝对数不同,相对数是以某个数据(相对数

的基数)作为参照系来观察所研究现象的数量 特征。这一数量特征不是绝对水平的高低,而 是分子和分母相对比值,是一个相对的数量特 征。根据计算相对数的分子和分母的绝对数量 纲是否一致,相对数的计量单位有无名数和复 合量纲两种形式。

? 1、 无名数 ? 当计算相对数分子和分母的量纲为一致的时,原有数

? ? ? ?

据的量纲相互约去,相对数的量纲为无名数,无名数 是一种典型的抽象化数值。依据基数数值水平的大小, 相对数比值的数值水平存在显著不同的比例,进而形 成了以下一些常用的具体划分。 (1)系数和倍数 将基数抽象化为1。当倍数值小于1 时又称为系数。 (2)成数 将分母看作10。 (3)百分数(%) 将分母抽象化为100。 (4)千分数(‰)将分母抽象化为1,000。

? (5) 基点 Basis Point(bp)用于金融方面,

债券和票据利率改变量的度量单位。一个基点 等于1个百分点的1%,即0.01%,因此,100 个基点等于1%。

? 2、 复合量纲 ? 当计算相对数的分子和分母的量纲不一致时,

相对数的量纲为复合量纲。复合量纲是由计算 相对数的分子和分母的量纲复合而成的计量单 位,具有复合量纲的相对数是有名数。

? 人口密度(人/平方公里) ? 2007年:世界人口密度: ? ?

51人/平方公里 中国人口密度: 141人/平方公里 孟加拉国人口密度: 1218人/平方公里 印度人口密度: 378人/平方公里 日本人口密度: 351人/平方公里 韩国人口密度: 491人/平方公里 加拿大人口密度: 4人/平方公里 美国人口密度: 33人/平方公里

? 法国人口密度:

德国人口密度: 意大利人口密度: 英国人口密度: 澳大利亚人口密度: 新西兰人口密度: 俄罗斯联邦人口密度: 蒙古人口密度: 哈萨克斯坦人口密度:

112人/平方公里 236人/平方公里 202人/平方公里 252人/平方公里 3人/平方公里 16人/平方公里 9人/平方公里 2人/平方公里 6人/平方公里

人口增长率 (Growth Rate of Population)
? 人口增长率= ? (年末人口数-年初人口数年)/平均人口数×1000‰。 ? 就一国或一地区来看,人口增长包括人口自然

增长和人口机械增长。 ? 就全世界范围来看,人口增长只包括人口自然 增长,人口增长率即人口净增率。 ? 人口自然增长率非洲最高,一般国家都达到 2%以上。

人口增长率
? 1950年世界人口的33%生活在工业化国家,

2007年这一比例已降为20%,预计到2050年 时将进一步降为12%,届时有77亿人生活在发 展中国家,14亿生活在发达国家,世界总人口 将达到91亿,低于此前预计的100亿。

? 联合国人口基金会2007年的《世界人口状况报

告》统计显示,目前世界总人口为66.1026亿, 人口增长率是1.16%,年增人口数7000万,其 中95%在发展中国家。其中发达国家人口为13 亿,增长率是0.3%;发展中国家人口为53亿, 增长率是1.4%。全球平均每个妇女生2.6个孩 子,发达国家只有1.5个,发展中国家为2.8个。

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5.1 相对数

5.1.2 计划完成相对数 它是用实际完成数与计划任务数相对比而得到的相对数。计划完成相 对数通常以“%”表示,因此又称计划完成百分比。其计算公式为
计划完成相对数 ? 实际完成数 计划数 ? 100 %

(5.1)

根据数据的不同,需要采取不同的方法来计算计划完成相对数指标。

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5.1 相对数

1、 根据绝对数计算 当式(5.1)的分子和分母为绝对数时,通常还计算计划完成相对数的 子项与母项之差,以反映形成计划完成相对数的绝对水平和绝对差异。 例5.1 设某企业计划2005年利润总额为500万元,年底实际实现年利 润总额为600万元。 要求 计算计划完成相对数,分析该企业2005年利润完成情况。 解 由式(5.1),有
年利润计划完成相对数 ? 600 500 ? 100 % ? 120 %

超额完成年利润计划的绝对值=600─500=100万元 该企业超额20%完成2005年利润计划,超额完成的利润总额为100万元。

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5.1 相对数

2.根据相对数计算 在计划指标是以本年度计划数比上年度实际数要提高或降低多少的相 对数表示时,需要根据相对数计算计划完成相对数,如劳动生产率提高 率,成本降低率等。 例5.2 某企业计划2005年度利润计划比2004年要提高15%,实际2005 年度利润比2004年提高了38%。 要求 计算计划完成相对数,分析该企业2005年利润完成情况。 解 同样,可由式(5.1),有
年利润计划完成相对数 ? 1 ? 38 % 1 ? 15 % ? 100 % ? 120 %

该企业超额20%完成2005年利润计划。

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5.1 相对数

3.根据均值计算 用于检查用均值形式制定的计划执行情况。例如检查平均工资水平, 单位成本计划完成情况等场合。 例5.3 设某企业2005年产品生产的人均日计划产量为80只,实际2005 年平均人均日产量达到88只。 要求 计算计划完成相对数,分析该企业2005年人均年产量计划完成 情况。 解 仍由式(5.1),有
年人均产量计划完成相 对数 ? 88 80 ? 100 % ? 110 %

该企业超额10%完成了2005年人均产量计划。

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5.1 相对数

5.1.3 结构相对数 它是在统计分组的基础上将各组数值与总体全部数值相对比而得出的, 计算公式为
结构相对数 ? 总体部分数值 总体全部数值 ? 100 %

(5.2)

结构相对数的典型特点是它们的和等于1或100%。频数的相对形式— —频率,就是一种重要的结构相对数。

总体是在同一性质基础上由具有差异的各部分组成的,为了从总体的 组成状况认识总体,就需要计算结构相对数。

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5.1 相对数

采用结构相对数,反映总体内部结构的特征。 表5.1 某纺织企业2005年产品销售情况

产品 坯 布 色织布 染色布 印花布 针织布 合 计
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销售额 /万元 200 400 900 140 600 2240

结构 /% 8.93 17.86 40.18 6.25 26.79 100.00

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5.1 相对数

通过结构相对数的变动,分析现象运动和发展的过程。 表5.2 我国大中小学生构成变化情况
年份 大学生 中学生 小学生 1949年 0.4 4.9 94.7 1965年 0.5 10.9 88.6 1979年 0.5 29.0 70.5 1986年 1.0 28.5 70.5

%
1998年 1.6 33.0 64.4

资料来源:1999年中国统计摘要.北京.中国统计出版社 1999

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5.1 相对数

5.1.4 比例相对数 比例相对数是总体内不同组成部分的数值对比的结果,用来表明总体 内部的比例关系。 比例相对数的计算仍然基于统计分组,为同一总体内部的某一分组的 数值与另一分组的数值相对比所得出的比值。如人口总体中的性别比等, 其计算公式为
比例相对数 ? 总体中某一部分数值 同一总体中另一部分数 值 ? 100 %

(5.3)

结构相对数和比例相对数反映的都是同一总体内部的构成比例,区别 仅在于选择的对比基数不同。结构相对数同一总体的不同部分的数值与 总体总值的比值;比例相对数是同一总体的不同部分数值之间的相互比 较。比例相对数可以用百分数表示,也可以用一比几或几比几的形式表 示。
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5.1 相对数

5.1.5 比较相对数 比较相对数又称类比相对数,它是指在同一时间条件下,不同总体的 同类数据之间的相互对比,即同一时间的同类现象数量特征在不同空间 的对比。例如,不同地区、单位和部门的同类数据之间的比较,比较相 对数一般用百分数或倍数表示。计算公式为
比较相对数 ? 某类数据 另一总体的同类数据 ? 100 %

(5.4)

比较相对数的分子和分母数据的涵义、口径、时间和计算方法必须一 致。计算比较相对数可以用绝对数,也可以用相对数或集中趋势数据。 由于绝对数受到总体规模大小的影响,不便于直接进行比较,也不便于 直接计算比较相对数。因此,大多采用相对数或集中趋势数据计算比较 相对数。

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国家 世 界 中 国 孟加拉国 印 度 印度尼西亚 伊 朗 以色列 日 本 哈萨克斯坦 韩 国 马来西亚 蒙 古 缅 甸 巴基斯坦

2008GDP(亿美元) 606898 44016 819 12097 5118 3448 2018 49238 1322 9470 2222 53 272 1676

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

菲律宾 新加坡 斯里兰卡 泰 国 越 南 埃 及 尼日利亚 南 非 加拿大 墨西哥 美 国 阿根廷

1686 1819 396 2732 898 1622 2144 2772 15110 10881 142646 3265

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

意 大 利 23139 8689 荷 兰 5257 波 兰 罗马尼亚 1997 16766 俄罗斯联邦 西 班 牙 16118 土 耳 其 7294 乌 克 兰 1797 26741 英 国 澳大利亚 10107 新 西 兰 1285

? ? ? ? ? ? ?

巴 西 委内瑞拉 白俄罗斯 保加利亚 捷 克 法 国 德 国

15728 3194 603 520 2171 28657 36675

【相对数】2008人均国民总收入(美元)
国家
世界 中国 香港 美国 日本 德国 澳大利亚 奥地利 比利时 加拿大 爱尔兰 利比里亚
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人均国民总收入
8613 2940 31420 47580 38210 42440 40350 46260 44330 41730 49590 170

【世界各国平均身高数据】
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

0:荷兰本土居民1..90/1.80 1,荷兰 185.5/172 2,丹麦 181.5/170 3,德国 180.2/170.1 4,挪威 179.7/169.35 5,瑞典 179.6/169.3 6,卢森堡 179.1/169 7,奥地利 178.2/168.1 7,芬兰 178.2/168.1 9,英国 180.1/170 10,罗马尼亚178/168 11,澳大利亚177/167 11,匈牙利 177/167 11,加拿大 177/167

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

14,希腊 176.5/166.25 15,法国 176.4/166.2 16 意大利 176.1/166.1 16,爱尔兰 176.1/166.2 18,比利斯 175.6/165.3 19,俄罗斯 177/167.1 19,美国 179/169.2 19,新西兰 175/165 22,葡萄牙 173.9/164 23,西班牙 173.4/163.5 24,韩国 176.3/169.2 25,阿尔及利亚172.2/162.3 26,土耳其 172/162

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

27,巴西 171/161 27,墨西哥 171/161 29,日本 171.7/162 30,波兰 170/160 31,马尔他 169.9/159.9 32,中国 169.7/160.1 33,通加 169.4/159.2 34,蒙古 168/158 35,印度 167.6/157.3 36,越南 165/155 37,朝鲜 158/150

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5.1 相对数

5.1.6 强度相对数 强度相对数是两个有密切联系的,性质不同总体的数据的对比,以反 映事物发展的强度、密度、普遍程度或经济效益高低的测度。强度相对 数主要用于分析不同现象之间的数量关系。计算公式为
强度相对数 ? 某一测度数值 另一有联系性质不同的 测度数值

(5.5)

比如,总人口数与国土面积相比得出人口密度、国内生产总值与总人 口数相比得到人均国内生产总值、利税总额与固定资产投资额相比得到 投资回报率、新增人口数与同期平均人数相比得到人口增长率、销售总 额与同期平均库存额相比得到商品的周转次数等都是强度相对数。 强度相对数一般为有名数,通常使用复合单位。强度相对数的分子和 分母一般可以互换,从而有正指标和逆指标之说。 【医疗卫生保障程度:病床/千人;人/病床】 有些强度相对数也使用“平均”的字眼,但它不是同一总体的总值与 其频数的商,而是两个不同总体的数据的比值,同均值存在本质的区别。
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强度相对数
人口密度【人/平方公里】 人均国内生产总值 投资回报率 人口增长率 商品周转次数【销售总额/同期平均库存额】 医疗卫生保障程度【病床/千人】【人/病床】 人均可支配收入 流动比率【流动资产/流动负债】 资产负债率 产权比率=总负债/股东权益 权益乘数=总资产/股东权益
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5.1 相对数

5.1.7 动态相对数 以上介绍的相对数都是两个有联系的数据在空间上的比较,动态相对 数则是两个有联系的数据在时间上的比较。动态相对数是将某一数据的 较近期(一般称为报告期)的数值,与同一数据的较远期(一般称为基 期)的数值相对比,表明现象在不同时间上变动方向及其程度的相对数。 动态相对数可用百分数和倍数表示。 其计算公式为
动态相对数 ? 报告期水平 基期水平

(5.6)

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5.1 相对数

例5.4 我国1996—2003年国内产生总值数据如表5.4 所示。 表5.4 我国1996—2003年国内产生总值数据
年份 GDP 1996 67885 1997 74463 1998 78345 1999 82067 2000 89468 2001 97315

亿元
2002 2003 105172 117252

资料来源:2004中国统计年鉴. 北京. 中国统计出版社 2004 要求 试计算以我国1996年国内产生总值为100的的动态相对数。 解 由式(5.6)计算得

表5.5 我国1996—2003年国内产生总值发展速度

%

年份 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 发展速度100.00 109.69 115.41 120.89 131.79 143.35 154.93 172.72

以1996年国内产生总值67885亿元为100

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GDP平减指数
? GDP 缩减指数(GDP Deflator),也称为GDP折

算指数。是现价GDP(Current-Price GDP)【名 义 GDP(Nominal GDP)】 与 不 变 价 GDP(Constant-Price GDP)【真实GDP】的比 值。

GDP平减指数
? 【例】 若某飞机制造商2002年生产飞机6架,

当年售出4架,销售价格为每架飞机2000美元; 2003年生产飞机8架,当年售出7架,价格为每 架飞机2200万美元;2004年生产飞机12架, 价格为每架飞机2500万美元。求各年度的名义 GDP是多少:

? 解: ? 2002年度GDP=2000*6=12000(万美元) ? 2003 年 GDP=2200*8+ ( 2200-2000 )

*2=18000(万美元) ? 2004 年 GDP=2500*12+ ( 2500-2200 ) *3=39000(万美元) ? 平减指数

5.1.8 相对数小结

5.2 综合指数

公式所用符号的约定:
? ?
K

表示总指数;

p表示价格;

?
? ? ?

q表示数量;
下标0表示基期的取值; 下标1表示报告期的取值; 下标s表示特定期的取值。

? 5.2.1 指数的分类 ? 指数(Index Number)是度量和分析多个项目

综合变动和综合差异的方法和测度。从不同视 角,指数可以分为几种基本的类型。 ? 1.数量指数和质量指数 ? 数量指数:工业生产指数、销售量指数、人口 数量指数 ? 质量指数:价格指数【消费价格指数、股价指 数】、劳动生产率指数、成本指数

? 2. 时间性指数【定基指数、环比指数】 ? 定基指数=环比指数的乘积和区域性指数

? 3.个体指数【相对数】和总指数 ? 4.简单指数(Simple Index Number) 【相同量

纲】和加权指数 ? 5.综合指数【GDP平减指数】与平均指数

简单综合法

简单算术法
简单调和平均法

简单指数法

统 计 指 数 编 制 方 法

(不使用权数)

简单几何平均法 简单中位数法 简单众数法 拉斯贝尔指数法 加权综合指数法 派许指数法

固定权数指数法
加权指数法
(使用权数)

加权算术平均数指数法

加权平均指数法

加权调和平均数指数法 固定权数指数法

? 5.2.2 综合指数原理

? 综合指数就是利用总体的全面资料,计算出两个相互

关联的,具有相同量纲的,进行相对比较的绝对数, 通过这两个绝对数的比值,来反映构成绝对数的某一 因素的影响方向和程度。 ? 为了单纯分析这一因素的变动或差异所形成的数值影 响,需要将绝对数分解为两个,或者两个以上因素的 乘积,通过将其它非分析因素在分子和分母中相同取 值的设置,将其固定同一时间或同一空间,从而单纯 地反映出所研究的因素变动对比值数值水平的影响, 来度量所研究的因素对于事物某一数量特征的变动或 差异的作用。

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5.2 综合指数

例5.5 假设某商场仅经营三种商品,其销售情况如下表。 表5.5 某商场甲、乙、丙三种商品销售情况
商 品 名 称 甲 乙 丙 计 量 单 位 千克 件 台 销售量 上月 Q0 本月 Q1 1100 1500 1000 1200 800 850 销售价格 /元 上月 P0 本月 P1 15 13 100 100 150 180

可以计算出甲商品的个体物量指数, K

Q

?

Q1 Q0

?

1500 1100

? 136 . 36 %

和甲商品的个体价格指数
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KP ?

P1 P0

?

13 15

? 86 . 67 %

? 直接加总该商场经营的这三种商品的销售量

∑q1/∑q0 ,由于这三种商品的属性各不相同, 计量单位都不一样,它们的销售量之间完全没 有可加性。 ? 直接加总该商场经营的这三种商品的销售价格, 并加以比较,即计算销售价格的简单指数 ∑p1/∑p0 ,这显然也不能成立,因为商品的销 售量不同。

简单指数法
例:设某商店3种商品报告期和基期销售价格如下表所示。

(一)简单综合法
K ?

?p ?p
19 . 0 17 . 4

1 0

?

4 . 0 ? 3 . 0 ? 12 . 0 4 .2 ? 3 .6 ? 9 .6

?

? 1 . 0920 或 109 . 20 %

缺陷:

? 计算结果受计量单位影响; ? 存在隐伏加权,结果受价值高的商品影响。

(二)简单算术平均法
K ? 1 N

?

p1 p0

?

1? 4 3 12 ? ? ? ? ? 3 ? 4 .2 3 .6 9 .6 ?

? 1 . 0119 或 101 . 19 %

缺陷:

? 将各个体指数权数视为相等,与商品重要性和价格变动的实际影 响不符。

(三)简单调和平均法
K ? 1 1 N

?

1 p1 p0

?

N

?

p0 p1

?

3 4 .2 4 ? 3 .6 3 ? 9 .6 12

? 0 . 9836 或 98 . 36 %

缺陷:

? 经济寓意不明,实践少有采用。

(四)简单几何平均法
K ?
N

?

p1 p0

?

3

4 4 .2

?

3 3 .6

?

12 9 .6

? 0 . 9973 或 99 . 73 %

计算结果介于简单算术平均法与简单调和平均法之间。 在计算机广泛应用的现在,原本烦琐的计算过程已不成问题。

(五)简单中位数法
? p ? K ? ? 1 ? ? 0 . 9524 或 95.24% ? p ? N ?1 ? 0 ?
2

缺陷: ? 代表性不充分,指标项数较少时,与平均法计算结果相差较大;

? 缺乏稳定性,指标项数较多时,往往受数列中间项数的影响;
? 敏感度较低,不受极端值影响,缺乏平均性。

(六)简单众数法
? p ? K ? ? 1? ?p ? ? 0 ? Mo

Mo 表示众数。

根据例中资料无法计算该三种商品的价格总指数。
缺陷: ? 指标项数较少时,不易得到众数;

? 指标项数较多时,缺乏平均性,灵敏度较差。

?简单指数法小结: ?简单指数法没有结合商品的重要性和影响力,

计算结果只是粗略的概况,不是编制指数的完 美方法。 ?但当实际中由于种种客观条件的限制而无法取 得权数资料时,仍不失为测算指数的一种手段。 ?在现在国际上指数编制实践中,很少使用简单 指数法。

? 综合指数的基本思路可以归纳为综合和分析两个方面。 ? 综合的思路体现为量纲的可加性和总量数据的综合功

能上,通过因素之间的互为权数的设置,以一个统一 的总量数据作为对比的基础。 ? 分析的思路是将影响因素分为两类。一类是该指数所 研究的因素;另一类是暂时不考察的其它因素。在计 算比较的绝对数时,指数所研究的因素是变动的,即 子项和母项采用了不同时间或空间的数据来计算;而 其它因素是固定不变的,即采用了相同时间或空间的 数据来计算子项和母项。从而抽象掉其它因素的变动, 单纯地凸现出所研究的因素的变动,实现指数分析的 目的。在综合指数分析中,将所研究的因素称之为指 数化因素;其它因素称之为权数因素,或者称为同度 量因素。

? 个体指数(相对数) ? 组指数(类指数) ? 总指数(All Index)【综合指数、平均指数】

? 总值指数

例:设某商店3种商品报告期和基期销售资料如下表所示。

销售额总指数

K

pq

K

pq

?

?p ?p

1q 1 0q0

?

3952 4020

? 0 . 9831 或 98.31%

《统计学教程》
第5章 指数

5.2 综合指数

5.2.3 拉氏指数和帕氏指数 1.拉氏指数 拉氏指数(Laspeyres Index)是将权数因素固定在基期的综合指数。 这个指数公式是由德国学者埃蒂恩· 拉斯贝尔(Etienne Laspeyres) (1834–1913)在1864年提出的,故称之为拉氏指数。拉氏指数的数量指 数和质量指数计算公式为
IQ ?

?QP ?Q P
1 0

0

(5.9)

0

IP ?

? PQ ? PQ
1 0

0

(5.10)

0

一般将式(5.9)和式(5.10)称为拉氏公式。

2012年7月9日/下午2时2分

? 主要特点:将同度量因素的时期固定在基期 。 ? 经济意义:单纯反映指数化因素的综合变动 。 拉氏物量指数 ? 将价格因素固定在基期
Kq ? ?

?q ?q

1 0

p0 p0

?

250 ? 4 . 2 ? 800 ? 3 . 6 ? 46 ? 9 . 6 200 ? 4 . 2 ? 750 ? 3 . 6 ? 50 ? 9 . 6

4371 . 6 4020

? 1 . 0875 或 108 . 75 %
p 0 ? 4371 . 6 ? 4020 ? 351 . 6 (元)

?q

1

p0 ?

?q

0

计算结果说明由于销售量增加了8.75%,使销售额增加351.6元。

拉氏物价指数 ? 将物量因素固定在基期
K
p

?

?p ?p

1 0

q0 q0

?

4 . 0 ? 200 ? 3 . 0 ? 750 ? 12 . 0 ? 50 4 . 2 ? 200 ? 3 . 6 ? 750 ? 9 . 6 ? 50

?

3650 4020

? 0 . 9080 或 90 . 80 %

?

p 1q 0 ?

?

p 0 q 0 ? 3650 ? 4020 ? ? 370(元)

计算结果说明由于销售价格下降了9.20%,使销售额减少370元。

《统计学教程》
第5章 指数

5.2 综合指数

2.帕氏指数 帕氏指数(Paasche Index)是将权数因素固定在报告期的综合指数。 该指数是由德国学者哈曼· 派许(Herman Paasche) (1851-1925)在1874 年提出的,故称之为派氏指数。帕氏指数的数量指数和质量指数计算公 式为
IQ ?

?QP ?Q P
1 0

1

(5.11)

1

IP ?

? PQ ? PQ
1 0

1

(5.12)

1

一般将式(5.11)和式(5.12)称为派氏公式。
2012年7月9日/下午2时2分

? 主要特点:将同度量因素的时期固定在报告期 。
? 经济意义:在报告期同度量因素条件下,反映指数化因素的综合 变动 。

派氏物量指数
? 将价格因素固定在报告期
Kq ? ?

?q ?q

1 0

p1 p1

?

250 ? 4 . 0 ? 800 ? 3 . 0 ? 46 ? 12 . 0 200 ? 4 . 0 ? 750 ? 3 . 0 ? 50 ? 12 . 0

3952 3650

? 1 . 0827 或 108 . 27 %

?q

1

p1 ?

?q

0

p 1 ? 3952 ? 3650 ? 302 (元)

?q ?q

1 0

p1 p1

?

?q ?q

1 0

( p1 ? p 0 ) ? ( p1 ? p 0

?q )? ? q

1 0

p0 p0

从上式的分解可以看出, 派氏 物量指数 在反映销售量变动的同时,还反映了销售价格 变动部分的影响。

派氏物价指数 ? 将物量因素固定在报告期
K
p

?

?p ?p

1 0

q1 q1

?

4 . 0 ? 250 ? 3 . 0 ? 800 ? 12 . 0 ? 46 4 . 2 ? 250 ? 3 . 6 ? 800 ? 9 . 6 ? 46

?

3952 4371 . 6

? 0 . 9040 或 90 . 40 %
p 0 q 1 ? 3952 ? 4371 . 6 ? ? 419 . 6 (元)

?

p 1q 1 ?

?

?p ?p

1 0

q1 q1

?

?p ?p

1 0

(q 1 ? q 0 ) ? (q 1 ? q 0

? )? ?

p 1q 0 p0q 0

从上式的分解可以看出,派氏物价指数在 反映销售价格变动的同时,还反映了销售量变 动部分的影响。

2012-03-26(ZhouyiShangwu)

2012-03-28(ZhousanShangwu)

? 由拉氏公式和帕氏公式可知,计算综合指数的

分子和分母均为绝对数,其中有两项是实际的 绝对数∑Q0P0和∑Q1P1,两项假定的绝对数 ∑Q1P0和∑Q0P1,这四项绝对数都是具有实 际意义的数值。 ? 在综合指数分析中,需要结合绝对数数值及其 差额,对相对比值进行分析,以研究和说明综 合指数的相对比值形成的基础,及其对应的绝 对差异的数值水平。

《统计学教程》
第5章 指数

5.2 综合指数

假设某商场仅经营三种商品,其销售情况如下表。 表5.5 某商场甲、乙、丙三种商品销售情况
商 品 名 称 甲 乙 丙 计 量 单 位 千克 件 台 销售量 上月 Q0 本月 Q1 1100 1500 1000 1200 800 850 销售价格 /元 上月 P0 本月 P1 15 13 100 100 150 180

2012年7月9日/下午2时2分

《统计学教程》
第5章 指数

5.2 综合指数

例5.6 利用例5.5中商品销售量和销售价格数据。 要求 运用拉氏公式和帕氏公式计算综合指数中的数量指数和质量指 数。 【解:】由拉氏公式的数量指数式(5.9)和质量指数式(5.10),可以 计算得
IQ ?

IP ?

?QP ?Q P ? PQ ? PQ
1 0
1 0

0

?

270000 236500

? 114 . 17 %

0

0

?

258300 236500

? 109 . 22 %

0

运用拉氏公式的计算结果表明,报告期和基期相比,该商场销售量综 合上升了14.17 %,由于这一上升,使销售额增加了 ∑Q1P0—∑Q0P0 = 270000—236500= 33500元;同时,商场销售价格综合上升了9.22 %, 使销售额增加了 ∑P1Q0—∑P0Q0 = 258300—236500= 21800元。
2012年7月9日/下午2时2分

《统计学教程》
第5章 指数

5.2 综合指数

由帕氏公式的数量指数式(5.11)和质量指数式(5.12),可以计算得
?QP ?Q P
1 0

IQ ?

1

?

292500 258300

? 113 . 24 %

1

IP ?

? PQ ? PQ
1 0

1

?

292500 270000

? 108 . 33 %

1

运用帕氏公式的计算结果表明,报告期和基期相比,该商场销售量综合 上升了13.24 %,由于这一上升,使销售额增加了 ∑Q1P1—∑Q0P1 = 292500—258300= 34200元;同时,商场销售价格综合上升了8.33 %, 使销售额增加了 ∑P1Q1—∑P0Q1 = 292500—270000= 22500元。

2012年7月9日/下午2时2分

? 由于拉氏公式和帕氏公式权数因素的时期不同,

采用不同的指数公式计算的结果当然不同的。 拉氏公式和帕氏公式都符合构造综合指数的基 本原则,都是科学地计算综合指数的基本公式。 ? 一般而言,若分析侧重于测定现象以基期的结 构为比较基础的变动或差异程度时,宜采用以 为基期权数因素时间的拉氏公式,若研究的内 容需要测定现象以报告期的结构为比较基础的 变动和差异程度时,则以采用帕氏公式为宜。

? 同时,还需要依据所能够及时搜集的数据来选

择综合指数公式,保证综合指数的数据采集、 指数构造和数值计算的可行性。由于帕氏公式 需要具备报告期的权数因素数据,使得该公式 在经济管理实践中的推广应用存在难以避免的 局限。

《统计学教程》
第5章 指数

5.2 综合指数

5.2.4 著名的指数公式 1.马歇尔—艾奇沃斯指数 马歇尔—艾奇沃斯指数(Marshall- Edgeworth Index Number)是由 英国经济学家马歇尔(Alfred Marshall, 1842—1924)于1887年提出 的以基期和报告期物量因素的简单均值作为权数的综合物价指数。其计 算公式为 Q ?Q ?P 2 I ? (5.13) Q ?Q ?P 2
0 1 1 P 0 1 0

该公式后又为英国统计学家艾奇沃斯(Francis Ysidro Edgeworth, 1845—1926)所推广,因而又被称为马歇尔—艾奇沃斯指数。

2012年7月9日/下午2时2分

5.2.4 著名的指数公式

IQ ?

? ?

Q1 Q0

P0 ? P1 2 P0 ? P1 2

2012年7月9日/下午2时2分

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第5章 指数

5.2 综合指数

2.费雪理想指数 费雪理想指数(Fisher’s Ideal Index Number)是由美国统计学家费 雪(Irving Fisher,1867—1947)在1911年提出指数公式。该公式为 拉氏公式和帕氏公式的几何平均公式。
IP ?

? PQ ?PQ
1 0

0 0

?

? PQ ?PQ
1 0

1 1

(5.14)

IQ ?

?Q ?Q

1 0

P0 P0

?Q ? ?Q

1 0

P1 P1

(5.15)

2012年7月9日/下午2时2分

评价指数优劣的三项测验标准
? 费雪提出了评价指数优劣的三项测验标准: ? (1)时间互换测验标准。即:报告期对基期

的指数和基期对报告期的指数的乘积应等于1. ? (2)因子互换测验标准。物价指数和物量指 数的乘积应等于其总量指数。 ? (3)循环测验标准。环比指数的乘积等于相 应的定基指数。

EKS指数
三位匈牙利学者Elteto、Koves、Szule于1964年 共同创制的。简称“EKS指数”或“X指数”。

X

a /b p

?

m

?
t ?1

m

pa qt pb qt
'

'

.
m

V

a /b

?
t ?1

m

pt qa pt qb
'

'

2012年7月9日/下午2时2分

EKS指数
'

pa qa ?
m

?
t ?1

m

pa qt pb qt
'

'

.
m

pb qb

'

?
t ?1

m

pt qa pt qb
'

'

2012年7月9日/下午2时2分

EKS指数

?
?
t ?1 m

m

pa qt pb qt pt qa pt qb
' ' '

'

?
.
t ?1

m

paqa
'

'

?
t ?1

m

?
t ?1

m

pb qb

2012年7月9日/下午2时2分

EKS指数
m

?

m

?
t ?1 m

?? ?? ?? ??
a /t p

pa qt pt qt ? Ip
'

'

.

' paqa ? ? ??? ' pt qa ? ? ? ?

pt qb pb qb
'

'

.

' pt qt ? ? ?? ' pb qt ? ? ??

?

m

? ?I
t ?1

t /b

?

2012年7月9日/下午2时2分

? 【关于EKS指数】 ? 可参考: ? 杨灿. 现代指数形式理论评析.《厦门大学学报

(哲学社会科学版)》,2002(3): 32-40.

几种重要指数的测验结果
时间互换 因素互换 循环测验 理想指数 √ √ × 拉氏指数 × × × EKS指数 √ √ √ 马埃指数 √ × × 帕氏指数 × × ×

2012年7月9日/下午2时2分

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第5章 指数

5.2 综合指数

5.2.5 拉氏公式和帕氏公式的变形 将拉氏公式和帕氏公式略加变形,构造出相应的个体数量指数和个体 质量指数的加权平均形式的综合指数。 拉氏公式数量指数和质量指数的变形
IQ ?

? ?Q

Q 1 P0
0

?
?

Q1 Q0

? Q 0 P0 ?
0

?

K Q ? Q 0 P0

(5.16)

P

0

?Q
P1 P0

P0

?Q

0

P0

IP ?

? ? PQ
0

P1 Q 0
0

?

? Q 0 P0 ?
0

?Q

P0

? k ?Q P ?Q P
P 0 0 0

0

2012年7月9日/下午2时2分

? 帕氏指数数量指数和质量指数的变形

IQ ?

?QP ?Q P
1 0

1

?

?Q ?
Q0 Q1

1

P1

?

?Q ?

1

P1

1

Q 1 P1

Q 1 P1 KQ

Ip ?

?QP ?QP
1 1

1 0

?

?Q ?
P0 P1

1

P1

?

?Q ?

1

P1

Q 1 P1

Q 1 P1 kP

5.3 平均指数

? 平均指数是利用样本数据计算的总指数,是个

体指数的加权平均测度,是总指数的另一种形 式。 ? 平均指数的特点主要体现在两个方面,一是使 用的数据,平均指数是采用抽样调查、重点调 查所得到样本数据来编制的总指数;二是计算 公式的形式,平均指数是采用加权平均形式计 算的总指数。

5.3.1 【平均指数数量指数和质量指数】 为了突出平均指数与综合指数这个区别,以大写字母表示总体全面数 据,小写字母表示样本数据。 平均指数数量指数的计算公式为
?
Iq ? q1 q0 ? Q 0 P0 ?
0

?Q

P0

? k ?Q P ?Q P
q 0 0 0

0

(5.20)

Iq ?

?Q ?
q0 q1

1

P1

?

?Q ?

1

P1

Q 1 P1

Q 1 P1 kq

(5.21)

平均指数数量指数计算公式有算术平均和调和平均两种形式。其中算 术平均数量指数以基期总体的绝对数∑P0Q 0作为权数,调和平均数量指 数以报告期总体的绝对数∑P1Q 1作为权数。
2012年7月9日/下午2时2分

《统计学教程》
第5章 指数

5.3 平均指数

平均指数质量指数的计算公式为
?
Ip ? p1 p0 ? Q 0 P0 ?
0

?Q

P0

? k ?Q P ?Q P
p 0 0 0

0

(5.22)

Ip ?

?Q ?
p0 p1

1

P1

?

?Q ?

1

P1

Q 1 P1

Q 1 P1 kp

(5.23)

平均指数质量指数计算公式也有算术平均和调和平均两种形式。其中 算术平均质量指数以基期总体的绝对数∑P0Q0作为权数,调和平均质量 指数以报告期总体的绝对数∑P1Q1作为权数。

2012年7月9日/下午2时2分

《统计学教程》
第5章 指数

5.3 平均指数

5.3.2 固定权数的平均指数 如同均值中的权数,总指数的权数可以直接采用其绝对形式,也可以 采用其相对形式。相对形式的权数更加鲜明地反映了权数对于指数数值 水平形成的贡献和影响。 权数数据一般只能通过普查取得,因此在较长一段时间内连续使用。 固定权数的算术平均指数计算公式为
I ?

?

k

Q T PT

?Q

?

T

PT

? kW

T

(5.26)

固定权数的平均指数在国内外政府统计工作中得到广泛应用。例如商 品零售价格指数、居民消费价格指数、工业品出厂价格指数、工业生产 指数等,大多采用固定权数的平均指数方法编制。

2012年7月9日/下午2时2分

例5.7
居民消费价格指数计算表(%) 支出类 别 商品 服务 合计
k PWN

类价格指数

kP

固定权数

WN

120 130 ——

70 30 100

84 39 123

5.4 指数体系

? 5.4.1指数体系与因素分析 ? 关于指数体系也有广义和狭义两种理解。广义

的指数体系是指由若干个在经济意义上互相联 系的指数所构成的整体。狭义的指数体系则进 一步要求指数之间具有数量上的对等关系。 ? 指数体系(Index System)为一个总量指数和 一组因素指数构成的具有内在联系,量上相等 的数量关系式。
?

? 总量指数(Total Amount Index)是两个性质

相同,时间或者空间不同的绝对数的比值。总 量指数不属于狭义的指数,一般为动态相对数 或者比较相对数。
? 因素指数(Factor Index Number)是由构成

总量指数变动或者引起总量指数差异的因素计 算的总指数。

指数体系
【狭义指数体系】 商品销售额指数 ? 商品价格指数 ?商品销售量指数 工业总产值指数 ? 工人人数指数 ?劳动生产率指数 生产成本总额指数 ? 产品产量指数 ?单位产品成本指数

2012年7月9日/下午2时2分

指数体系
【高校创新能力评价指标体系】 创新平台 创新人才 创新成果 【紧缺人才指数体系】 人才数量指数 人才质量指数 人才供给指数
2012年7月9日/下午2时2分

? 【课后作业】 ? 期刊网搜索相关文献,仔细研读。(至少两篇)

指数体系的因素分析表现为总量指数与因素指数乘积在量上相等的相 对数值分析。有相对数量关系公式为

? PQ ? PQ
1 0

1 0

?

?Q ?Q

1 0

P0 P0

?

? PQ ? PQ
1 0

1 1

(5.27)

指数体系还派生出一个由总量指数的绝对数值与因素指数绝对数值的 总和在量上相等的平衡关系。一部分是由数量因素的变动或差异所引起 的绝对数值(∑P0Q1—∑P0Q0);另一部分则是由质量因素变动或差异所引 起的绝对数值(∑P1Q1—∑P0Q1)。从而,指数体系所作的因素分析便由相 对数分析延伸到了绝对数分析。 在指数体系分析中,一般将数量指数的权数固定在基期,即采用拉氏 公式;将质量指数的权数固定在报告期,即采用帕氏公式。

2012年7月9日/下午2时2分

《统计学教程》
第5章 指数

5.4 指数体系

5.4.2 指数体系的动态分析 指数体系的动态分析是对于现象发展运动在时间上表现出来的变动, 所进行的综合性因素分析。 【例5.8】仍然利用例5.5中商品销售量和销售价格数据。 指数数值的乘积衡等关系,有
I QP ? I Q ? I P ? 114 . 16 % ? 108 . 33 % ? 123 . 68 %

该商场销售额本月比上月增长了23.68%,是由于销售量本月比上月增 长了14.16%,和销售价格本月比上月增长了14.16%,共同作用的结果。 绝对数值的总和衡等关系,有 ∑P1Q1—∑P0Q0=(∑P0Q1—∑P0Q0)+(∑P1Q1—∑P0Q1) =33500+22500=56000元 该商场销售额本月比上月增加了56000元,其中由于销售量本月比上 月增长了14.16%,使销售额增加了33500元;销售价格本月比上月增长 了14.16%,使销售额增加了22500元。
2012年7月9日/下午2时2分

《统计学教程》
第5章 指数

5.4 指数体系

5.4.3 指数体系的静态分析 指数体系的静态分析是对于现象在空间上表现出来的差异,所进行的 综合性因素分析。 【例5.9 】有甲乙两地分年龄组死亡率数据如表5.10所示。 要求 运用指数体系分析方法,对引起总死亡率变动的年龄结构和分 年龄组死亡率进行综合性因素分析。 指数数值的乘积衡等关系,有
I QP ? I Q ? I P ? 135 . 66 % ? 80 . 07 % ? 108 . 63 %

总死亡率数值的总和衡等关系,有 ∑P1Q1—∑P0Q0=(∑P0Q1—∑P0Q0)+(∑P1Q1—∑P0Q1) =7.39 ‰+(-5.60 ‰)=1.79 ‰

2012年7月9日/下午2时2分

5.4.4 对于均值的因素分析

X1 X0

?

?X F ?F ?X F ?F
1 1 0 0

1

?
0

?X F ?F ?X F ?F
0 1 0 0

1

?

0

?X F ?F ?X F ?F
1 1 0 1

1

1

2012年7月9日/下午2时2分

X1 X
0

?

? X F ?F ? X F ?F
1 1 0 0

1

?
0

? X F ?F ? X F ?F
0 1 0 0

1

?

0

? X F ?F ? X F ?F
1 1 0 1

1

1

?

?X ?X

1 0

W1 W0

?

?W ?W

1 0

X0 X0

? ? ?

X 1W 1 X 0W 1

I 可 变 构 成 指 数 ? I 结 构 影 响 指 数 ? I固 定 构 成 指 数
2012年7月9日/下午2时2分

《统计学教程》
第5章 指数

5.2 综合指数

相对数分析:

?X ?X

1 0

W1 W0

?

?W ?W

1 0

X

0

X0

? ? ?

X 1W 1 X 0W 1

绝对数分析:

?

X 1W 1 ? ? X 0W 0 ? ?? X 0W 1 ? ? X 0W 0 ? ?

??

X 1W 1 ? ? X 0W 1 ?

2012年7月9日/下午2时2分

某工厂职工月平均工资指数体系【分析表】
工人人数 /人 职工分类 去年 F0 管理人员 技术工人 普通工人 合计 今年 F1 月平均工资 /元 去年 X0 今年 X1

50 820 1030 1900

50 230 2320 2600

4500 3300 1800 —

4600 3800 2200 —

2012年7月9日/下午2时2分

【加权平均指数体系】
1. 由加权综合指数及其各因素指数构成的等式 2. 常用的是基期总量加权算术平均数量指数和报告 期总量加权调和平均质量指数形成的指数体系 ? 相对数关系
? ?p q
0

p1q1
0

?

?q

q1
0

p0 q 0 ?
0 0

?pq ?p
1 p0
1

1 1

?p q

p1q1

? 绝对数关系

? q1 ? ? ? 1 ? p1q1 ? ? p0 q0 ? ? ? q p0 q0 ? ? p0 q0 ? ? ? ? p1q1 ? ? p p p1q1 ? ? ? ? ? 0 1 0 ? ? ? ?

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