2014年高中数学(入门答疑+思维启+状元随笔)3.2.1几类不同增长的函数模型同步课堂讲义课件 新人教A版必修1


3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型

假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案 供你选择,这三种方案的回报如下: 方案一:每天回报40元. 方案二:第一天回报10元,以后每天比前一天多 回报10元. 方案三:第一天回报0.4元,以后每天的回报比前 一天翻一倍. 请问你会选择哪种投资方案?

[提示 ]

假设你有一笔资金用于投资,现有三种投

资方案供你选择,这三种方案的回报如下: 解:设第x天所得回报是y元 方案一:每天回报40元, y=40(x∈N*) 常函数 方案二:第一天回报10天,以后 每天比前一天多回报10元, y=10x(x∈N*) 正比例函数 方案三:第一天回报0.4元,以后 每天的回报比前一天翻一倍, y=0.4×2x-1(x∈N*) 指数型函数 进行描述

1.掌握常见增长函数的定义、图象、性质,并体 会其增长快慢.(重点) 2.理解直线上升、对数增长、指数爆炸的含义, 及其三种函数模型的性质的比较.(易混点). 3.会分析具体的实际问题,能够建模解决实际问 题.(难点)

常见的增长模型
1.线性函数模型 线性函数模型 y=kx+b(k>0)的增长特点是直线上 升,其增长速度不变. 2.指数函数模型 指数函数(底数a>1) 表达的函数模型叫指 能利用__________________ 数函数模型. 指数函数模型特点是随自变量的增大, 函数值的增大速度越来越快, 常形象地称为指数爆 炸.

3.对数函数模型 对数函数(底数a>1) 表达的函数模型叫做对 能用__________________ 随自变量的增大 , 数函数模型, 对数增长的特点是_______________ 越来越慢 . 函数值增长速度_____________ 4.幂函数模型 幂函数 y=xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对 数增长之间.

函数模型的意义及应用 (1)函数是描述客观规律的数学模型,不同的变化 现象需要用不同的函数模型来描述.数学应用题 的建模过程就是信息获取、存储、处理、综合、 输出的过程. (2)通过研究不同增长的几类函数模型,寻找出最 能反映实际问题的函数模型,解题过程可分四步 :①建立模型;②画图;③检验筛选;④判断.

指数函数y=ax(a>1),对数函数y= logax(a>1)和幂函数y=xn(n>0)增长速 度的比较 1.在区间(0,+∞)上,函数 y=ax(a>1),y= 增函数 ,但 logax(a>1)和 y=xn(n>0)都是___________ 增长速度 不同,且不在同一个“档次”上. ____________ 2.在区间(0,+∞)上随着 x 的增大,y=ax(a>1) 越来越快 ,会超过并远远大于 y= 增长速度_____________ xn(n>0)的增长速度,而 y=logax(a>1)的增长速度 越来越慢 . 则会_____________ n< a x log x < x a 3.存在一个 x0,使得当 x>x0 时,有____________.

函数模型的选取 (1)当描述增长速度变化很快时,常常选用指数函 数模型. (2)当要求不断增长,但又不会增长过快,也不会 增长到很大时,常常选用对数函数模型. (3)幂函数模型 y=xn(n>0)则可以描述增长幅度不 同的变化,n 值越小 (n≤1)时,增长较慢;n 值较 大 (n>1)时,增长较快.

1.下列函数中,随x的增大,增长速度最快的 是( ) A.y=2x B.y=10 000x C.y=log3x D.y=x3 解析: 指数函数模型增长速度最快,故选A. 答案: A

2.y1=2x,y2=x2,y3=log2x,当2<x<4时,有 ( ) A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y1>y3>y2 D.y2>y3>y1 解析: 在同一平面直角坐标系内画出这三个 函数的图象(图略),在区间(2,4)内,从上到下 图象依次对应的函数为y2=x2,y1=2x,y3= log2x,故y2>y1>y3. 答案: B

3.若a>1,n>0,那么当x足够大时,ax,xn, logax的大小关系是________. 答案: ax>xn>logax

4.某学校为了实现100万元的生源利润目标,准备 制定一个激励招生人员的奖励方案:在生源利润达 到5万元时,按生源利润进行奖励,且资金y随生源 利润x的增加而增加,但奖金总数不超过3万元,同 时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型:y= 0.2x,y=log5x,y=1.02x,其中哪个模型符合该校 的要求? 解析: 借助工具作出函数y=3,y=0.2x,y= log5x,y=1.02x的图象(图略).观察图象可知,在区 间[5,100]上,y=0.2x,y=1.02x的图象都有一部分 在直线y=3的上方,只有y=log5x的图象始终在y= 3和y=0.2x的下方,这说明只有按模型y=log5x进行 奖励才符合学校的要求.

函数模型的增长差异
函数 f(x)=2x 和 g(x) =x3 的图象,如图所示.设 两函数的图象交于点 A(x1, y1),B(x2,y2),且 x1<x2. (1)请指出示意图中曲线 C1, C2 分别对应哪一个函数; (2)结合函数图象, 比较 f(8), g(8),f(2 010),g(2 010)的大小.

[思路点拨] (1)由图象可知x1与x2两侧函数值的大 小关系,因此可取特值验证,从而确定x1与x2的取 值范围. (2)利用函数y=f(x)的单调性比较. (3)利用图象,由图象高低比较大小.

解析: (1)C1 对应的函数为 g(x)=x3,C2 对应的函 数为 f(x)=2x. (2)∵g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729, f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024, ∴f(1)>g(1),f(2)<g(2),f(9)<g(9),f(10)>g(10). ∴1<x1<2,9<x2<10. ∴x1<8<x2<2 010. 从图象上知,当 x1<x<x2 时,f(x)<g(x); 当 x>x2 时,f(x)>g(x),且 g(x)在(0,+∞)上是增函 数, ∴f(2 010)>g(2 010)>g(8)>f(8).

对于三种函数增长的几点说明: (1)对于幂函数y=xn,当x>0,n>0时,y=xn才是增函 数,当n越大时,增长速度越快. (2)指数函数与对数函数的递增前提是a>1,又它们的 图象关于y=x对称,从而可知,当a越大,y=ax增长 越快;当a越小,y=logax增长越快,一般来说, ax>logax(x>0,a>1). (3)指数函数与幂函数,当x>0,n>0,a>1时,可能开 始时有xn>ax,但因指数函数是爆炸型函数,当x大于 某一个确定值x0后,就一定有ax>xn. 特别提醒:上述结论体现了指数函数的爆炸式增长.

1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的 应该是( ) A.y=100x B.y=log100x C.y=x100 D.y=100x 解析: 由于指数型函数的增长是爆炸式增长,则 当x越来越大时,函数y=100x增长速度最快.故选 D. 答案: D

二次函数模型
某地预计明年从年初开始的前 x 个月内,某种商品 的需求总量 f(x)(万件)与月份 x 的近似关系为 f(x)= 1 x(x+1)(35-2x)(x∈N,且 x≤12). 150 (1)写出明年第 x 个月的需求量 g(x)(万件)与月份 x 的函数关系式. (2)求哪个月份的需求量最大?最大值为多少? [思路点拨] 首先把g(x)表示出来,再利用函数解 决最值问题.

(1)由题意知: g(x)= f(x)- f(x- 1) 1 1 = · x(x+ 1)(35-2x)- (x- 1)x[35-2(x-1)] 150 150 1 = x[(x+ 1)(35-2x)- (x-1)(37- 2x)] 150 1 1 = x(72- 6x)= x(12-x). 150 25 1 ∴g(x)= x(12- x)(x∈ N 且 x≤12). 25

x 1 2 (2)g(x)= (12-x)=- (x - 12x+36-36) 25 25 1 1 36 2 2 =- [(x- 6) -36]=- (x- 6) + , 25 25 25 36 ∴当 x= 6 时,g(x)有最大值 . 25 36 即第六个月需求量最大,为 万件. 25

在函数模型中,二次函数模型占有重要的地位, 因为根据实际问题建立函数解析式后,可利用配 方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法 来求函数的最值,从而解决实际问题中的最大、 最小等问题.

2.某企业生产一种机器的固定成本 (即固定投入) 为 0.5 万元, 但每生产 100 台时, 又需可变成本 (即 另增加投入)0.25 万元,市场对此商品的年需求量 为 500 台,销售收入(单位:万元)函数为: 1 2 R(x)=5x- x (0≤x≤5),其中 x 是产品生产的数 2 量(单位:百台) (1)把利润表示为产量的函数. (2)年产量为多少时,企业所获得的利润最大?

解析: 利润为

(1)由题意得总成本为 0.5+0.25x,从而

1 2 f(x)= 5x- x - (0.5+0.25x) 2 1 2 =- x + 4.75x-0.5 2 1 2 19 1 =- x + x- (0≤x≤5) 2 4 2 1? 19? 345 ? ?2 (2)f(x )=- ?x- ? + 2? 4? 32 19 345 当 x= 时,f(x)有最大值 . 4 32 345 ∴年产量为 475 台时,利润最大为 . 32

指数函数模型
某城市现有人口总数为100万人,如果年自然增长 率为1.2%,试解答下面的问题: (1)写出该城市的人口总数y(万人)与年份x(年)的函 数关系式; (2)计算10年以后该城市人口总数(精确到0.1万人); (3)计算大约多少年以后该城市人口总数将达到120 万人.(精确到1年) ((1+1.2%)10≈1.127,(1+1.2%)15≈1.196, (1+1.2%)16≈1.21). [思路点拨] 已知增长率问题,建立指数函数模型 求解.

(1)1年后该城市人口总数为: y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%); 2年后该城市人口总数为: y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%)×1.2% =100×(1+1.2%)2; 3年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)3; ? x年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)x.6分

(2)10年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%)10 =100×1.01210≈112.7(万人).8分 (3)令y=120,则有100×(1+1.2%)x=120, 解方程可得x≈16. 即大约16年后该城市人口总数将达到120万人.12分

在实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞 分裂等增长率问题常可以用指数函数模型表 示.通常可以表示为y=N(1+p)x(其中N为基础数, p为增长率,x为时间)的形式.

3.光线通过一块玻璃,其强度要损失 10%,把几 块这样的玻璃重叠起来,设光线原来的强度为 k, 通过 x 块玻璃以后强度为 y. (1)写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)至少通过多少块玻璃, 光线强度能减弱到原来的 1 以下. 4 (参考数据:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)

解析: (1)光线经过1块玻璃后,强度为y=(1- 10%)k=0.9k; 光线经过2块玻璃后,强度为y=(1-10%)·0.9k= 0.92k; 光线经过3块玻璃后,强度为y=(1-10%)·0.92k =0.93k; ? 光线经过x块玻璃后,强度为y=0.9xk. 故y关于x的函数关系式为y=0.9xk(x∈N*).

k x 1 (2)由题意:0.9 k< ,即 0.9 < ,两边取对数,得 4 4 1 lg 1 4 xlg 0.9<lg .因为 lg 0.9<0,所以 x> . 4 lg 0.9 1 lg -2lg 2 -0.602 0 -0.602 0 4 又 = = = lg 0.9 -1+2lg 3 -1+0.954 2 -0.045 8 ≈13.14,则 xmin= 14.
x

1 故至少通过 14 块玻璃,光线强度能减弱到原来的 4 以下.

对数函数模型
燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬, 研究燕子 的科学家发现, 两岁燕子的飞行速度可以表示为函 Q 数 v=5log2 ,单位是 m/s,其中 Q 表示燕子的耗 10 氧量. (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位; (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时,它的飞行 速度是多少? [思路点拨] 由题意可知飞行速度是耗氧量的函数, 由函数表达式分别给变量赋值,求出另外的量即可.

解析: (1)由题知, 当燕子静止时, 它的速度 v=0, Q 代入题给公式可得:0=5log2 ,解得 Q=10. 10 即燕子静止时的耗氧量是 10 个单位. (2)将耗氧量 Q=80 代入题给公式得: 80 v= 5log2 =5log28=15(m/s). 10 即当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时,它的飞行速 度为 15 m/s.

本题是属于直接以对数函数为模型的应用题, 解决此类问题首先要明确各个量所代表的实际 意义,然后利用对数运算性质或换底公式进行 运算来解.

4.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地生产 卵, 研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为 1 O 函数 v= log3 ,单位是 m/s,其中 O 表示鱼的 2 100 耗氧量的单位数. (1)当一条鱼的耗氧量是 2 700 个单位时, 它的游速 是多少; (2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.

1 2 700 3 解析: (1)由题意得 v= log3 = (m/s). 2 100 2 (2)当一条鱼静止时,即 v=0(m/s), 1 O 则 0= log3 , 2 100 解得 O= 100. 答: 当一条鱼的耗氧量是 2 700 个单位时,它的游速 3 是 m/s,当一条鱼静止时耗氧量的单位数是 100. 2

◎某工厂转换机制, 两年内生产的月增长率都是 a, 则这两年内第二年某月的产值比第一年相应月的增 长率是多少? 【错解】 设第一年某月的产值为 b,则第二年相 应月的产值是 b(1+a)11,依题意所求增长率是 b?1+a?11-b = (1+a)11-1 或把第二年相应月的产 b 值写成 b(1+a)13.

【错因】 对增长率问题的公式y=N(1+P)x未能 理解透彻而造成指数写错,或者是由于审题不缜 密而造成题意的理解错误.若某月的产值是b,则 此月第x月后的产值是b(1+a)x,指数x是基数所在 时间后所跨过的时间间隔数.

【正解】 不妨设去年 2 月份的产值是 b, 则 3 月份的产值是 b(a+1), 4 月份的产值是 b(1+a)2, 以此类推, 到今年 2 月份是去年 2 月份后的第 12 个 月,即一个时间间隔是一个月,而这里跨过了 12 个 月, 故今年 2 月份的产值是 b(1+a)12, 又由增长率的概念知,这两年内的第二年某月的产 b?1+a? - b 值比第一年相应月的增长率为: = (1+ b a)12-1.
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