【导与练】2015届高考数学一轮复习 第5篇 第1节 数列的概念与简单表示法课件 文 新人教版


第五篇 数列(必修 5)
第1节 数列的概念与简单表示法

基础梳理

考点突破

基础梳理
知识整合
1.数列的定义

抓主干

固双基

按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每 一个数叫做这个数列的项.

2.数列的分类
分类 原则 按项数 分类 按项与 项间 的大小 关系 分类 类型 有穷数列 无穷数列 递增数列 递减数列 常数列 摆动数列 an+1>an an+1<an an+1=an 的前一项的数列 满足条件 项数有限 项数无限 其中 n ∈N
*

从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它

3.数列的表示法
数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.

4.数列的函数特征
从函数观点看,数列可以看成以正整数集 N*(或它的有限子 集{1,2,3,…,n})为定义域的函数 an=f(n)当自变量按照从 小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值,而数列的 通项公式也就是相应函数的解析式.

5.数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个式 子来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

质疑探究:数列的通项公式唯一吗?是否每个数列 都有通项公式? 提示:不唯一,如数列-1,1,-1,1,…的通项公式可
? ??1 ? n为奇数?, 以为 an=(-1) 或 an= ? 有的数列没有 ? ?1 ? n为偶数?,
n

通项公式.

6.数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前几项),且任何一项 an 与它的 前一项 an-1(或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即 an=f(an-1)或 an=f(an-1,an-2),那么这个式子叫做数列{an}的递 推公式.

7.an 与 Sn 的关系
(1)Sn= a1 ? a2 ?
? an .

(2)若数列{an}的前 n 项和为 Sn,
? ?S1 则 an= ? ? ?Sn ? Sn ?1

? n ? 1? , ? n ? 2?.

双基自测
1.下列说法正确的是( C ) (A)数列 1,3,5,7 可表示为{1,3,5,7} (B)数列 1,0,-1,-2 与数列-2,-1,0,1 是相同的数列
1 ? n ? 1? (C)数列 ? ? 的第 k 项为 1+ k ? n ?

(D)数列 0,2,4,6,…可记为{2n} 解析:根据数列的定义与集合的定义不同可知选项 A、 B 不正 确;数列{2n}中的第一项是 2,而不是 0,故选项 D 不正确;选
n ?1 1 项 C 中,an= ,∴ak=1+ .故选 C. n k

2.已知数列的通项公式为 an=n2-8n+15,则 3( (A)不是数列{an}中的项 (B)只是数列{an}中的第 2 项 (C)只是数列{an}中的第 6 项 (D)是数列{an}中的第 2 项和第 6 项 2 解析:令 an=n -8n+15=3, 2 整理可得 n -8n+12=0, 解得 n=2 或 n=6. 故 3 是数列{an}中的第 2 项或第 6 项,故选 D.

D )

3.(2013 广东六校高三第二次质检)数列{an}满足
1 ? 2an ,0 ? an ? , ? 3 ? 2 an+1= ? 若 a1= ,则数列的第 2013 项为( 5 ?2a ? 1, 1 ? a ? 1, n n ? 2 ?

C

)

1 (A) 5

2 (B) 5

3 (C) 5

4 (D) 5

3 1 2 4 3 1 2 解析:由题意可得数列{an}的项依次为 , , , , , , , 5 5 5 5 5 5 5 4 3 ,…,即{an}是周期为 4 的数列,所以 a2013=a4×503+1=a1= ,故选 C. 5 5

4.已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3+2n,则 an= 解析:∵Sn=3+2n, ∴当 n=1 时,a1=S1=3+2=5, 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1. 当 n=1 时,a1=5 不适合上式.
? ?5 ? n ? 1? , ∴an= ? n ?1 ? ?2 ? n ? 2 ? . ? ?5 ? n ? 1? 答案: ? n ?1 ? ?2 ? n ? 2 ?

.

考点突破

剖典例 知规律

考点一 已知数列的前 n 项归纳数列的通项公式
【例 1】 写出下列各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,…;
1 3 7 15 31 (2) , , , , ,…; 2 4 8 16 32 3 1 3 1 3 (3)-1, ,- , ,- , ,…; 2 3 4 5 6

(4)3,33,333,3333,….

思维导引:根据数列前几项的规律,归纳第 n 项. 解:(1)各项减去 1 后为正偶数, 所以 an=2n+1. (2)每一项的分子比分母少 1, 而分母组成数列 2 ,2 ,2 ,2 ,…,
2 ?1 所以 an= n . 2
n
1 2 3 4

(3)奇数项为负,偶数项为正,故第 n 项的符号为(-1) ;各 项绝对值的分母组成数列 1,2,3,4,…;而各项绝对值的 分子组成的数列中,奇数项为 1,偶数项为 3,即奇数项为 2-1,偶数项为 2+1, 所以 an=(-1) ·
n

n

2 ? ? ?1? n

n

,也可写为

? 1 ? , n为正奇数, ? ? n an= ? ? 3 , n为正偶数. ? ?n

9 99 999 9999 (4)将数列各项改写为: , , , ,…,分母 3 3 3 3

都是 3,而分子分别是 10-1,10 -1,10 -1,10 -1,….
1 所以 an= (10n-1). 3

2

3

4

反思归纳
时主要观察:

(1)已知数列的前几项,归纳通项公式

①分式中分子、分母的特征,②相邻项的变化特征, ③拆项后的特征,④各项符号特征,并对此进行归 纳、猜想. (2)对于正、 负符号的变化,用(-1) 或(-1) 来调整.
n n+1

即时突破 1 根据数列的前几项,写出数列的一个通
项公式:
1 1 5 13 29 61 (1) , ,- , ,, ,…; 2 4 8 16 32 64 3 7 9 (2) ,1, , ,…; 2 10 17

(3)0,1,0,1,….

解:(1)各项的分母分别为 21,22,23,24,…,易看出 第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 项
2?3 21 ? 3 22 ? 3 变为,原数列可化为- 1 , , 2 2 2 2

23 ? 3 2 4 ? 3 , ,…, 3 4 2 2 2 ?3 因此 an=(-1) · . n 2
n
n

3 5 7 9 (2)将数列化为 , , , ,…,对于分 3,5, 2 5 10 17

7,9,…,是序号的 2 倍加 1,可得分子的通项公式为 bn=2n+1,对于分母 2,5,10,17,…,联想到数列 1,4,9,16,…,即数列{n },可得分母的通项公式为
2n ? 1 cn=n +1.因此可得它的一个通项公式为 an= 2 . n ?1
2 2

? ?0 (3)an= ? ? ?1

n ? n为奇数?, 1 ? ? ?1? 1 ? cos nπ 或a = 或a = 2 2 ? n为偶数?
n n

.

考点二 根据递推公式求通项公式
【例 2】 根据下列条件,确定数列{an}的通项公式: (1)a1=1,an+1=3an+2; (2)a1=1,an=
n ?1 an-1(n≥2); n

(3)已知数列{an}满足 an+1=an+3n+2,且 a1=2,求 an. 思维导引:(1)构造等比数列;(2)用 an=
an a · n ?1 ·…· a n ?1 an ? 2

a2 ·a1 求解;(3)用 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 求解. a1

解:(1)∵an+1=3an+2,
an ?1 ? 1 ∴an+1+1=3(an+1),∴ =3, an ? 1

∴数列{an+1}为等比数列,公比 q=3, 又 a1+1=2,∴an+1=2·3 , ∴an=2·3 -1.
n-1 n-1

n ?1 (2)∵an= an-1(n≥2), n
n?2 1 ∴an-1= an-2,…,a2= a1. n ?1 2

以上(n-1)个式子相乘得
1 2 n ? 1 a1 1 an=a1· · ·…· = = . n n 2 3 n

当 n=1 时,a1=1,上式也成立.
1 ∴an= . n

(3)∵an+1-an=3n+2, ∴an-an-1=3n-1(n≥2), ∴an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1 =
n ? 3n ? 1? 2

(n≥2).

当 n=1 时,a1=2 也符合上式,
3 2 n ∴an= n + . 2 2

反思归纳

由数列递推式求通项公式常用

方法有:累加法、累积法、构造法.形如 an=pan-1+m(p、m 为常数,p≠1,m≠0)时,构造等 比数列;形如 an=an-1+f(n)({f(n)}可求和)时,
an 用累加法求解;形如 =f(n)({f(n)}可求积) a n ?1

时,用累积法求解.

即时突破 2 (1)如果数列{an}满足 a1=2,an+1=an+2n,则数列{an}的通
项公式 an= . . (2)若数列{an}满足 a1=1,an+1=2nan,则数列{an}的通项公式 an= 解析:(1)∵an+1=an+2n,∴an+1-an=2n. ∴a2-a1=2×1; a3-a2=2×2; … an-an-1=2×(n-1)(n≥2). 以上各式相加,得: 2 an-a1=2[1+2+3+…+(n-1)]=n -n. 2 2 ∴an=n -n+a1=n -n+2(n≥2),a1=2 也适合. ∴an=n2-n+2.

a n ?1 n (2)∵an+1=2 ·an,∴ =2 . an
n

an a2 a3 2 n-1 ∴ =2, =2 ,…, =2 (n≥2). a n ?1 a1 a2 an 以上各式相乘得 =2·22·23·…·2n-1 a1

=2

1+2+3+… +(n-1)

n ? n ?1?

=2

2

(n≥2).

n ? n ?1?

∴an= 2

2

(n≥2).

又 a1=1 也适合.
n ? n ?1?

∴an= 2

2

.
n ? n ?1? 2

答案:(1)n2-n+2 (2) 2

考点三 an 与 Sn 的关系的应用
【例 3】 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3 +b,求{an}的通项 公式. 解:n=1 时,a1=S1=3+b. 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=3n-3n-1=2·3n-1, 当 b=-1 时,a1 适合此式,此时 an=2·3 ,
? ?3 ? b ? n ? 1? , 当 b≠-1 时,a1 不适合此式,此时 an= ? n ?1 2 ? 3 ? n ? 2?. ? ?
n-1 n

反思归纳

an 与 Sn 的关系式 an=Sn-Sn-1 的使用条

件是 n≥2,求 an 时切勿漏掉 n=1 的情况,一般地, 当 a1=S1 适合 an=Sn-Sn-1 时,an=Sn-Sn-1;当 a1=S1 不适
? ? S1 ? n ? 1? , 合 an=Sn-Sn-1 时,an= ? ? ? S n ? S n ?1 ? n ? 2 ? .

即时突破 3 (2013 年高考新课标全国卷Ⅰ)若数
2 1 列{an}的前 n 项和为 Sn= an+ ,则数列{an}的 3 3

通项公式是 an=

.

2 1 解析:当 n=1 时,a1=S1= a1+ , 3 3

解得 a1=1.

2 1 2 1 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= an+ -( an-1+ ) 3 3 3 3 2 2 = an- an-1, 3 3

即 an=-2an-1, ∴{an}是首项为 1,公比为-2 的等比数列. n-1 ∴an=(-2) . 答案:(-2)
n-1

备选例题
2 2Sn 【例 1】 数列{an}中,a1=1,an= (n≥2),求 an. 2Sn ? 1

解:当 n≥2 时,
2 2Sn 将 Sn-Sn-1=an 代入式子 an= , 2Sn ? 1 2 2Sn 得 Sn-Sn-1= , 2Sn ? 1

整理得 Sn-1-Sn=2Sn·Sn-1,

1 1 两边同除以 Sn·Sn-1,得 =2(n≥2), S n S n ?1

? ?1? ? ∴数列 ? ? 是以 2 为公差的等差数列, ? ? Sn ? ?

1 1 则 = +2(n-1)=2n-1, Sn S1
1 ∴Sn= (S1=a1=1 也适合此式). 2n ? 1

当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1=

?2 . ? 2n ? 1?? 2n ? 3?

当 n=1 时,a1=1 不适合上式,
?1, n ? 1, ? ?2 ∴an= ? ? ? 2n ? 1?? 2n ? 3? , n ? 2. ?

【例 2】 若数列{an}中的通项公式为 an=-n +13n-12, 求数列{an}的前 n 项和取得最大值时的 n 值. 解:设数列{an}的前 n 项和最大,

2

?an ? 0, 则必有 ? ?an ?1 ? 0,
2 ? ? n ? 13n ? 12 ? 0, ? 即? 2 ? ?? ? n ? 1? ? 13 ? n ? 1? ? 12 ? 0,

2 ? ? n ? 13n ? 12 ? 0, 整理得 ? 2 ? ? n ? 11n ? 0,

解得 11<n≤12, 又∵n∈N ,
*

?a12 ? 0, ∴? ?a13 ? 0.
其中 a12=0, 所以数列{an}的前 12 项和或前 11 项和取最大值, 即 n=12 或 11.

思想方法
特殊值法在数列问题中的应用
【典例】 (2011 年高考江西卷)已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满 足:Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1.那么 a10 等于( ) (A)1 (B)9 (C)10 (D)55 分析:已知等式中令 m=1,结合 an 与 Sn 的关系求解. 解析:∵Sn+Sm=Sn+m,且 a1=1,∴S1=1. 令 m=1 得 Sn+1=Sn+1, ∴Sn+1-Sn=1. 即当 n≥1 时,an+1=1, ∴a10=1.故选 A.

方法点睛
松解决.

解决本题的关键是令 m=1,将已

知等式和 an 与 Sn 的关系联系起来使问题得到轻


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