2016-2017学年高中数学人教A版选修4-4学业分层测评7 圆锥曲线的参数方程


学业分层测评(七)
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 ?x=3cos φ, 1.曲线 C:? (φ 为参数)的离心率为( ?y= 5sin φ 2 A.3 3 C.2 【解析】 x2 y2 由题设,得 + =1, 9 5 3 B.5 5 D. 3 )

∴a2=9,b2=5,c2=4, c 2 因此 e=a=3. 【答案】 A

?x=3cos θ 2.已知曲线? (θ 为参数,0≤θ≤π)上一点 P,原点为 O,直线 PO ?y=4sin θ π 的倾斜角为4,则 P 点坐标是( A.(3,4) C.(-3,-4) 【解析】 因为 ) ?3 2 ? B.? ,2 2? 2 ? ? ?12 12? D.? 5 , 5 ? ? ? y-0 4 π 3 4 = tan θ=tan4=1,所以 tan θ=4,所以 cos θ=5,sin θ x-0 3

3 ?12 12? =5,代入得 P 点坐标为? 5 , 5 ?. ? ? 【答案】 D

α α ? ?x=sin2+cos2, 3.参数方程? ? ?y= 2+sin α A.y2-x2=1

(α 为参数)的普通方程是(

)

B.x2-y2=1 C.y2-x2=1(1≤y≤ 3) D.y2-x2=1(|x|≤ 2) 【解析】 因为 x2=1+sin α,

所以 sin α=x2-1. 又因为 y2=2+sin α=2+(x2-1), 所以 y2-x2=1. ∵-1≤sin α≤1,y= 2+sin α, ∴1≤y≤ 3, ∴普通方程为 y2-x2=1,y∈[1, 3]. 【答案】 C )

2 ?x=t ? 4.点 P(1,0)到曲线 (参数 t∈R)上的点的最短距离为( ?y=2t

A.0 C. 2 【解析】

B.1 D.2 d2=(x-1)2+y2=(t2-1)2+4t2=(t2+1)2,

由 t2≥0 得 d2≥1,故 dmin=1. 【答案】 B ) 【导学号:91060023】 A.双曲线 C.双曲线的下支 【解析】 B.双曲线的上支 D.圆

-t t ?x=2 -2 5.方程? -t (t 为参数)表示的曲线是( t ?y=2 +2

将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,得:

x2-y2=(2t-2-t)2-(2t+2-t)2=-4, 即 y2-x2=4. 又注意到 2t>0,2t+2-t≥2 2t· 2-t=2,得 y≥2. 可见与以上参数方程等价的普通方程为: y2-x2=4(y≥2).

显然它表示焦点在 y 轴上,以原点为中心的双曲线的上支. 【答案】 二、填空题 ?x=2cos t 6.已知椭圆的参数方程? (t 为参数),点 M 在椭圆上,对应参数 t ?y=4sin t π =3,点 O 为原点,则直线 OM 的斜率为________. π x = 2cos ? ? 3=1, 由? π y = 4sin ? ? 3=2 3, B

【解析】

得点 M 的坐标为(1,2 3) 2 3 直线 OM 的斜率 k= 1 =2 3. 【答案】 2 3

?x=t, 7.设曲线 C 的参数方程为? (t 为参数),若以直角坐标系的原点为极 2 ?y=t 点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为________. 【解析】 ?x=t, ? 化为普通方程为 y=x2,由于 ρcos θ=x,ρsin θ=y,所 2 y = t ?

以化为极坐标方程为 ρsin θ=ρ2cos2θ,即 ρcos2θ-sin θ=0. 【答案】 ρcos2θ-sin θ=0

?x=t, 8.在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 和 C2 的参数方程分别为? (t ?y= t ?x= 2cos θ, 为参数)和? (θ 为参数),则曲线 C1 与 C2 的交点坐标为________. ?y= 2sin θ 【解析】 ?x= 2cos θ, ?x=t, 由? 得 y= x,又由? 得 x2+y2=2. ?y= t, ?y= 2sin θ,

?y= x, ?x=1, 由? 2 2 得? ?y=1, ?x +y =2, 即曲线 C1 与 C2 的交点坐标为(1,1).

【答案】 三、解答题

(1,1)

1 9.如图 222 所示,连接原点 O 和抛物线 y=2x2 上的动点 M,延长 OM 到 点 P,使|OM|=|MP|,求 P 点的轨迹方程,并说明是什么曲线?

图 222 【解】 ?x=2t, 抛物线标准方程为 x2=2y,其参数方程为? 得 M(2t,2t2). 2 ?y=2t ,

设 P(x,y),则 M 是 OP 中点. x+0 ? ?2t= 2 , ∴? 2 y+0 2 t ? ? = 2 , ?x=4t ∴? 2 (t 为参数), ?y=4t 1 消去 t 得 y=4x2,是以 y 轴对称轴,焦点为(0,1)的抛物线. 10.已知直线 l 的极坐标方程是 ρcos θ+ρsin θ-1=0.以极点为平面直角坐 标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,椭圆 C 的参数方程 ?x=2cos θ 是? (θ 为参数),求直线 l 和椭圆 C 相交所成弦的弦长. ?y=sin θ 【解】 由题意知直线和椭圆方程可化为:

x+y-1=0,① x2 2 4 +y =1,② ①②联立,消去 y 得:5x2-8x=0, 8 解得 x1=0,x2=5. 设直线与椭圆交于 A、B 两点,

3? ?8 则 A、B 两点直角坐标分别为(0,1),?5,-5?, ? ? 则|AB|= ? 3 ? ?8? 8 2 ?-5-1? +?5? = 5 , ? ? ? ?
2 2

8 2 故所求的弦长为 5 . [能力提升] ?x=4sec θ, 1.P 为双曲线? (θ 为参数)上任意一点,F1,F2 为其两个焦点, ?y=3tan θ 则△F1PF2 重心的轨迹方程是( A.9x2-16y2=16(y≠0) B.9x2+16y2=16(y≠0) C.9x2-16y2=1(y≠0) D.9x2+16y2=1(y≠0) 【解析】 由题意知 a=4,b=3,可得 c=5, )

故 F1(-5,0),F2(5,0), 设 P(4sec θ,3tan θ),重心 M(x,y),则 x= -5+5+4sec θ 4 0+0+3tan θ = sec θ , y = =tan θ. 3 3 3

从而有 9x2-16y2=16(y≠0). 【答案】 A

2 ?x=sin θ, 2. 若曲线? (θ 为参数)与直线 x=m 相交于不同两点, 则 m 的取 ?y=cos θ-1

值范围是( A.R C.(0,1)

) B.(0,+∞) D.[0,1)

【解析】

2 ?x=sin θ, ? 将曲线 ?y=cos θ-1

化为普通方程得(y+1)2=-(x-1)(0≤x≤1).它是抛物线的一部分,如图所 示,由数形结合知 0≤m<1. 【答案】 D

?x=2cos θ 3.对任意实数,直线 y=x+b 与椭圆? (0≤θ≤2π),恒有公共点, ?y=4sin θ 则 b 的取值范围是________. 【解析】 将(2cos θ,4sin θ)代入 y=x+b 得:

4sin θ=2cos θ+b. ∵恒有公共点,∴以上方程有解. 1? ? 令 f(θ)=4sin θ-2cos θ=2 5sin(θ+φ)?tan φ=2?, ? ? ∴-2 5≤f(θ)≤2 5, ∴-2 5≤b≤2 5. 【答案】 [-2 5,2 5]

4.在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的方程为 x-y+4=0,曲线 C 的参数方程 ?x= 3cos α 为? (α 为参数). ?y=sin α (1)已知在极坐标系(与直角坐标系 xOy 取相同的长度单位, 且以原点 O 为极 π? ? 点,以 x 轴正半轴为极轴)中,点 P 的极坐标为?4,2?,判断点 P 与直线 l 的位置 ? ? 关系; (2)设点 Q 是曲线 C 上的一个动点,求它到直线 l 的距离的最小值. 【解】 π? ? (1)把极坐标系下的点 P?4,2?化为直角坐标,得点(0,4).因为点 P ? ?

的直角坐标(0,4)满足直线 l 的方程 x-y+4=0,所以点 P 在直线 l 上. (2)因为点 Q 在曲线 C 上,故可设点 Q 的坐标为( 3cos α,sin α),从而点 Q 到直线 l 的距离为 d= | 3cos α-sin α+4| 2

π? ? 2cos?α+6?+4 ? ? = 2 π? π? ? ? = 2cos?α+6?+2 2,由此得,当 cos?α+6?=-1 时,d 取得最小值,且 ? ? ? ? 最小值为 2.


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