2015《创新大课堂》高三人教版数学(理)一轮复习第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布章末高频考点


章末高频考点
(理)高频考点 1 排列与组合

1.(2013· 济南市巩固性训练)某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、 体育六节课,要求体育不排在第一节课,数学不排在第四节课,则这天课表 的不同排法种数为 ( A.600 C.480 B.288 D.504 )

D [本题主要考查分类加法和分步乘法计数原理、排列组合等基础知识,考 查分类与整合的数学思想方法. 若数学排第一节课,则其余课可任意排列,若数学不排第一节课,则数学课 有四种排法、体育课有四种排法,其余课任意排列.根据分类加法和分步乘
4 法计数原理得总的排法种数为 A5 5+4×4×A4=120+384=504.]

2.(2013· 潍坊一模)某车队准备从甲、乙等 7 辆车中选派 4 辆参加救援物资的运 输工作,并按出发顺序前后排成一队.要求甲、乙至少有一辆参加,且若甲、 乙同时参加,则它们出发时不能相邻,那么不同的排法种数为( A.360 C.600 C B.520 D.720 )

[本题考查排列组合知识的应用,不相邻问题采用插空法,难度中等.

1 3 4 若甲、乙两车只有 1 辆参加,此时共有 C2 C5A4种不同排法,若甲、乙两车同 2 2 2 2 2 2 2 4 时参加, 则共有 C5 A2A3种不同排法, 综上共有 C5 A2A3+C1 2C5A4=600 种不同

排法,故选 C.] (理)高频考点 2 二项式定理的应用

a 2 3.(2013· 济南市巩固性训练)设 a=∫0 (2x-1)dx,则二项式(x+ x)4 的展开式中的 常数项为________. 解析 本题主要考查微积分基本定理、二项式定理等基础知识,考查运算求

解能力. a4 2 2 a=∫2 0(2x-1)dx=(x -x)|0=2,(x+ ) x

2 =(x+ x )2
2 ,其常数项为第 3 项,即 C4 ×22=24.

答案

24

π x 1 1 4.(2013· 合肥市二模)已知 a=∫20(sin22-2)dx,则(ax+2ax)9 展开式中,关于 x 的一次项的系数为 ( 63 A.-16 63 C.- 8 63 B.16 63 D. 8 )

A [本题主要考查定积分的计算以及二项式的通项公式. π x 1 a=∫20(sin22-2)dx π 1-cos x 1 =∫20( -2)dx 2 π -cos x 1 =∫20( 2 )dx=-2. 1 9-r 1 r 1 9-r r r 9-2r 此时二项式的展开式的通项为 Tr+1=Cr ( - ) = C 9(- x) 9(- ) 2 x 2 (-1) x , 1 63 4 令 9-2r=1,r=4,所以关于 x 的一次项的系数为 C9 (-2)9-4· (-1)4=-16.] (理)高频考点 3 (文)高频考点 1 理 5.文 1. (2013· 潍坊五校联考)某种零件按质量标准分为 1,2,3,4,5 五个等级.现从一 批该零件中随机抽取 20 个,对其等级进行统计分析,得到频率分布表如下: 等级 频率 1 0.05 2 m 3 0.15 4 0.35 5 n 古典概型 古典概型

(1)在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,求 m,n; (2)在(1)的条件下,从等级为 3 和 5 的所有零件中,任意抽取 2 个,求抽取的 2 个零件的等级恰好相同的概率. 解析 本题考查样本的频率分布、古典概型等基础知识,考查考生的运算求

解能力和方程思想.(1)根据等级为 5 的样本数量,以及在频率分布表中各个 频率之和为 1,可得关于 m,n 的两个方程,组成方程组即可求出 m,n 的值; (2)计算出等级为 3 的样本数量, 然后列举基本事件, 得出基本事件的总个数, 再从中找出所求的随机事件含有的基本事件个数,根据古典概型的概率计算 公式计算即可 (1)由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n=1, 即 m+n=0.45. 2 由在抽取的 20 个零件中,等级为 5 的恰有 2 个,得 n=20=0.1. 所以 m=0.45-0.1=0.35. (2)由(1)得,抽取的 20 个零件中,等级为 3 的零件有 3 个,记作 x1,x2,x3, 等级为 5 的零件有 2 个,记作 y1,y2. 从 x1,x2,x3,y1,y2 中任意抽取 2 个零件,所有可能的结果为(x1,x2),(x1, x3),(x1,y1),(x1,y2),(x2,x3),(x2,y1),(x2,y2),(x3,y1),(x3,y2),(y1, y2),共 10 个. 记事件 A 为“从 x1,x2,x3,y1,y2 中任意抽取 2 个零件,其等级相等”. 则 A 包含的基本事件为(x1,x2),(x1,x3),(x2,x3),(y1,y2),共 4 个. 4 故所求概率为 P(A)=10=0.4. (理)高频考点 4 (文)高频考点 2 理 6.文 2. (2013· 兰州名校检测)一只蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体内自由飞行,若蜜 蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个表面的距离均大于 1,称其为“安全 飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为 ( 4π A.81 1 C.27 C B. 81-4π 81 ) 几何概型 几何概型

8 D.27

[由已知条件可知,蜜蜂只能在一个棱长为 1 的小正方体内飞行,结合几

13 1 何概型可得密蜂“安全飞行”的概率为 P=33=27.] 理 7.文 3. (2013· 山东临沂高三第一次模拟)一只蚂蚁在边长为 4 的正三角形内爬行, 某时刻此蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过 1 的概率为 ( 3π A.1- 12 3π C. 12 B [ 3π B.1- 24 3π D. 24 )

如图,当蚂蚁在图示三个半径为 1 的扇形区域外时满足条件, 由几何概型公式得所求概率为 1 π 1-3×2×3×12 3 2 4 ×4

P=

3π =1- 24 .] (文)高频考点 3 统计图表与概率的综合应用

4. (2013· 深圳市第二次调研)2013 年 3 月 14 日, CCTV 财经频道报道了某地建筑 市场存在违规使用未经淡化海砂的现象.为了研究使用淡化海砂与混凝土耐 久性是否达标有关, 某大学实验室随机抽取了 60 个样本,得到了相关数据如 下表: 混凝土耐久性达 标 使用淡化海砂 使用未经淡化海 砂 25 15 混凝土耐久性不达 标 5 15 总计 30 30

总计

40

20

60

(1)根据表中数据,利用独立性检验的方法判断,能否在犯错误的概率不超过 1%的前提下,认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关? (2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了 6 个,现从这 6 个样 本中任取 2 个,则取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少? 参考数据: P(K2≥k) k 解析 0.10 2.706 0.050 3.841 0.025 5.024 0.010 6.635 0.001 10.828

(1)提出假设 H0:使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关.

根据表中数据, 60×?25×15-15×5?2 求得 K 的观测值 k= 30×40×20
2

=7.5>6.635. 查表得 P(K2≥6.635)=0.010, ∴能在犯错误的概率不超过 1%的前提下, 认为使用淡化海砂与混凝土耐久性 是否达标有关. (2)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取 6 个,其中应抽取“混凝 25 土耐久性达标”的为30×6=5,“混凝土耐久性不达标”的为 6-5=1, “混凝土耐久性达标”记为 A1,A2,A3,A4,A5,“混凝土耐久性不达标” 的记为 B, 在这 6 个样本中任取 2 个,有以下几种可能:(A1,A2),(A1,A3),(A1,A4), (A1,A5),(A1,B),(A2,A3),(A2,A4),(A2,A5),(A2,B),(A3,A4),(A3, A5),(A3,B),(A4,A5),(A4,B),(A5,B)共 15 种. 设“取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标”为事件 A,它的对立事件 A 为 “取出的 2 个样本至少有 1 个混凝土耐性不达标”,包含(A1,B),(A2,B), (A3,B)(A4,B),(A5,B),共 5 种可能, 5 2 ∴P(A)=1-P( A )=1-15=3, 2 即取出的 2 个样本混凝土耐久性都达标的概率是3.

5.(2013· 贵阳二测)某班同学利用劳动节进行社会实践,对[25,55]岁的人群随机 抽取 n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查,若生活习惯符合低 碳观念的称为“低碳族”,否则称为“非低碳族”,得到如下统计表和各年 龄段人数频率分布直方图: 组 数 第一组 第二组 第三组 第四组 第五组 第六组 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55] 低碳族的 人数 120 195 100 a 30 15 占本组的 频率 0.6 p 0.5 0.4 0.3 0.3

(1)补全频率分布直方图并求 n,a,p 的值; (2)从年龄段在[40,50)的“低碳族”中采用分层抽样法抽取 6 人参加户外低碳 体验活动, 其中选取 2 人作为领队, 求选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45) 岁的概率. 解析 (1)第二组的频率为 1-(0.04+0.04+0.03+0.02+0.01)×5=0.3,所以

0.3 高为 5 =0.06. 频率分布直方图如下:

120 第一组的人数为 0.6 =200,频率为 0.04×5=0.2. 200 所以 n= 0.2 =1 000. 由题可知,第二组的频率为 0.3, 所以第二组的人数为 1 000×0.3=300, 195 所以 p=300=0.65. 第四组的频率为 0.03×5=0.15, 所以第四组的人数为 1 000×0.15=150, 所以 a=150×0.4=60. (2)因为[40,45)岁年龄段的“低碳族”与[45,50)岁年龄段的“低碳族”的比值 为 60∶30=2∶1, 所以采用分层抽样法抽取 6 人, [40,45)岁中有 4 人, [40,50) 岁中有 2 人. 设[40,45)岁中的 4 人为 a,b,c,d,[45,50)岁中的 2 人为 m,n 则选取 2 人 作为领队的有(a,b),(a,c),(a,d),(a,m),(a,n),(b,c),(b,d),(b, m),(b,n),(c,d),(c,m),(c,n),(d,m),(d,n),(m,n),共 15 种; 其中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的有(a,m),(a,n),(b,m),(b,n),(c,m), (c,n),(d,m),(d,n),共 8 种. 8 所以选取的 2 名领队中恰有 1 人年龄在[40,45)岁的概率为 P=15. (理)高频考点 5 正态分布

8.(2013· 石家庄一模)设随机变量 ξ 服从正态分布 N(1,σ2),若 P(ξ<2)=0.8,则 P(0<ξ<1)的值为 ( A.0.2 B.0.3 )

C.0.4

D.0.6

B [本题考查正态分布的性质应用,难度较小. 由正态分布的对称性可得 P(0<ξ<1)= = 1-2×?1-0.8? =0.3, 2 1-2P?ξ≥2? 2

故选 B.] (理)高频考点 6 条件概率与相互独立事件的概率

9.(2013· 深圳市第二次调研)一个箱中原来装有大小相同的 5 个球,其中 3 个红 球,2 个白球.规定:进行一次操作是指“从箱中随机取出一个球,如果取 出的是红球,则把它放回箱中;如果取出的是白球,则该球不放回,并另补 一个红球放到箱中”. (1)求进行第二次操作后,箱中红球个数为 4 的概率; (2)求进行第二次操作后,箱中红球个数的分布列和数学期望. 解析 (1)设 A1 表示事件“第 1 次操作从箱中取出的是红球”,

B1 表示事件“第 1 次操作从箱中取出的是白球”; A2 表示事件“第 2 次操作从箱中取出的是红球”, B2 表示事件“第 2 次操作从箱中取出的是白球”, 则 A1B2 表示事件“第 1 次操作从箱中取出的是红球,且第 2 次操作从箱中取 出的是白球”. 由条件概率的计算公式,得 3 2 6 P(A1B2)=P(A1)P(B2|A1)=5×5=25. B1A2 表示事件“第 1 次操作从箱中取出的是白球,且第 2 次操作从箱中取出 的是红球”. 由条件概率的计算公式,得 2 4 8 P(B1A2)=P(B1)P(A2|B1)=5×5=25. A1B2+B1A2 表示事件“进行第二次操作后,箱中红球个数为 4”. 而 A1B2 与 B1A2 是互斥事件, 所以 P(A1B2+B1A2)=P(A1B2)+P(B1A2)

6 8 14 =25+25=25. (2)设进行第二次操作后,箱中红球数为 X,则 X=3,4,5. 3 3 9 14 P(X=3)=5×5=25,P(X=4)=25, 2 1 2 9 14 2 P(X=5)=5×5=25(或 P(X=5)=1-P(X=3)-P(X=4)=1-25-25=25). 进行第二次操作后,箱中红球个数 X 的分布列为 X P 3 9 25 4 14 25 5 2 25

进行第二次操作后,箱中红球个数 X 的数学期望为 9 14 2 93 EX=3×25+4×25+5×25=25. (理)高频考点 7 离散型随机变量的分布列

10.某地统计部门对城乡居民进行了主题为“你幸福吗?”的幸福指数问卷 调查,共收到 1 万份答卷.其统计结果如下表(表中人数保留 1 位小数): 表1 幸福指数评 分值 [50,60] (60,70] (70,80] (80,90] (90,100] 表2 月均收入(元) 1 000 以下 [1 000,2 000) [2 000,3 000) 3 000 以上 (1)根据表 1 画出频率分布直方图; 所占 比例 0.5 0.3 0.1 0.1 人数(单位: 千) 0.9 1.8 3.3 2.8 1.2

(2)对幸福指数评分值在[50,60]分的人群月平均收入的统计结果如表 2,根据 表 2 按月均收入分层抽样,从幸福指数评分值在[50,60]分的人群中随机抽取 10 人,再从这 10 人中随机抽取 6 人参加“幸福愿景”座谈会.记 6 人中月 均收入在[1 000,3 000)元的人数为随机变量 X, 求随机变量 X 的分布列与期望. 解析 (1)频率分布直方图如图所示.

(2)按分层抽样, 月均收入在 1 000 元到 3 000 元的应抽取 4 人, 故随机变量 X 可能取值为 0,1,2,3,4.
1 5 C6 1 C4 C6 24 8 6 P(X=0)=C6 =210,P(X=1)= C6 =210=70, 10 10 4 3 C2 90 3 C3 80 8 4C6 4C6 P(X=2)= C6 =210=7,P(X=3)= C6 =210=21, 10 10 2 C4 15 1 4C6 P(X=4)= C6 =210=14. 10

∴随机变量 X 的分布列为 X P 0 1 210 1 8 70 2 3 7 3 8 21 4 1 14

1 8 3 8 1 EX=0×210+1×70+2×7+3×21+4×14 504 12 =210= 5 . (理)高频考点 8 11. 二项分布

(2013· 山东高考名校联考信息优化卷)某省组织部为了了解今年全省高三毕业 班准备报考飞行员的学生的体重情况,对该省某校高三毕业班准备报考飞行 员的学生的体重进行了统计,将所得的数据整理后,画出了频率分布直方图 (如图).已知图中从左到右的前 3 个小组的频率之比为 1∶2∶3,其中第 2 小 组的频数为 12.

(1)求该校报考飞行员的总人数; (2)以这所学校的样本数据来估计全省的总体数据,用频率来估计概率,若从 全省报考飞行员的学生中(人数很多)任选 3 人, 设 X 表示体重超过 60 kg 的学 生人数,求 X 的分布列和数学期望. 解析 (1)设该校报考飞行员的总人数为 n,前 3 小组的频率分别为 f1,f2,f3,

则由条件可得,

?f2=2f1 ?f3=3f1 ?f1+f2+f3+?0.037+0.013?×5=1
解得 f1=0.125,f2=0.25,f3=0.375. 12 又因为 f2=0.25= n ,故 n=48. (2)由(1)可得,一个报考飞行员的学生的体重超过 60 kg 的概率为 5 P=f3+(0.037+0.013)×5=8, 5 k 3 3-k X 服从二项分布,P(X=k)=Ck 3( ) ( ) 8 8 (k=0,1,2,3). 所以随机变量 X 的分布列为 X P 0 27 512 1 135 512 2 225 512 3 125 512

27 135 225 125 15 5 15 则 EX=0×512+1×512+2×512+3×512= 8 (或 EX=3×8= 8 ).


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