2011年江西省高考理科数学试卷及答案(word版)


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2011 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 理科数 第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1. 若 z ?
? 1 ? 2i ,则复数 z ? i

A. ?2 ? i

B. ?2 ? i

C. 2 ? i

D. 2 ? i

? x?2 ? 2. 若集合 A ? ? x ? 1 ? 2 x ? 1 ? 3? , B ? ? x ? 0? ,则 A ? B ? x ? ?
A. ? x ? 1 ? x ? 0? 3. 若 f ? x ? ?
1 log 1 ? 2 x ? 1 ?
2

B. ? x 0 ? x ? 1?

C. ? x 0 ? x ? 2?

D. ? x 0 ? x ? 1?

,则 f ? x ? 的定义域为

? 1 ? A. ? ? , 0 ? ? 2 ?

? 1 ? B. ? ? , 0 ? ? 2 ?

? 1 ? C. ? ? , ?? ? ? 2 ?

D.

? 0,???

4. 若 f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? 4ln x ,则导数 f ' ? x ? ? 0 的解集为 A. ? 0,??? B.

? ?1,0? ? ? 2, ???

C.

? 2, ???

D.

? ?1,0?

5. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn 满足: Sn ? Sm ? Sn?m ,且 a1 ? 1 ,那么 a10 ? A.1 B.9 C.10 D.55

6. 变量 X 与 Y 相对应的一组数据为(10,1)(11.3,2)(11.8,3) (12.5,4)(13,5) , , , , , 变量 U 与 V 相对应的一组数据为(10,5),(11. 3,4),(11.8,3),(12.5,2),(13,1) ,

r1 表示变量 Y 与 X 之间的线性相关系数, r2 表示变量 V 与 U 之间的线性相关系数
A. r2 ? r1 ? 0 B. 0 ? r2 ? r1 C. r2 ? 0 ? r1 D. r2 ? r1

7. 观察下列各式:55=3125, 56=15625, 57=78125,·,则 52011 的末四位数字为 ·· A.3125 B.5625 C.0625 D.8125

8. 已知 ?1 , ?2 , ?3 是三个相互平行的平面,平面 ?1 , ?2 之间的距离为 d1 ,平面 ? 2 , ? 3 之间的距
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离为 d2 ,直线 l 与 ?1 , ?2 , ?3 分别相交于 P1 , P2 , P3 .那么“ P1 P2 ? P2 P3 ”是“ d1 ? d 2 ”的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

9. 若曲线 C1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 0 与曲线 C2 : y( y ? mx ? m) ? 0 有四个不同的交点,则实数 m 的 取值范围是 A. ( ?
3 3 , ) 3 3 3 3 , ] 3 3

B. ( ?

3 3 , 0) ? (0, ) 3 3 3 3 )?( , ? ?) 3 3

C. [?

D. ( ??, ?

10. 如图,一个直径为 1 的小圆沿着直径为 2 的大圆内壁的逆时针方向滚动, M 和 N 是小 圆的一条固定直径的两个端点. 那么,当小圆这样滚过大圆内壁的一周,点 M , N 在大 圆内所绘出的图形大致是

第Ⅱ卷 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. ? ? ? ? ? ? ? ? 11.已知 a ? b ? 2 , a ? 2b ? a ? b ? ?2 ,则 a 与 b 的夹角为

?

??

?

.

12.小波通过做游戏的方式来确定周末活动,他随机地往单位圆内投掷一点,若此点到圆心 的距离大于
1 1 ,则周末去看电影;若此点到圆心的距离小于 ,则去打篮球;否则,在 4 2

家看书. 则小波周末不在家看书的概率为 .

.

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13.下图是某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是

.

14. 若椭圆

1 x2 y2 ? 2 ? 1 的焦点在 x 轴上,过点 (1, ) 作圆 x 2 ? y 2 ? 1 的切线,切点分别为 2 2 a b

A, B ,直线 AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点,则椭圆方程是

.

三、选做题:请考生在下列两题中选一题,则按所做的一题评分.本题共 5 分 15.(I) (坐标系与参数方程选做题)若若曲线的极坐标方程为 ? ? 2sin ? ? 4cos ? ,以极点 为原点, 极轴为 x 轴正半轴建立直角坐标系, 则该曲线的直角坐标方程为 .

(II) (不等式选做题)对于实数 x , y ,若 x ? 1 ? 1 , y ? 2 ? 1 ,则 x ? 2 y ? 1 的最大值 为 .

四、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答题写出文字说明.证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分)某饮料公司招聘了一名员工,现对其进行一项测试,以便确定工 资级别. 公司准备了两种不同的饮料共 8 杯,其颜色完全相同,并且其中 4 杯为 A 饮 料,另外 4 杯为 B 饮料,公司要求此员工一一品尝后,从 8 杯饮料中选出 4 杯 A 饮料. 若 4 杯都选对,则月工资定位 3500 元;若 4 杯选对 3 杯,则月工资定为 2800 元,否 则月工资定为 2100 元,今 X 表示此人选对 A 饮料的杯数,假设此人对 A 和 B 两种饮 料没有鉴别能力. (1)求 X 的分布列; (2)求此员工月工资的期望.

17. (本小题 12 分) ?ABC 中, A, B, C 的对边分别是 a, b, c ,已知 sin C ? cos C ? 1 ? sin 在 角 (1)求 sin C 的值; (2)若 a 2 ? b2 ? 4(a ? b) ? 8 ,求边 c 的值.

C . 2

18. (本小题满分 12 分)已知两个等比数列 ?an ? , ?bn ? ,满足 a1 ? a (a ? 0) , b1 ? a1 ? 1 ,

b2 ? a2 ? 2 , b3 ? a3 ? 3 .
(1)若 a ? 1 ,求数列 ?an ? 的通项公式; (2)若数列 ?an ? 唯一,求 a 的值.

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19.(本小题满分 12 分)设 f ( x ) ? ?

1 3 1 2 x ? x ? 2ax . 3 2

2 (1)若 f ? x ? 在 ( , ?? ) 上存在单调递增区间,求 a 的取值范围; 3

(2)当 0 ? a ? 2 时, f ? x ? 在 [1, 4] 的最小值为 ?

16 ,求 f ? x ? 在该区间上的最大值. 3

x2 y2 M 20. 本小题满分 13 分) ( x0 , y0 )( x0 ? ?a ) 是双曲线 E : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 上一点, , N ( P a b
1 分别是双曲线 E 的左右顶点,直线 PM , PN 的斜率之积为 . 5

(1)求双曲线的离心率; (2)过双曲线 E 的右焦点且斜率为 1 的直线交双曲线于 A, B 两点,O 为坐标原点,C 为

??? ? ??? ??? ? ? 双曲线上一点,满足 OC ? ? OA ? OB ,求 ? 的值.

21.(本小题满分 14 分) ( 1 ) 如 图 , 对 于 任 意 给 定 的 四 面 体 A1 A2 A3 A4 , 找 出 依 次 排 列 的 四 个 相 互 平 行 的

?1 , ?2 , ?3 , ?4 ,使得 Ai ? ?i (i ? 1, 2, 3,4) ,且其中每相邻两个平面间的距离都相等;
(2)给定依次排列的四个相互平行的平面 ?1 , ?2 , ?3 , ?4 ,其中每相邻两个平面间的距离 为 1 ,若一个正四面体 A1 A2 A3 A4 的四个顶点满足: Ai ? ?i (i ? 1, 2, 3,4) , 求该正四面体

A1 A2 A3 A4 的体积.

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