解析几何题中定值问题的解题策略


2 0 1 4年 l 0月  

解法 探究 

学  谋 

解析几何题中定值 问题的解题策略 
⑩ 江 苏省 海 安 县 立 发 中 学 景 晖 

解析几何定值 问题主要考查数形 结合 、分类讨论 、   化 归 与转化 、 函数和方 程等 数学 思想方 法. 定值 问题在  近几年 江苏高 考试卷 及模考试 卷 中都有不 同程度 的体  现. 本文结 合 例题 , 谈谈 在教 学实 践 中总结 出来 的解此 
类 问题的几种策略.  

策略二 : 直接推理 、 计 算 
将要求 的定值 表示为某个变量 的函数关系 , 再化简  这个关 系消去变量 , 从而得到定值.   解 析几何 中 , 定 值是变化 中的不 变量 , 求解 时就要  对变 化的量 进行正确 的表述 , 可以通过引进参数来表示 
这 些 变化 的量 , 这种 通过 研究 何 时变 化 的量 与参 数无  关, 从 而找 到定值 的方法就是引进参数 法.  

策 略一 : 特 殊 值 法 
将 问题 中的条件特殊 化 , 再证 明特殊 化后 的定值与 
变量无关.   例1   已知椭圆  4+

等 = 1 的 左 焦 点 为   , 过   作 两 直  


如何 选择恰 当的参变量是解 决定值 问题的关键. 下  面通过一道典 型例题介绍 三种 常用 的选 参方法.  
例2 .如 图2 ,已知椭 圆C 的 


y 
A 

线 m、 n 交 椭 圆于A、 B、 c 、 D四点 , 若mj _ n , 则  的值为— — 一 

+  1  

方程 为  X 2  

1 ,  、 B 是 四条直 线 
D  j  

此题为填 空题 ,解题 时只需  要把 两条直线 特殊化.如 图 1 , 当 

= ± 2 、   = ± 1 所 围成 的矩形 的两个  顶点 , 若M、 Ⅳ 是椭 圆上两个 动点 ,  

直线m的斜 率不存在时 , 直线 m 交 
椭 圆于C、 D, 直线n 交椭 圆 
1   1  

/ / D 1 /   — 一  
B I  

且直线O M、 O N的 斜 率之 积 等 于  图2   直线O A、 O B的斜率之积 , 试探求 AO MN的面积是否为定 
值, 并说明理 由.   方法 1 : 设点参.  

、  ,  
1  

A  

则I A B I = 4 , l C DI = 3 。  

+ —L :  
图 1  

解 : 设 点   (  Y 。 ) 、 Ⅳ (   ) , 则   一 ÷ .  
I X2   斗 

+ 了 1 =   7 从 而求 出定 值. 若 此题改 为证明题 , 变为 “ 证 明 


平方得 

l 6   = ( 4   ) ( 4  2 ) , 即  ; = 4 .  

1  

+  

为定值 ” , 则 只需 要 先从 特殊 出发 , 再证 明.  

J s  
= 

l  I    l l s i n   Ⅳ  

( 证 明过程略 ) .  

『  l j  I N / — 1 - c o s 2 / _ — _ M O N  

又D E 1  戡△   Q, 由Me n e l a u s 定理 ,  

提 供 的信 息 , 恰 当补 出辅 助线 , 并 合理挖 掘 图形 隐含 的 
性质 , 条件 的转化 , 就会使题 目的证 明明朗化.  
参考文献 :  
1 . 董新庄 , 刘康 宁 . 一 个基 本 几 何 图形 的 性 质 及 其 应 

得 

.   . ~ Q E 1 : l  盟 :  


③ 

MP  D Q  E 4  


E  

P D  

注意到厶4 c   + / _ A D B = 1 8 0  ̄ , P A = P B , 结合①②, 可 
C Q  S △ A c 日 A   C? C B  P A. P C  P C   D Q  S △ A 珊 D A? D B  P D  P B  P D  

用[ J ] . 中学数学教 学参考( 上) , 2 0 1 0 ( 5 ) .   2 . 沈毅. 与调 和点列有关的平面几何 问题 [ J ] . 中等数 
学, 2 0 0 9( 2 ) .  

结合③式 , 得  =   =  

,  ̄ f ? I 2C ) E   , / / P A .  

由M为  的中点 , 得E 。 为C F , 的 中点.   从而E   与E 重合 , 所 以C E ’ ∥P A .   平 面几何 的证 明是思维 的游戏. 在求证 时把握 问题 

3 . 杨岚 清. 一道 平 面几何 竞 赛题 的证 明 f J ] . 数 学教 

学, 2 0 1 4 ( 5 ) . 圃 

高 中 版十’ 7 戴. 7  

教 学 

参谋 

解 法探究 

2 0 1 4年 1 0月  

l  
, )  

l + 3 e o s  ) ( 1 + 3 c o s z B) 一 9 c o s  C O S  

U 


1  
, ’  

丢  
1  X /1

=  

= 

一 l   f :   一  



=   1× 2 = 1
. 

+ 3 c o s Z / 3 + 3 s i n 2 l= f 1 .  

评析 : 题 目中已知椭 圆的标 准方程 , 而 点  、 N为 椭  

评析 : 学 生在 解题 时 , 大都选择此方 法 , 因 为 题 中直  接 给 出“ 直线O M、 D Ⅳ的 斜 率 之 积 等 于 直 线 O A、 D 曰的 斜 

l f  
I f  

圆上的点 ,从 而借 助 于角这 个参 数巧 设 出点 、 Ⅳ的 坐  
标, 再 运 用 向 量 的知 识 求 出 定值 . 对 于此题 , 设 角 参 是 运  算 最 简单 的 方 法 , 但 学 生不容 易想到. 这 种 方 法 对 学 生  的 综合 能 力有 较 高 的要 求.  

率之积” , 学生首先想到设两点 , 但 又有部 分学生未能算 
一  , 得 结果 原 因是 没 能 发 现 +   4, 从 而 与 正 确 答 案 失 之 

交臂 .  

方法2 : 设斜率参.   解: 设 直线MN的方 程 为y = k x + b , 点  (  Y   ) 、 N( x : ,  
y 2 ) .  

解析几何历来让学 生“ 爱 恨交织” , “ 爱” 主要是 由于  审题没有应用题那样难 , “ 恨” 是 由于参变量 的选 择和对 

解析 式 的化 简 比较 难. 首先, 学 生不 知道如 何选 择恰 当 
的参 变量 , 其 实处理定 值 问题时 , 每 道题 的参变量不 唯 




8 k   b

你 可 以选 择其 中的一种 ( 点参 、 斜率参 、 角参 等 ) , 也  由   荔  得 (  ) x 2 + 8 k b x + 4 b 2 - 4 = O ,   =  可 以选择其 中的两种 ,坚持算 下去是能得 到结 果的 , 只 


4 b 2 - 4

y l y 2 = ( k  + 6 ) (  
y   + D  

,   ’  

z = 

, ’

+ D  

6 ) =   - 4 k   2 + b 2

. ’    

不过选 择不 同的参变 量导致 处理解 析式化 简 的过 程复 

Y f  z 一 1 4, 得 


一1


杂程度不 同而 已 其次 , 学 生在化简 时 , 除 了需要 有将计 
测 4   1 = 2   6 2 .  


算进 行到底 的决心 , 还需要 有简化 意识 , 学 生可 以通过 

I MN I = 何

 

= 何

‘  

.  

整体代换 、 直觉猜 想等手段 , 分析 图形 的几何 特征 , 从而 
简 化运算 . 教师 在讲解解 析几 何题 时 , 遇 到计算 复 杂 的 

点0 到直线Mv 的距离d : —  一 .  
、 / l + k  
O M ]  ̄

问题 , 一定 要让学 生 自己亲身体会 , 通过 多次训 练培养 
学生 的计算能力.   总地来说 , 解 决与圆锥 曲线有关 的定值 问题 的基本  思路 是 : 先根据特 殊情况求 出定 值 , 然后 进行证 明. 当不 



2  

M N  吉 ‘ 一 ‘  ‘  

评析 : 这种 方法主要是 通过设 出直线方程 , 再利 用  
面积 公 式 求 出 面积 . 但 在 处 理 解 析 式 化 简 的 过 程 中又 借 

可 以从特 殊位置着 手时 , 考 虑 引进 参数 , 引入参 数 的 目  
的是以这 个参 数为 中介 ,通过证 明 目标与参数无关 , 从  而达到解决 问题 的 目的. 当然 坐标 化也是解决 平面 向量  与曲线综合 问题 的基本方 法 ,如上面方法 1 、 3 均涉及 向  量 的坐标 化 , 从 而可降低运算 .   解 析几何 中的定值 问题大 都是综合性 问题 , 涉及 函 

助 于 两点 找 到  、 b 的关 系, 从而消去其 中一个变量 , 再 通  过 计算得 到定值. 所 以在 处 理 定 值 问 题 时 , 我 们 也 可 选  择 两 个 参 变 量. 对 于 此题 . 我 们 也 可 以设 直 线伽 的 方 程 

为y = k x , 直 线O N的方程 为y = 一 ÷  , 再通过联 立方程组解 
4k  

出  、 Ⅳ的 坐 标 , 最 后 运 用 面 积 公 式 算 出定值 .  

数、 三角 函数 、 向量 、 平 面几何 等 知识. 求解 时 常涉及 函  数思 想 、 参 数 方程 思想 、 数形 结 合思 想 、 化 归与 转化 思  想、 整体代 换思想 等. 教 师在教 学过 程 中要 多渗 透这 些  数学思想 , 以便学生 能熟 练掌握. 定值 问题解法灵 活 , 技 

方法3 : 设角参.   解: 设   ̄M( 2 c o s a, s i n a) 、 N ( 2 c o s l, f s i  ) .  

, 有一定 的难度 , 教师在教学过程 中 , 既要 教给学  由   洲 ‘   =   4 c o s  ̄ c o   s 8  4 一 {   , 得 s i n   s i   ‘   + C O S  ̄ C O =  巧性强 生 常用的运算 技巧 , 又要鼓励 学生大 胆尝试 , 培养 学生  0 , 从而c 0 s (   ) = 0 , 故  =   耵 +   7 r , k   E   Z .  

O MU =


敢算 、 能算 、 算对 的信心和决心.  
参考文献 :  

I oM I 。  

s i n  

DⅣ .  



= 

1   I OM I I ONI % / — 1 - C O S 2 A —M ON 
?

1 . 高安军. 一道高三调研 解析 几何 题的解题研 究[ J ]   l
中学 数 学 ( 上) , 2 0 1 2 ( 6 ) .   2 . 代兵, 徐 晓兵. 直线与 圆锥 曲线的位 置关 系[ J ] . 中  





1V I   I O MI 2 1 O N I z — r   O — — — M? _— O — — N ÷   ) 2



学数学 教学参考( 上) , 2 0 1 4 ( 1 — 2 ) . 墨 圈 


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