炎德英才大联考·长沙一中2015届高三月考试卷(一)理科数学


炎德英才大联考〃长沙一中 2015 届高三月考试卷(一) 数学(理科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 5 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要
求的。 ) 1、若集合 M= ?1, 2? ,N= ?1, 2,3? ,P= x x ? ab, a ? M , b ? N ,则集合 P 的元素个数为 (

?

?

)C

A、3 B、4 C、5 D、6 2、在南京青运会体操跳马比赛赛前训练中,甲、乙两位队员各跳一次。设命题 p 是“甲落地站稳” ,q 是“乙 落地站稳” ,则命题“至少有一位队员没有站稳”可表示为( )D A、 p ? q C、 ? ?p ? ? ? ?q ? B、 p ? ? ?q ? D、 ? ?p ? ? ? ?q ? F· · E· O · P·
X

G

y

3、如右图所示方格纸中有定点 O、P、Q、E、F、G、H,则 OP ? OQ 等于( )D A、 OG B、 OH C、 EO D、 FO 【解析】如图,以 O 为坐标原点建立直角坐标系, 则 OP ? OQ ? ? ?2, ?2? ? ? 4, ?1? ? ? 2, ?3? = FO 。

·Q · H

4、复数 m ?3 ? i ? ? ? 2 ? i ? ( m ? R , i 为虚数单位)在复平面内对应的点不可能位于( A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 5、阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入某个正整数 n 后, 输出的 S ? ? 31,72? ,则 n 的值为( A、5 C、7
x

)B
开始

)B

S=0, k=1
输入 n

B、6 D、8

?1? 1 6、若 f ? x ? ? ? ? ? , x0 是 f ? x ? ? 0 的一个实根, x1 ? ? ??, x0 ? , ?2? x )A x2 ? ? x0 ,0? ,则(
A、 f ? x1 ? ? 0 , f ? x2 ? ? 0 B、 f ? x1 ? ? 0 , f ? x2 ? ? 0 C、 f ? x1 ? ? 0 , f ? x2 ? ? 0 D、 f ? x1 ? ? 0 , f ? x2 ? ? 0 的最小值为( A、 )C

S=1+2S k=k+1 k>n?
是 输出 S 结束 否

7、若将函数 f ? x ? ? sin 2x ? cos 2x 的图象向右平移 ? 个单位得到 g ? x ? 的图象,若函数 g ? x ? 为偶函数,则 ?

? ? 3? B. C、 8 8 4 8、设 x, y ? R ,p: x ? y ,q: x ? y ? sin ? x ? y ? ? 0 ,则 p 是 q 的(
A、充分不必要条件 C、充要条件

D、 )C

3? 4

【解析】构造函数 f ? x ? ? x ? sin x ,则 f ' ? x? ? 1? cos x ? 0 恒成立,于是 f ? x ? 在 R 上单调递增; 而 f ? 0? ? 0 ,所以 f ? x ? ? 0 ? x ? 0 。因此 f ? x ? y ? ? x ? y ? sin ? x ? y ? ? 0 ? x ? y ? 0 。

B、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 9、当实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 时, 1 ? ax ? y ? 4 恒成立,则实数 a 的取值范围是( ?x ? 1 ?

)C

-1-

A、 ? ?

? 3 1? ,? ? 2 2? ?

B、 ? ? ,1?

? 1 ? ? 2 ?

C、 ?1, ? 2

? 3? ? ?

D、 ? , ? 2 2

?3 5? ? ?

10、已知 A ?1,0 ? ,点 B 在曲线 G: y ? ln ? x ?1? 上,若线段 AB 与曲线 M: y ?

1 的交点恰好为 AB 的中点, x

则称 B 为曲线 G 关于 M 的一个关联点,记曲线 G 关于 M 的关联点的个数为 a,则( )B A、 a ? 0 B、 a ? 1 C、 a ? 2 D、 a ? 2 【解析】方法一、依题意,可设点 B 的坐标为 x0 ,ln ? x0 ?1? ,

?

?

Y y=4

? 1 ? x0 1 ? 则 AB 中点 C 的坐标为 ? , ln ? x0 ? 1? ? , ? 2 2 ? 1 2 由关联点的意义,点 C 在曲线 M 上,即 ln ? x0 ? 1? ? , 2 1 ? x0
亦即 ? x0 ? 1? ln ? x0 ? 1? ? 4 。 令 ?' ? x? ? 0 ,解得 x ?
O

1

X

设 ? ? x ? ? x ln x ,则 ?' ? x? ? ln x ?1 ;

1 1 ;令 ?' x ? ? 0 ,解得 0 ? x ? ; ? e e ? 1? ?1 ? 于是函数 ? ? x ? ? x ln x 在 ? 0, ? 上单调递减,在 ? , ?? ? 上单调递增, ? e? ?e ? 又当 0 ? x ? 1 时, ? ? x ? ? x ln x ? 0 ,所以 ? ? x ? ? 4 有唯一解。
故 ? x0 ? 1? ln ? x0 ? 1? ? 4 有唯一解。从而曲线 G 关于 M 的关联点有且只有 1 个。 方法二、同法一,得

1 2 4 ,即 ln ? x0 ? 1? ? ln ? x0 ? 1? ? ? 0。 2 1 ? x0 1 ? x0 4 构造函数 ? ? x ? ? ln x ? ,则 ? ? x ? 在 ? 0, ??? 上单调递增,且 ? ?1? ? ?4 , ? ? 4? ? ln 4 ?1 ? 0 , x 于是由 ? ?1?? ? 4? ? 0 及单调性可知 ? ? x ? 有唯一零点。
从而方程 ln ? x0 ? 1? ?

4 ? 0 有唯一解,故曲线 G 关于 M 的关联点有且只有 1 个。 1 ? x0

请将各小题唯一正确答案的代号填入下表的相应位置: 题 号 答 案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。 ) 4 ?? ? 11、已知角 ? 的终边经过点 ? ?4,3 ? ,则 sin ? ? ? ? = ;? 5 ?2 ?
12、已知 4 ?
a

1 , lg x ? a ,则 x ? 2
2 3 1 2



10 10

13、若 f ? x ? = x ? x ,则满足 f ? x ? ? 0 的 x 取值范围为

14、已知 a, b, c 均为单位向量,且满足 a ? b ? 0 ,则 a ? b ? c ? a ? c 的最大值是

?

??

?

; ? 0,1? ;2? 5

15、意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样一组数:1,1,2,3,5,8,13,??其中从第三 个数起,每一个数都等于它前面两个数的和。该数列是一个非常美丽、和谐的数列,有很多奇妙的属性。 比如:随着数列项数的增加,前一项与后一项之比越接近黄金分割比 0.6180339887?,人们称该数列 ?an ? 为“斐波那契数列” 。

-2-

若把该数列 ?an ? 每一项除以 4 所得的余数按相对应的顺序组成新数列 ?bn ? ,则: (1)在数列 ?bn ? 中,第 2014 项的值是 (2)数列 ?bn ? 中,第 2014 个值为 1 的项的序号是 ;3 。4027

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
16、 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? =2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x ? a , a ? R 。 (Ⅰ)求函数 f ? x ? 的最小正周期及单调递增区间; (Ⅱ)若函数 f ? x ? 有零点,求实数 a 的取值范围。 【解析】 (Ⅰ ) f ? x ? =2 3 sin x cos x ? 2sin 2 x ? a ? 2 ?

? 3 ? 1 sin 2 x ? cos 2 x ? ? 2 ? ? a ?1 2 ? ?

?? ? …………………4 分 ?2 si? n x2? ? ? a ? 。 1 6? ? 2? ?? ; 所以函数 f ? x ? 的最小正周期为 T ? …………………5 分 2 ? ? ? ? 又由 2k? ? ? 2 x ? 2k? ? ( k ? Z )解得 k? ? ? x ? k? ? ( k ? Z ) , 2 2 3 6 ? ?? ? 所以函数 f ? x ? 的单调递增区间为 ? k? ? , k? ? ? ( k ? Z ) 。 …………………7 分 3 6? ? ?? ?? ? ? (Ⅱ )令 f ? x ? ? 0 得 2sin ? 2 x ? ? ? a ? 1 ? 0 ,即 a ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? , 6? 6? ? ? ?? ?? ? ? 因为 x ? R ,所以 ?2 ? 2sin ? 2 x ? ? ? 2 ,从而 a ? 1 ? 2sin ? 2 x ? ? ?? ?1,3? 。 6? 6? ? ? 由于函数 f ? x ? 有零点,故实数 a 的取值范围为 ? ?1,3? 。 …………………12 分
17、 (本小题满分 12 分)已知圆内接四边形 ABCD 的边 AB=1,BC=3,CD=DA=2。 (Ⅰ)求角 C 的大小和 BD 的长; (Ⅱ)求四边形 ABCD 的面积及外接圆半径。 【解析】 (Ⅰ )连结 BD,由题设及余弦定理得

B A

BD2 ? BC 2 ? CD2 ? 2BC ? CD cos C ? 13 ? 12cos C ,………?① BD2 ? AB2 ? DA2 ? 2 AB ? DA cos A ? 5 ? 4cos C ,…………?② 1 由①②得 cos C ? ,故 C ? 60 ,相应的 BD ? 7 。…………………7 分 2
(Ⅱ)由(Ⅰ)的结果及题设,可知四边形 ABCD 的面积

D C

1 1 S ? S ABD ? S BCD ? AB ? DA sin A ? BC ? CD sin C 2 2 1 3 …………………10 分 ? ?1? 2 ? 2 ? 3? ? ?2 3。 2 2 BD 21 ? 由正弦定理,可得四边形 ABCD 的外接圆的半径 R ? 。 …………………12 分 2sin 60 3
18、 (本小题满分 12 分)某工厂的统计资料显示,产品次品率 p 与日产量 n(千件) ( n ? N? ,且 1 ? n ? 98 ) 的关系表如下: n p 1 2 3 4 ? ? 98 1

2 99

1 49

2 97
-3-

1 48

又知每生产 1 千件正品盈利 a 千元,每生产 1 千件次品损失 a 千元。 (Ⅰ )将该厂日盈利额 T(千元)表示为日产量 n(千件)的函数关系式; (Ⅱ )为了获得最大盈利,该厂的日产量应定为多少千件?

2 ( n ? N? ,且 1 ? n ? 98 ) , 100 ? n 所以,在日产量 n 千件中,次品有 pn 千件,正品有( n ? pn )千件,
【解析】 (Ⅰ )由题意得 p ? 于是日盈利额 T ? n ? ? a ? n ? pn ? ? apn ? a ? n ? (Ⅱ )由(Ⅰ ) ,

T ? n? 4n 400 ? ? , ? n? ? 104 ? ??100 ? n ? ? a 100 ? n 100 ? n ? ? ?

? ?

4n ? (千元) 。 …………6 分 ? ( n ? N? , 1 ? n ? 98 ) 100 ? n ?

400 400 ? 2 ?100 ? n ? ? ? 40 , 100 ? n 100 ? n T ? n? 400 ? ? 所以 ? 104 ? ??100 ? n ? ? ? 104 ? 40 ? 64 ,即 T ? n? ? 64a 。 a 100 ? n ? ? ? 400 (其中等号当且仅当 100 ? n ? ,即 n ? 80 时成立。 ) 100 ? n 故当 n ? 80 ,即该厂的日产量定为 80 千件时,获得的盈利最大。
注意到 ?100 ? n ? ? 19、 (本小题满分 13 分)数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , a2 ? 2 , an ? 2 ? ?1 ? cos (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ )设 bn ?

……………………12 分

? ?

2

n? 2

? 2 n? , n ? N? 。 ? an ? sin 2 ?

a2 n?1 , Sn ? b1 ? b2 ? a2 n

。 ? bn ,证明: Sn ? 2 ( n ? N? )

【解析】 (Ⅰ )∵a1 ? 1 , a2 ? 2 ,∴ 由题设递推关系式,有 a3 ? ?1 ? cos

a4 ? ?1 ? cos 2 ? ? a1 ? sin 2 ? ? 2a2 ? 4 。
一般地,当 n ? 2k ? 1 ( k ? N? )时, a2 k ?1 ? ?1 ? cos 2

? ?

2

??

2 ? a1 ? 1 ? 2 , ? a1 ? sin 2? 2

?

? ?

? 2k ? 1? ? ? a
2 ? ?

2 k ?1

? sin 2

? 2k ? 1? ?
2

? a2 k ?1 ? 1,

即 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 1 。所以数列 ?a2k ?1? 是首项为 1 公差为 1 的等差数列,因此 a2 k ?1 ? k 。 ……………3 分 当 n ? 2k ( k ? N? )时, a2 k ? 2 ? ?1 ? cos

2k? ? 2 2k? a ? sin ? 2a2 k , 2 k 2 ? 2 ? 所以数列 ?a2 k ? 是首项为 2 公比为 2 的等比数列,因此 a2k ? 2k 。 ? ?
2

………………5 分

? n ?1 , ? n ? 2k ? 1, k ? N ? ? ? 故数列 ?an ? 的通项公式为 an ? ? 2 。 ………………………7 分 n ? 2 ? 2 , ? n ? 2k , k ? N ? ? a n (Ⅱ )由(Ⅰ )知 bn ? 2 n ?1 ? n , a2 n 2 1 2 3 n 于是 S n ? ? 2 ? 3 ? ? n , ……………………① 2 2 2 2 1 1 2 3 n ?1 n 从而 S n ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ? n ?1 , ……………………② 2 2 2 2 2 2 n 1? ?1? ? 1 ? ? ? ? ? 2? 1 1 1 1 1 n ? ?2? ? ? ? n ? 1? n ? 2 。 ①―②得 Sn ? ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 ? 1 2 2 2 2 2 2 2n ?1 2n ?1 1? 2
-4-

所以 S n ? 2 ?

n?2 。故有 Sn ? 2 。 2n

……………………13 分

x2 y 2 ? ? 1 ( a ? b ? 0 )与一等轴双曲线相交,M 是其中一个交点,并 a 2 b2 且双曲线的顶点是该椭圆的焦点 F1 , F2 ,双曲线的焦点是椭圆的左、右顶点,△ MF1F2 的周长为 4 2 ? 1 。
20、 (本小题满分 13 分)如图,椭圆

?

?

设 P 为该双曲线上异于顶点的任意一点,直线 PF1 , PF2 的斜率分别为 k1 , k2 ,且直线 PF1 和 PF2 与椭圆的交点 分别为 A、B 和 C、D。 (Ⅰ )求椭圆和双曲线的标准方程; (Ⅱ ) (ⅰ)证明: k1k2 ? 1 ; (ⅱ)是否存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立?若存在,求 ? 的值;若不存在,请说 明理由。 【解析】 (Ⅰ )由题意知,双曲线的离心率为 2 ,
y P A M C O F2

c 2 ,即 a ? 2c 。 ? a 2 又 2a ? 2c ? 4 2 ? 1 ,所以可得 a ? 2 2 , c ? 2 。
椭圆离心率为

?

?

x2 y 2 ? ? 1; 所以 b ? a ? c ? 4 ,于是椭圆方程为 8 4 所以椭圆焦点坐标为 ? ?2,0 ? ,因为双曲线为等轴双曲线,
2 2 2

B

F1

x

D
2

x y ? ?1。 ……………………4 分 4 4 2 y0 y0 y0 y0 y0 (Ⅱ ) (ⅰ )设点 P ? x0 , y0 ? ,则 k1 ? , k2 ? ,则 k1k2 ? ; ? ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ? 2 x0 ?4
且顶点是该椭圆的焦点,故所求双曲线的标准方程为
2 2 x0 y0 2 2 ? ? 1 ,即有 x0 而由点 P 在双曲线上,可知 ; ? 4 ? y0 4 4 y2 从而 2 0 ? 1 ,故 k1k2 ? 1 。 x0 ? 4

2

……………………8 分

(ⅱ )假设存在常数 ? ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立。

1 ? x ? 2? ; k 2 2 2 2 把直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 2? 代入椭圆方程,整理得 ?1 ? 2k ? x ? 8k x ? 8 ? k ? 1? ? 0 ;
则由(ⅰ )知 k1k2 ? 1 ,所以可设直线 AB 的方程为 y ? k ? x ? 2? ,直线 CD 的方程为 y ?

8 ? k 2 ? 1? 8k 2 若设 A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? ,则有 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? ; 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2 4 2 ?1 ? k 2 ? 2 2 ? ? 因此 AB ? ?1 ? k ? ? x1 ? x2 ? ? 4 x1 x2 = ; ? ? 1 ? 2k 2
同理可得 CD ?

4 2 ? k 2 ? 1? 2 ? k2



因此由 AB ? CD ? ? AB ? CD 知 ? ? 所以存在常数 ? ?

1 ? 2k 2 2 ? k2 3 ? 3k 2 3 2 1 1 ? ? ? ? ? 。 2 2 2 8 AB CD 4 2 ?1 ? k ? 4 2 ? k ? 1? 4 2 ? k ? 1?
……………………13 分

3 2 ,使得 AB ? CD ? ? AB ? CD 恒成立。 8

21、 (本小题满分 13 分)已知 x ? a 、 x ? b 是函数 f ? x ? ? ln x ?
-5-

1 2 x ? ? m ? 2 ? x ( m ? R )的两个极值点, 2



b ?4。 a

(Ⅰ )求实数 m 的取值范围;

(Ⅱ)求 f ?b? ? f ? a ? 的最大值;

x2 ? ? m ? 2? x ? 1 1 【解析】 (Ⅰ )函数 f ? x ? 的定义域为 ? 0, ??? , f ' 。 ? x ? ? ? x ? ? m ? 2? ? x x 由题意得: x ? a 、 x ? b 是方程 x2 ? ? m ? 2? x ?1 ? 0 的两个不等正根,且 a ? b ,
2 ? ?? m ? 2 ? ? 4 ? 0 ? m ? 0 且 a ? b ? m ? 2 , ab ? 1 。 ∴? ? ?m ? 2 ? 0

……………………3 分

b ? a ? b? ? t ? 1 ? 2 , 2 2 设 t ? ,则 t ? 4 , ? m ? 2 ? ? ? a ? b ? ? a ab t 1 25 1 易知函数 g ? t ? ? t ? ? 2 在 ?1, ?? ? 上单调递增,所以 g ? t ? ? g ? 4 ? ? ,所以 m ? 。 t 4 2 ?1 ? 故实数 m 的取值范围是 ? , ?? ? 。 ………………………………………6 分 ?2 ? b 1 2 2 (Ⅱ )∵ f ? b ? ? f ? a ? ? ln ? ? b ? a ? ? ? m ? 2 ?? b ? a ? , a 2 b ?1 1 ? 1? ? 1 所以 f ? b ? ? f ? a ? ? ln ? ? ? b 2 ? a 2 ? ? ? a ? b ?? b ? a ? ? ? = ln t ? ? t ? ? 。 a ?2 2? t ? ? ab
2

1 ? 1? ? t ? 1? ? 0 , 1 1 1? 构造函数 h ? t ? ? ln t ? ? t ? ? (其中 t ? 4 ) ,则 h' 1? 2 ? ? ? ?t ? ? ? ? ? 2? t ? t 2? t ? 2t 2 15 所以函数 h ? t ? 在 ?4, ??? 上单调递减,于是有 h ? t ? ? h ? 4 ? ? ln 4 ? 。 8 15 故 f ?b? ? f ? a ? 的最大值为 ln 4 ? 。 ………………………………………13 分 8
2

-6-


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