2015-2016学年高中数学 2.3第2课时 离散型随机变量的方差课时作业(含解析)新人教B版选修2-3


2015-2016 学年高中数学 2.3 第 2 课时 离散型随机变量的方差课时 作业 新人教 B 版选修 2-3

一、选择题

? 1? 1.若随机变量 X~B?4, ?,则 D(X)的值为( ? 2?
A.2 1 C. 2 [答案] B B.1 D. 1 4

)

? 1? [解析] ∵X~B?4, ?, ? 2?
1 ? 1? ∴D(X)=4× ×?1- ?=1.故选 B. 2 ? 2? 2.若 X 的分布列为

X P
其中 p∈(0,1),则( A.D(X)=p
3

0

1

p

q

) B.D(X)=p
2

C.D(X)=p-p [答案] C

2

D.D(X)=pq

2

[解析] 由两点分布的方差公式 D(X)=p(1-p)=p-p .故选 C. 3.(2015·长沙高二检测)已知随机变量 ξ 的分布列为 ξ 1 1 4 2 1 3 3 1 6 4 1 4

2

P
则 Dξ 的值为( 29 A. 12 179 C. 144 [答案] C )

121 B. 144 17 D. 12

1 1 1 1 29 [解析] ∵Eξ =1× +2× +3× +4× = , 4 3 6 4 12

1

?17?2 1 ? 5 ?2 1 ? 7 ?2 1 ?19?2 1 179 ∴Dξ =? ? × +? ? × +? ? × +? ? × = .故选 C. ?12? 4 ?12? 3 ?12? 6 ?12? 4 144
2 4 4.对一道试题,甲解出的概率为 ,乙解出的概率为 ,设解出该题的人数为 X, 则 D(X) 3 5 等于( 22 A. 15 225 C. 484 [答案] B 1 1 1 2 1 1 4 6 [解析] ∵X 的取值 0,1,2,∴P(X=0)= × = ,P(X=1)= × + × = ,P(X 3 5 15 3 5 3 5 15 2 4 8 =2)= × = .∴X 的分布列为 3 5 15 ) 86 B. 225 225 D. 85

X P

0 1 15

1 6 15

2 8 15

1 6 8 22 ∴E(X)=0× +1× +2× = , 15 15 15 15

D(X)= (0- )2+ (1- )2+ (2- )2=

1 15

22 15

6 15

22 15

8 15

22 15

86 . 225

3 5.若随机变量 X1~B(n,0.2),X2~B(6,p),X3~B(n,p),且 E(X1)=2,D(X2)= ,则 2

D(X3)等于(
1 A. 2 5 C. 2 [答案] C

) 3 B. 2 7 D. 2

[解析] ∵X1~B(n,0.2),X2~B(6,p), ∴E(X1)=0.2n=2,∴n=10,

D(X2)=6p(1-p)= ,∴p= , X3~B(10, ),
1 1 5 ∴D(X3)=10× × = . 2 2 2 6.设 ξ ~B(n,p),且 E(ξ )=12,D(ξ )=4,则 n 与 p 的值分别为( )
2

3 2

1 2

1 2

1 A.18, 3 2 C.18, 3 [答案] C [解析] 由?
? ?E?ξ ?=12 ?D?ξ ?=4 ?

2 B.12, 3 1 D.12, 3

得?

? ?np=12 ?np?1-p?=4 ?



2 得 p= ,n=18.故选 C. 3 7.抛掷一枚硬币,规定正面向上得 1 分,反面向上得-1 分,则得分 X 的均值与方差 分别为( ) 1 1 B.E(X)= ,D(X)= 2 2 1 D.E(X)= ,D(X)=1 2

A.E(X)=0,D(X)=1 1 C.E(X)=0,D(X)= 2 [答案] A

[解析] 要计算随机变量的期望和方差,应先列出其分布列.抛掷一枚硬币,规定正面 向上得 1 分,反面向上得-1 分,则得分 X 的分布列为

X P

1 0.5

-1 0.5

所以 E(X)=1×0.5+(-1)×0.5=0,

D(X)=(1-0)2×0.5+(-1-0)2×0.5=1.故选 A.
二、填空题 8.已知随机变量 X 的分布列为:

X P
则 X 的方差为________. [答案] 0.41

1 0.4

2 0.5

3

x

[解析] 由题意可知 0.4+0.5+x=1, 即 x=0.1, ∴E(X)=1×0.4+2×0.5+3×0.1=1.7, ∴D(X)=(1-1.7) ×0.4+(2-1.7) ×0.5+(3-1.7) ×0.1=0.41. 9.某射手击中目标的概率为 p,则他射击 n 次,击中目标次数 ξ 的方差为________. [答案] np(1-p) [解析] ∵ξ ~B(n,p),∴D(ξ )=np(1-p).
3
2 2 2

三、解答题 10.甲、乙两名射手在一次射击中得分为两个相互独立的随机变量 ξ 与 η ,且 ξ 、η 的分布列为

ξ

1

2 0. 1 2

3 0.6 3 0.3

P
η

a
1 0.3

P
求:(1)a、b 的值;

b

(2)计算 ξ 、η 的期望与方差,并以此分析甲、乙技术状况. [解析] (1)由离散型随机变量的分布列的性质可知

a+0.1+0.6=1,
∴a=0.3. 同理 0.3+b+0.3=1,b=0.4. (2)E(ξ )=1×0.3+2×0.1+3×0.6=2.3,

E(η )=1×0.3+2×0.4+3×0.3=2, D(ξ )=(1-2.3)2×0.3+(2-2.3)2×0.1+(3-2.3)2×0.6=0.81, D(η )=(1-2)2×0.3+(2-2)2×0.4+(3-2)2×0.3
=0.6. 由于 E(ξ )>E(η ),说明在一次射击中,甲的平均得分比乙高,但 D(ξ )>D(η ),说明 甲得分的稳定性不如乙,因此甲、乙两人技术水平都不够全面,各有优势与劣势.

一、选择题 1.已知 X 的分布列为

X P
其中 p∈(0,1),则( A.E(X)=p,D(X)=pq B.E(X)=p,D(X)=p C.E(X)=q,D(X)=q
2

0

1

p

q

)

2

D.E(X)=1-p,D(X)=p-p [答案] D

2

4

[解析] ∵X~B(1,q),∴p+q=1,E(X)=1-p,D(X)=p-p . 2 1 4 2.设 X 是离散型随机变量,P(X=x1)= ,P(X=x2)= ,且 x1<x2,现已知:E(X)= , 3 3 3

2

D(X)= ,则 x1+x2 的值为(
5 A. 3 C.3 [答案] C

2 9

) 7 B. 3 11 D. 3

[解析] 由题意,p(X=x1)+p(X=x2)=1,所以随机变量 X 只有 x1,x2 两个取值,所以 2 1 4 ? ?x ·3+x ·3=3, ?? 4? 2 ? 4? 1 2 x - ? · +?x - ? · = . ? 3? 3 ? 3? 3 9 ?? ?
1 2 1 2 2 2

解得 x1=1,x2=2,所以 x1+x2=3,故选 C. 3.已知 X 的分布列如下表:

X P

-1

0

1

2 5 18 )

a

b

c

1 且 a、b、c 成等比数列,E(X)= ,则 a=( 9 1 A. 6 1 C. 2 [答案] C 13 [解析] 由分布列的性质得 a+b+c= ① 18 1 5 1 ∵E(X)= ,∴-a+c+ = , 9 9 9 4 ∴a-c= ,② 9 又 a、b、c 成等比数列,∴b =ac,③ 将②代入①、③得,
2

1 B. 3 2 D. 3

5

7 2a+b= , ? ? 6 ? 4 b =a?a- ?. ? ? 9
2

④ ⑤

7 1 49 由④得 b= -2a,代入⑤得,a= 或 a= , 6 2 54 49 5 64 1 当 a= 时,a+ = >0,不合题意舍去,∴a= . 54 18 54 2 二、填空题 1 4.随机变量 ξ 的取值为 0、1、2,若 P(ξ =0)= ,E(ξ )=1,则 D(ξ )=________. 5 [答案] 2 5

[解析] 设 ξ =1 的概率为 P. 1 1 则 E(ξ )=0× +1×P+2(1-P- )=1, 5 5 3 ∴P= . 5 1 3 1 2 2 2 2 故 D(ξ )=(0-1) × +(1-1) × +(2-1) × = . 5 5 5 5 5.设 p 为非负实数,随机变量 X 的概率分布为

X P

0 1 -p 2

1

2 1 2

p

则 E(X)的最大值为____________,D(X)的最大值为______. [答案] 3 2 1

1 ?1 ? [解析] E(X)=0×? -p?+1×p+2× =p+1 2 2 ? ? 1 1 1 3 ∵0≤ -p≤ ,0≤p≤ ,∴p+1≤ , 2 2 2 2 1 ?1 ? ? 1? 5 D(X)=(p+1)2·? -p?+p2·p+(p-1)2× =-p2+1-p=-?p+ ?2+ ≤1.

?2

?

2

?

2?

4

三、解答题 6.盒子中有 5 个球,其中 3 个白球,2 个黑球,从中任取 2 个球,求取出白球的期望 和方差. [解析] 取出白球个数 ξ 的可能取值为 0,1,2.

6

1 1 ξ =0 表示取出的 2 个球都是黑球,P(ξ =0)= 2= ; C5 10 C3C2 3 ξ =1 表示取出的 2 个球 1 个黑球,1 个白球,P(ξ =1)= 2 = ; C5 5 C3 3 ξ =2 表示取出的 2 个球都是白球,P (ξ =2)= 2= ,于是 C5 10
2 1 1

E(ξ )=0× +1× +2× =1.2, D(ξ )=(0-1.2)2× +(1-1.2)2× +(2-1.2)2× =0.36.
7.一次英语单元测验由 20 个选择题构成,每个选择题有 4 个选项,其中有且仅有一个 选项是正确答案,每题选择正确答案得 5 分,不作出选择或选错不得分,满分 100 分.学生 甲选对任一题的概率为 0.9.学生乙则在测验中对每题都从 4 个选项中随机地选择一个.求 学生甲和学生乙在这次英语单元测验中成绩的数学期望和方差. [解析] 和 η ,则 设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是 X 1 10 3 5 3 10

1 10

3 5

3 10

X~B(20,0.9),
η ~B(20,0.25),所以

E(X)=20×0.9=18,D(X)=1.8, E(η )=20×0.25=5,D(η )=3.75,
由于答对每题得 5 分,学生甲和学生乙在这次英语测验中成绩分别是 5X 和 5η .所以, 他们在测验中成绩的数学期望与方差分别是

E(5X)=5E(X)=5×18=90, E(5η )=5E(η )=5×5=25, D(5X)=25D(X)=25×1.8=45, D(5η )=25D(η )=25×3.75=93.75.
8.一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如 图所示.

将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.
7

(1)求在未来连续 3 天里,有连续 2 天的日销售量都不低于 100 个且另 1 天的日销售量 低于 50 个的概率; (2)用 X 表示在未来 3 天里日销售量不低于 100 个的天数,求随机变量 X 的分布列,期 望 E(X)及方差 D(X). [解析] (1)设 A1 表示事件“日销售量不低于 100 个”, A2 表示事件“日销售量低于 50 个”,B 表示事件“在未来连续 3 天是有连续 2 天日销售量不低于 100 个且另一天销售量低 于 50 个”,因此

P(A1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6 P(A2)=0.003×50=0.15, P(B)=0.6×0.6×0.15×2=0.108.
(2)X 可能取的值为 0、1、2、3,相应的概率为
3 P(X=0)=C0 3·(1-0.6) =0.064, 2 P(X=1)=C1 3·0.6(1-0.6) =0.288. 2 P(X=2)=C2 3·0.6 (1-0.6)=0.432. 3 P(X=3)=C3 3·0.6 =0.216.

分布列为

X P
因为 X~B(3,0.6)

0 0.064

1 0.288

2 0.432

3 0.216

所以期望 E(X)=3×0.6=1.8, 方差 D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72.

8


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