1.5函数y=Asin(wx+q)的图像


新课程人教A版必修④

1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象

物体做简谐运动时,位移s和时间t的关系为s=Asin(?t+?).

问题 对于函数y=Asin(?x+?)中的常数A,?,?在实际
问题中有什么样的意义?(其中A ﹥0, ? ﹥0 )

y ? A sin(?x ? ? ), x ?[0,??)
A T=
2?

振幅—物体振动时离开平衡位置的最大距离;

?

周期—物体往复振动一次所需的时间;

1 f= T

频率—单位时间内往复振动的次数;

?x+?

相位

?

初相——x=0时的相位

口答 指出下列函数的振幅,周期,频率和初相:
(1) y=2 sin(2 x- 3 )
2? (2) y=sin(2 x+ )+1 3

?

一、探索 ? 对

y ? sin( x ? ? ), x ? R

的图象的影响

引例1.作出函数y=sin(x- )、y=sin(x+ )的图象, 并观察它们与函数y=sinx的图像的关系. 11? 4? 7? ? 5? x 6 3 3 3 6
x?

? 3

? 4

?

sin(x ?

3 ?
3

0
)

? 2

?

3? 2

2?

0
?
4

1
y

0
y ? sin( x ?

-1
?
3 )

0

1

?

O ?1

?
3

2? ?
?

x

y ? sin(x ? ) 4

?

?
4

1

y

y ? sin( x ?

?
3

)

O
?1

?
3

2? ?
?

x

y ? sin(x ? ) 4

规律1.函数y=sin(x+φ)的图象可以看作是把 y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时)或 向右(当φ<0时)平移|φ|个单位而得到.

二、探索

? (? ? 0)

对 y ? sin(? x ? ? )

的图象的影响

解: x
2x

0
0

? 4 ? 2

? 2

?

3? 4 ? 3? 2? 2

x
1 x 2 1 sin x 2

0 0

? 2? 3? 4?
? 2

?

3? 2? 2

sin2x 0 y 1 o -1
? 4 ? 2

1

0 -1

0

0

1

0 -1

0

3? 4

?

3? 2

x
2?
5? 2

3?

7? 2

4?

y ? sin2x

1 y=sin x 2

1x 引例2.作函数 y ? sin 2 x 及 y ? sin 的图象。 2

y 1 O ?1 ?

1 y=sin 2
2?

x
3? 4? x

y=sin2x

y=sinx

规律2.一般地,函数y=sinωx(ω>0且ω≠1) 的图象,可以看做将函数y=sinx的图象上所 1 有点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) ? 而得到. 动画

三、探索 A( A ? 0) 对 y ? A sin(? x ? ? )

的图象的影响

(1) y=2sinx

解:

x

0

? 2

?

3? 2? 2

1 (2) y= sinx 2
y 2 1
1

sinx 0 2sinx 0
1 sin x 0 2
3? 2 ? 2

1 2
1 2

0 -1 0 -2 0 ?
1 2

0 0 0
y=2sinx

?2 ?

??

o1 -1 2 -2

2

x
2?
1 y= sinx 2

?

1 引例3.作出函数 y ? 2sin x和 y ? sin x的图 2 象,并观察它们与函数y=sinx的图像的关系.

y 2 1 O

y=2sinx y=sinx
2? ?

y= ?1
?2

1 sinx 2

x

规律3. 一般地,函数y=Asinx(A>0且A≠1)的 图象,可以看做将函数y=sinx的图象上所 有点的纵坐标变为原来的A倍(横坐标不 变)而得到. 动画

四、作

y ? A sin(? x ? ? ) 的图象

引例4 作函数 y ? sin(2 x ? ) 的图象。 3 11? 2? 7? ? 5? x 12 3 6 6 12
2x ?

?

?

sin(2 x ? ) 3 y 1
O
?1

3 ?

0
0

? 2
1

?
0

3? 2
-1
y ? sin(2 x ? ) 3

2?
0

?

?

? 2
6

? x

y=sin2x

y 1 O ?1

?

? 2
6

? x

y=sin2x

y ? sin(2 x ? ) 3

?

规律4.一般地,函数y=sin(ωx+φ)(ω>0, φ≠0)的图象,可以看做将函数y=sinωx的 图象上所有的点向左(当φ>0时)或向右 ? (当φ<0时)平移 个单位长度而得到.
?

小结:三角函数图象变化过程:

(1)平移变换→周期变换→振幅变换
(2)周期变换→平移变换→振幅变换

下列函数如何得到:

1 ? y ? 2sin( x ? ) y ? sin x 平移变换 3 6
????? ?

y = sinx

? 向右平移 个单位 6 周期变换

? y=sin(x- ) 6

?????? ? 伸长为原来的3倍 振幅变换
?????? ? 伸长为原来的2倍

1 ? y=sin ( x ? ) 3 6

1 ? y=2sin ( x ? ) 3 6

平移变换 ? y = sinx ?? ? ? ? ? y=sin(x+?) 平移 ? 个单位

周期变换 ?? ? ? ? ? ? y=sin(wx+?) ? 1 伸长或缩短 倍 ?

振幅变换 ?? ? ? ??? y = Asin(wx+?) 伸长或缩短 A倍

下列函数如何得到:

y ? sin x

1 ? y ? 2sin( x ? ) 3 6 周期变换
1 y=sin x 3

y = sinx
平移变换 ????? ?

?????? ? 伸长为原来的3倍

? 向右平移 个单位 2 振幅变换

1 ? 1 ? y=sin [ ( x ? )] ? sin( x ? ) 3 2 3 6 1 ? y=2sin ( x ? ) 3 6

?????? ? 伸长为原来的2倍

周期变换 ? y = sinx ?? ? ? ? ? ? y =sinwx 1 伸长或缩短 倍 ? 平移变换 ?? ? ? ? ? y=sinw(x+?)=sin(wx+w?) ? 平移 ? 个单位

振幅变换 ?? ? ? ??? y = Asin(wx+w?) 伸长或缩短 A倍
一般公式:将平移变换单位改为: w 即可。
?

运用

例1. (1)

1 为了得到y=sin 2

x的图象, 只需将

y=sinx的图象上每个点 ( A )

A.横坐标扩大到原来的2倍
B.纵坐标扩大到原来的2倍 C.横坐标缩小到原来的
1 2 1 2



D.纵坐标缩小到原来的



运用

例1 (2)将y=f(x)的图象上所有点向左移个单 位得到y=sin(2x+π/3)的图象, 则f(x)=_____. sin2x

(3) 将y = sin2x的图象上所有点
___________________就得到y=cos2x的图象. 向左平移π/4个单位
? ?? ?? ?? ? y ? cos 2 x ? sin ? ? 2 x ? ? sin ?? ? ? ? 2 x ? ? ?2 ?? ?2 ? ?

?? ?? ? ? ? sin ? 2 x ? ? ? sin 2 ? x ? ? 2? 4? ? ?

练习

1. 将y =2sinx的图象上每个点的纵坐标变为 3sinx 原来的3/2倍, 得到y =__________的图象. 2. 将y =f (x)的图象上每一点的横坐标变为 1 原来的1/3倍, 得到 y ? sin x 的图象, 则f 5 1 sin x (x)=_____________ . 15

练习

3. 将函数y=sinx的图象上各点向右平移π/6 个单位, 再把横坐标变为原来的一半, 然后 把纵坐标变为原来的5倍, 最后把整个图象 向下平移4个单位, 则所得图象的解析式为 ?? ? y ? 5sin ? 2 x ? ? __________________. ? 4 6? ?

练习

4. 最大值为1/2, 周期为
1 ?x ?? y ? sin ? ? ? 2 ?3 6? ?x ?? y ? 2sin ? ? ? ?2 6? 1 ?? ? y ? sin ? 3x ? ? 2 ? 6?

函数表达式可能是 ( C )

2 ? 3

, 初相是π/6的

A. B.
C. D.

1 ?? ? y ? sin ? 2 x ? ? 2 ? 6?

练习

5. 把函数y=sin(2x-π/4)的图象向左平移 π/8, 所得图象对应的函数是 ( ) A A.奇函数 B.偶函数 C.既是奇函数又是偶函数 D.非奇非偶函数 6.函数y=Asin(ωx+φ) (A>0 , ω>0)的值域为 [-2 , 2] , 周期为
2 2 ,则A=____,ω=___ .3 ? 3

练习

7. 要得到函数y=sinx的图象, 需把函数
y=1/2sinx的图象上所有点的_____坐标变为 纵

原来的____倍, ____坐标不变. 2 横
? ______平移_____个单位长度, 可得到函 右 8

8. 把y=sin(x+π/4)的图象上所有的点向

数y=sin(x+π/8)的图象.

运用

例2.已知函数y=3sin(2x-π/3).
(1)利用“五点法”作出一个周期的图象;

(2)指出函数y=3sin(2x-π/3)的图象可由
y=sinx图象经过怎样变换得到. 解:(1)列表:

x
2x ?
y

?
3

? 6

0
0

5 ? 12 ? 2

2 ? 3

?

11 ? 12 3 ? 2

7 ? 6

2?

1

0

-1

0

描点连线:

(2) 指出函数y=3sin(2x-π/3)的图象可由 y=sinx图象经过怎样变换得到. (2) 法一:作出正弦曲线,并将曲线上每一 点的横坐标变为原来的1/2倍(纵坐标不变), 得到函数y=sin2x的图象; 再将函数y=sin2x的图象向右平移π/6个单位 长度,得到函数y=sin(2x-π/3)的图象; 再将函数y=sin(2x-π/3)的图象上每一点的纵 坐标变为原来的3倍(横坐标不变),即 可得函数y=3sin(2x-π/3)的图象.

(2) 指出函数y=3sin(2x-π/3)的图象可由 y=sinx图象经过怎样变换得到.
(2) 法二:作出正弦曲线,并将其向右平移π/3个 单位长度,得到函数y=sin(x-π/3)的图象; 再将函数y=sin(x-π/3)的图象上的每一点的横坐 标变为原来的1/2倍(纵坐标不变),得到函数 y=sin(2x-π/3)的图象; 再将函数y=sin(2x-π/3)的图象上的每一个点的 纵坐标变为原来的3倍(横坐标不变),即可 得到函数y=3sin(2x-π/3)的图象.

小结1:五点法作图的关键是令 ωx+?=0,π/2,π,3π/2,2π.

小结2.函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图 象可以看作是用下面的方法得到的:
1. 先把y=sinx的图象上所有的点向左(φ>0) 或右(φ<0)平行移动| φ|个单位; 2. 再把所得图象上各点的横坐标变为原来 的1/ ω倍(纵坐标不变); 3. 再把所得图象上各点的纵坐标变为原来 的A倍(横坐标不变).

怎样用变换法得到函数y=Asin(ωx+φ)的图像?
画出y ? sin x在 ?0,? ? 上的简图 ? 2 ?
沿x轴平行移动 得到y ? sin( x ? ? )在某周期内的简图
横坐标伸长或缩短

得到y ? sin(? x ? ? )在某周期内的简图
纵坐标伸长或缩短

得到y ? A sin(? x ? ? )在某周期内的简图
沿x轴扩展

得到y ? A sin(? x ? ? )在R上的图象

运用

例3.函数f(x)的图像上各点的横坐标伸长到 原来的两倍, 再向左平移π/2个单位, 所得到 的曲线是y=1/2sinx的图象, 试求函数y=f(x) 的解析式.
解:函数y=1/2sinx的图象向右平移π/2个单位得到
1 ?? ? 函数 y ? 2 sin ? x ? 2 ? 的图像; ? ? 1 ?? ? 将函数 y ? sin ? x ? ? 的图像上各点的横坐标变为到 2 2? ? 1 ?? ? 原来的1/2倍得到函数 y ? sin ? 2 x ? ? 的图像. 2 ? 2? 1 ?? ? 1

故 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ,即 f ? x ? ? ? 2 ? 2?

2

cos 2 x .

小结

1. 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与正弦曲 线的关系

2.了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义; 3.掌握几种常见的图像变换规律.


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