重庆南开中学2015届高三9月月考数学(理)试题含解析


重庆南开中学高 2015 级高三 9 月月考 数学试题(理科)
【试卷综析】注重基础知识,基本技能的考查,符合新课程标准和命题的意图及宗旨。解答 题中,梯度明显,考查的都是集合与函数中的基本概念和基本方法,在关注学生基本能力的 考查的同时,仍然紧扣双基。总体感觉试题对学生双基的考查既全面又突出重点,对教师的 教和学生的学检测到位,同时对后续的教与学又起到了良好的导向和激励. 第 1 卷(选择题共 50 分) 一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个备选项中,只 有一项是符合题目要求的. 【题文】 1. 已知集合 U ? {1,2,3,4,5,6} , 集合 A={2,3}, 集合 B={3,5}, 则 A ? (CU B ) =( ) A. {2,3,5} B. {1,4,6) c.

?2?

D.{5)

【知识点】交、并、补集的混合运算.A1 【答案解析】C 解析:解:∵集合 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={2,3},集合 B={3,5}, ∴CUB={1,2,4,6},∴A∩(?UB)={2},所以 C 正确. 【思路点拨】集合 U={1,2,3,4,5,6},集合 A={2,3},集合 B={3,5},故 CUB={1,2, 4,6},由此能求出 A∩(?UB) . 【题文】2.在复平面内,复数 Z ?

i (其中 i 是虚数单位)对应的点位于( ) 1? i
D.第四象限

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 【知识点】复数的代数表示法及其几何意义.L4 【答案解析】A 解析:解:∵复数 ∴复数对应的点的坐标是( ∴复数 , ) =

=

=



在复平面内对应的点位于第一象限,

故选 A. 【思路点拨】先进行复数的除法运算,分子和分母同乘以分母的共轭复数,分母变成一个实 数,分子进行复数的乘法运算,整理成复数的标准形式,写出对应点的坐标,看出所在的象 限 【题文】3.函数 f ( x) ? A. (??,?2) ? (1,??)

lg( x 2 ? 1) ? x2 ? x ? 2
B. (-2,1)

的定义域为( ) C. (??,?1) ? (2,??)

D. (1,2)

【知识点】函数的定义域及其求法.B1 【答案解析】D 解析:解:由题意得: 解得:1<x<2, ,

1

故选:D. 【思路点拨】根据导数的性质,二次根式的性质得不等式,解出即可. 【题文】4.函数 f ( x) ? 3 ?
x

1 x ?1

? 6 的零点所在区间是( )
D.(3,4)

A.(O,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

【知识点】函数零点的判定定理 B9 【答案解析】B 解析:解:∵f(0)=1﹣1﹣6<0,f(1)=﹣ <0,f(2)=9﹣6﹣ +1=4

﹣ >0, ∴函数 f(x)的零点在区间(1,2)能, 故选:B. 【思路点拨】分别求出 f(0) ,f(1) ,f(2)的值,得出 f(1)<0,f(2)>0,从而得 出答案 B 【题文】5.若函数 y ? log a x(a ? 0且a ? 1) 的图象如右图所示, 则下列函数图象正确的是( )

【知识点】函数的图象.B1 【答案解析】 B 解析:解:由题意可知图象过(3,1) , 故有 1=loga3,解得 a=3, 选项 A,y=a﹣x=3﹣x=( )x 单调递减,故错误; 选项 B,y=x3,由幂函数的知识可知正确; 选项 C,y=(﹣x)3=﹣x3,其图象应与 B 关于 x 轴对称,故错误; 选项 D,y=loga(﹣x)=log3(﹣x) ,当 x=﹣3 时,y=1, 但图象明显当 x=﹣3 时,y=﹣1,故错误. 故选:B. 【思路点拨】由题意可得 a=3,由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可 【题文】6.下列叙述正确的是( ) A.命题: ?x ? R ,使 x 3 ? sin x ? 2 ? 0 的否定为: ?x ? R ,均有 x 3 ? sin x ? 2 ? 0 . B.命题:若 x 2 ? 1 ,则 x ? 1 或 x ? ?1 的逆否命题为:若 x ? 1 或 x ? ?1 ,则 x 2 ? 0 C.己知 n ? N ,则幂函数 y ? x 3n ?7 为偶函数,且在 x ? (0,??) 上单调递减的充分必要条

2

件为 n = 1 D.函数 y ? log 2

x?m 图像关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为 m = ±1 3? x

【知识点】命题的真假判断与应用. A2 【答案解析】C 解析:解:解:A:命题:?x∈R,使 x3+sinx+2<0 的否定为:?x∈R,均有 x3+sinx+2≥0,故 A 错误; B:命题:若 x2=1,则 x=1 或 x=﹣1 的逆否命题为:若 x≠1 且 x≠﹣1,则 x2≠0,故 B 错误; 3n﹣7 C:因为幂函数 y=x 在 x∈(0,+∞)上单调递减, 所以 3n﹣7<0,解得 n< ,又 n∈N, 所以,n=0,1 或 2;又 y=x3n﹣7 为偶函数, 3n﹣7 所以,n=1,即幂函数 y=x 为偶函数,且在 x∈(0,+∞)上单调递减的充分必要条件为 n=1,C 正确; D:令 y=f(x)=log2 即 log2
2

,由其图象关于点(1,0)中心,得 f(x)+f(2﹣x)=0, =log2 =0, =1,

+log2

整理得:m +2m﹣3=0,解得 m=1 或 m=﹣3, 当 m=﹣3 时, 故 m=1. 所以,函数 y=log2 图象关于点(1,0)中心对称的充分必要条件为 m=1,D 错误; =﹣1<0,y=log2 不存在,故 m=﹣3 舍去,

故选:C. 【思路点拨】A:写出命题:?x∈R,使 x3+sinx+2<0 的否定,判断即可; B:写出命题:若 x2=1,则 x=1 或 x=﹣1 的逆否命题,判断即可; C:依题意,可求得 n=1,从而可判断其正误; D:令 y=f(x)=log2 ,由其图象关于点(1,0)中心,得 f(x)+f(2﹣x)=0,解得

m=1,从而可判断其正误.
x 2 ? ?e ? x , 【题文】7.函数 f ( x) ? ? ? x 2 ? ?e ? x ,

x?0 x?0

,若 f (? a ) ? f (a ) ? 2 f (1) ,则实数 a 取值

范围是(

) B.[-1,0] C.[0,1] D.[-1,1]

A. (??,?1] ? [1,??)

【知识点】分段函数的应用 B1 【答案解析】D 解析:解:函数 f(x)= ,

当 a=0 时,f(﹣a)+f(a)≤2f(1)即为 2f(0)≤2f(1) ,即 1≤e+1 成立; a 当 a>0 时,﹣a<0,f(﹣a)+f(a)≤2f(1)即为 2e +2a≤2(e+1) , x x 令 y=g(x)=2e +x,y′=2ex+1>0,则 y=2e +x 在 R 上递增.

3

由 g(a)≤g(1)可得 a≤1① 当 a<0 时,﹣a>0,f(﹣a)+f(a)≤2f(1)即为 2e﹣a﹣2a≤2(e+1) , x 由 y=g(x)=2e +x 在 R 上递增,又 g(﹣a)≤g(1) ,即有﹣a≤1,即 a≥﹣1② 由①②得实数 a 取值范围是[﹣1,1] 故选 D x 【思路点拨】讨论 a=0,a>0,a<0,化简不等式,构造函数 y=g(x)=2e +x,运用导数判 断单调性,再由单调性解不等式,最后求并集 【 题 文 】 8 . 用 C(A) 表 示 非 空 集 合 A 中 的 元 素 个 数 , 定 义

?C ( A) ? C ( B), C ( A) ? C ( B) | A ? B |? ? . ?C ( B) ? C ( A), C ( A) ? C ( B)
2 若 A ? {1,2} , B ? {x | x ? 2 x ? 3 |? a} ,且|A-B|=1,由 a 的所有可能值构成的集合为 S,

那么 C(S)等于( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【知识点】子集与交集、并集运算的转换 A1 【答案解析】A 解析:解:解:由|x2+2x﹣3|=a 得:x2+2x﹣3±a=0,a≥0; 对于 x2+2x﹣3﹣a=0,△=4+4(3+a)>0,∴方程 x2+2x﹣3±a=0 至少有两个实数根,即集 合 B 至少含 2 个元素; ∵|A﹣B|=1,∴B 含 3 个元素; 2 ∴方程 x +2x﹣3+a=0 有二重根,∴△=4﹣4(﹣3+a)=0,∴a=4; ∴S={4},∴C(S)=1. 故选 A. 2 【思路点拨】先根据已知条件可判断出 B 含 3 个元素,所以方程|x +2x﹣3|=a 有三个实根, 2 进一步判断出方程 x +2x﹣3+a=0 有两个二重根,所以根据△=0 即可求得 a 的值,从而求出 集合 S,这样便可判断出集合 S 所含元素的个数 【 题 文 】 9 . 己 知 定 义 在 实 数 集 R 上 的 函 数 f ( x) 满 足 : ① f (2 ? x) ? f ( x) ; ②

f ( x ? 2) ? f ( x ? 2) ;
③当 x1, x 2 ? [1,3] 时,

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ,则 f(2014)、f(2015)、 f(2016)满足( ) x1 ? x 2
B. f(2016)> f(2015)> f(2014) D. f(2016)= f(2014)< f(2015)

A. f(2014)> f(2015)> f(2016) C. f(2016)= f(2014)> f(2015) 【知识点】抽象函数及其应用 B1

【答案解析】 C 解析: 解: 解: 因为 f (2﹣x) =f (x) , 所以该函数的对称轴为 x= 由 f(x+2)=f(x﹣2) ,令 t=x﹣2,代入原式得 f(t+4)=f(t) ,所以该函数周期为 4, 因为当 x1,x2∈[1,3]时,



>0,所以该函数在[1,3]上是减函数.

则 f(2014)=f(4×503+2)=f(2) ,f(2015)=f(4×503+3)=f(3) ,f(2016)=f(4×504) =f(0)=f(2﹣0)=f(2) . 所以 f(2014)=f(2016)=f(2)>f(3)=f(2015) ,

4

故选:C. 【思路点拨】①给出了函数的对称轴;②给出了周期;③确定了单调性,据此可以将给的函 数值进行转化,最终变成[1,3]内的函数值再进行比较 【 题 文 】 10 . 设 函 数 f(x) 对 于 所 有 的 正 实 数 x 均 有 f(3x)=3f(x) , 且

f ( x) ? 1? | x ? 2 | (1 ? x ? 3) ,
则使得 f(x)= f(2014)的最小的正实数 x 的值为( ) A. 173 B.416 C.556 D. 589 【知识点】抽象函数及其应用 B1 【答案解析】B 解析:解:解:因为 f(x)对于所有的正实数 x 均有 f(3x)=3f(x) , 所以 f(x)=3f( ) , 所以 f(2014)=3f( 当 n=6 时, 所以 f(2014)= )=32f( , =3 ﹣2014=173,
7

)=?=



同理 f(x)=3 f(

n

)=

=



(n∈N )

*



时,x=3 ﹣173,n=6 时,找的第一个符合前面条件的 x=556;当

n+1

时,x=3n+173,当 n=5 时找到最小的 x=416 符合前面条件.

综上,当 x=416 时满足题意. 故选 B 【思路点拨】 实际上, 此题类似于“周期函数”, 只是这个“周期”是每次三倍增大变化的, 要求其解析式,只需将 x 化归到[1,3]上即可.而与 f(2014)相等的也不止一个,为此我 们只需找到相应的那个区间即可求出来

第 II 卷(非选择题,共 100 分)
二. 填空题:本大题共 6 小题,考生作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答 题 卡相应位置上.

1? 【题文】11. log 6 ? log 9 ? 27 ? ? ? ? 2 4 ?4?

2 3

?

1 2

=



5

【知识点】对数的运算性质 B7 【答案解析】-6 解析:解: =(log26﹣log23)﹣9+2 =1﹣9+2 =﹣6. 故答案为:﹣6. 【思路点拨】利用对数和指数的性质和运算法则求解 【 题 文 】 12 . 定 义 在 R 上 的 函 数

f ( x)





f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) ? 2 xy ( x, y ? R), f (1) ? 2, ,
则 f (?3) =__ __.

【知识点】抽象函数及其应用 B1 【答案解析】 6 解析:解:由题意可知: f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2×0×1=f(0)+f(1) ,∴f(0)=0. f(0)=f(﹣1+1)=f(﹣1)+f(1)+2×(﹣1)×1=f(﹣1)+f(1)﹣2,∴f(﹣1)=0. f(﹣1)=f(﹣2+1)=f(﹣2)+f(1)+2×(﹣2)×1=f(﹣2)+f(1)﹣4,∴f(﹣2) =2.f(﹣2)=f(﹣3+1)=f(﹣3)+f(1)+2×(﹣3)×1=f(﹣3)+f(1)﹣6, f(﹣3)=6.故答案为:6. ∴ 【思路点拨】本题是抽象函数及其应用类问题.在解答时,首先要分析条件当中的特殊函数 值, 然后结合条件所给的抽象表达式充分利用特值得思想进行分析转化, 例如结合表达式的 特点 1=0+1 等,进而问题即可获得解答.

? (0 ? x ? 2) ? 1 ? (1 ? x) 2 【 题 文 】 13 . 已 知 函 数 f ( x) ? ? ,若关于 x 的方程 ? ( x ? 2) ? f ( x ? 2)
f ( x) ? kx(k ? 0) 有且只有
四个不相等的实数根,则实数 k 的取值范围是__ 【知识点】函数的零点与方程根的关系 B9 【答案解析】 ( , ) 解析:解:令 g(x)=kx(k>0) , __.

则方程 f(x)=kx(k>0)有且只有四个不相等的实数根可转化为 函数 f(x)与 g(x)有且只有四个交点; 作出函数 f(x)= 的图象如下图,

6

当与第二半圆相切时,有 3 个交点,此时,k=

=



当与第三半圆相切时,有 5 个交点,此时,k=

=



则实数 k 的取值范围为( 故答案为: ( , ) .



) .

【思路点拨】令 g(x)=kx(k>0) ,将方程的解的个数化为函数交点的个数,作出函数 f (x)= 的图象,从图象中得到实数 k 的取值范围

考生注意:14、15、1.6 为选做题,请从中任选两题作答,若三题全做,则按前两题给分. 【题文】14.如图,AB 是半圆 O 的直径,∠BAC =30°,BC 为半圆的切线,

且 BC= 4 3 ,则点 O 到 AC 的距离 OD=

__.

【知识点】相似三角形的性质;相似三角形的判定 N1 【答案解析】3 解析:解:过 O 做 AC 的垂线,垂足是 D, ∵BC 是⊙O 的切线,∴∠ABC=90°,∵OD⊥AC, 在△ABC 与△ADO 中,∴∠ADO=90°,∠A=∠A,∴△ABC∽△ADO,∴ 在△ABC 中,∠BAC=30°,∴AC=2BC=8 ,AB= ;

=12,∴OA=6=BO,

7

∴OD=



故答案为:3 【思路点拨】首先过 O 作 AC 的垂线段 OD,再利用两个角对应相等得到三角形相似,利用三 角形相似的性质得到比例式,根据直角三角形中特殊角的三角函数,求出 O 到 AC 的距离 【题文】15.已知直线 l 的参数方程是 ?

?x ? 1 ? t ? y ? 1 ? 2t

(t为参数) ,曲线 C 的极坐标方程是

? =2,若直线 l
与曲线 C 相交于 A,B 两点,则|AB|= 【知识点】参数方程化成普通方程 N3 【答案解析】 解析:解:由直线的参数方程得 __.

2x+y﹣3=0. 由曲线 C 的极坐标方程是 ρ =2, 得 x2+y2=4,半径 r=2, ∴圆心(0,0)到直线的距离 d= ,

∴|AB|= 故答案为: 【思路点拨】 首先, 将直线的参数方程化为普通方程, 曲线的极坐标方程化为直角坐标方程, 然后,根据圆中的弦长公式进行求解









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A ? {x ? R | x ? 3 | ? | x ? 4 | ? 9}



1 B ? {x ? R x ? 4t ? ? 6, t ? (0,??)} ,则集合 t = __. A? B
【知识点】交集及其运算 A1 【答案解析】{x|﹣2≤x≤5} 解析:解:解:集合 A={x∈R||x+3|+|x﹣4|≤9},所以 A={x| ﹣4≤x≤5}; 集合 ,

当且仅当 t= 时取等号,所以 B={x|x≥﹣2} 所以 A∩B={x|﹣4≤x≤5}∩{x|x≥﹣2}={x|﹣2≤x≤5} 故答案为:{x|﹣2≤x≤5} 【思路点拨】求出集合 A,求出集合 B,然后利用集合的运算法则求出 A∩B 三.解答题:本大题 6 个小题,共 75 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

8

【题文】17.(本题满分 13 分)

log 1 ( x ? x ? 2) ? log 1 2( x ? 1) 已知集合 U ? R ,集合 A ? {x | x ? a | ? 2} ,不等式
2 2 2

的解 集为 B,若 A ? C u B ,求实数 a 的取值范围. 【知识点】集合的包含关系判断及应用;补集及其运算 A1 【答案解析】 a ? 1 解析:解:解:由|x﹣a|<2 可得,a﹣2<x<a+2,即 A={x|a﹣2<x <a+2}, 由 (x2﹣x﹣2)< 2(x﹣1)可得 0<2x﹣2<x2﹣x﹣2 解不等式可得,x>3,

即 B={x|x>3}∴CuB={x|x≤3}∵A?CuB∴a+2≤3∴a≤1. 【思路点拨】由已知可得,A={x|a﹣2<x<a+2},B={x|x>3},进而可求得,CuB={x|x≤3}, 由 A?CuB 可得 a+2≤3,可求实数 a 的取值范围 【题文】18.(本题满分 13 分,(1)小问 4 分,(2)小问 9 分) 已知集合 A ? {x x ? 5 x ? 4 ? 0} ,集合 B ? {x 2 x ? 9 x ? k ? 0} .
2 2

(1)求集合 A (2)若 B ? A ,求实数 k 的取值范围. 【知识点】集合的包含关系判断及应用 A1 2 【答案解析】 [7,+∞)解析:解:解: (1)∵x ﹣5x+4≤0,∴1≤x≤4,∴A=[1,4]; (2)当 B=?时,△=81﹣8k<0,求得 k>
2



∴当 B≠?时,有 2x ﹣9x+k=0 的两根均在[1,4]内,

设 f(x)=2x ﹣9x+k,则

2

解得 7≤k≤



综上,k 的范围为[7,+∞) . 【思路点拨】(1)解不等式,可得集合 A; (2)若 B?A,分类讨论,求实数 k 的取值范围. 【题文】19.(本题满分 13 分) 已知命题 p:关于 x 的方程 x 2 ? mx ? 2 ? 0 在 x ? [0,1] 有解; 命题 q : f ( x) ? log 2 ( x ? 2mx ?
2

若 ?p 为真命题, p ? q 是真命题,求实数 m 的取值范围. 【知识点】复合命题的真假 A2

1 )在x ? [1,??) 单调递增; 2

【答案解析】m∈(﹣1, ) 解析:解:解:由命题 p:关于 x 的方程 x2﹣mx﹣2=0 在 x∈[0, 1]有解; 可设函数 f(x)=x2﹣mx﹣2,∴f(1)≥0,解得 m≤﹣1,

9

由命题 q 得 x ﹣2mx+ >0,在区间[1,+∞)上恒成立,且函数 y=x ﹣2mx+ >0,在区间[1, +∞)上单调递增,根据 x2﹣2mx+ >0,在区间[1,+∞)上恒成立,得 m< , 由函数 y=x2﹣2mx+ >0,在区间[1,+∞)上单调递增,得 m≤1,∴由命题 q 得:m< , ∵?p 为真命题,p∨q 是真命题,得到 p 假 q 真,∴m∈(﹣1, ) . ∴实数 m 的取值范围(﹣1, ) 【思路点拨】首先,判断命题 p 为真命题时,实数 m 的取值范围,然后,再判断命题 q 为真 命题时,实数 m 的取值范围.最后,结合条件:?p 为真命题,p∨q 是真命题,得到 p 假 q 真,最后,得到实数 m 的取值范围. 【题文】20.(本题满分 12 分, (1)小问 4 分,(2)小问 8 分) 已知定义 x ? [?1,1] 在偶函数 f ( x) 满足:当 x ? [0,1] 时, f ( x) ? x ? 2 2 ? x , 函数 g ( x) ? ax ? 5 ? 2a (a ? 0) , (1)求函数 f ( x)在x ? [?1,1] 上的解析式: (2)若对于任意 x1 , x 2 ? [?1,1] ,都有 g ( x 2 ) ? f ( x1 ) 成立,求实数 a 的取值范围. 【知识点】函数恒成立问题;函数解析式的求解及常用方法 B1 【答案解析】(1) (2) 0 ? a ?

2

2

2 解析:解: (1) 3

设 x∈[﹣1,0],则﹣x∈[0,1],结合函数 f(x)是[﹣1,1]上的偶函数, 所以 f(x)=f(﹣x)=﹣x+ ,所以 .

(2)因为对任意的 x1,x2∈[﹣1,1],都有 g(x2)>f(x1)成立,则只需 g(x)min≥f(x) max, 又因为 y=f(x) ,x∈[﹣1,1]是偶函数,所以 f(x)的值域就是 f(x)在[0,1]值域. 而当 x∈[0,1]时,f(x)=x+2
2 2

,令 t=

, ],显然 t=1 时 f(x)max=3, ,

原函数化为 y=﹣t +2t+2=﹣(t﹣1) +3,t∈[1, 又因为 g(x)min=﹣3a+5,则由题意得

解得 0

即为所求.

【思路点拨】1)可设 x∈[﹣1,0],则﹣x∈[0,1],可得到 f(﹣x) ,然后利用奇偶性得 到 f(x) ,再合并成分段函数的形式给出结果; (2)结合图象分析:只需 g(x)min≥f(x)max,然后再分别求出两函数相应的最值即可

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【题文】21.(本题满分 12 分,(1)小问 5 分,(2)小问 7 分) 已 知 关 于 x 的 方 程 x 2 ? 2tx ? 1 ? 0 的 两 不 等 实 根 为 x1 , x 2 ( x1 ? x 2 ) , 函 数

f ( x) ?

x?t 的 x2 ?1

定义域为 [ x1 , x 2 ] . (1)求 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 的值; (2)设 max f ( x) 表示函数 f ( x) 的最大值, min f ( x) 表示函数 f ( x) 的最小值,记函数

g (t ) ? max f ( x) ? min f ( x) ,求函数 h(t ) ? g (log 2 t ) ? g (log1 2)在t ? (1,2] 的值域.
【知识点】导数在最大值、最小值问题中的应用;函数的定义域及其求法;函数的值域;函 数的最值及其几何意义.B1,B3 【答案解析】(1) ? ﹣1,x1+x2=2t, 则 f(x1)f(x2)= = .

1 (2) h(t)的值域为[2,+∞) 解析:解: (1)由韦达定理得:x1x2= 4

(2)

,由于 x1,x2 为方程 x ﹣2tx﹣1=0 的两实根,

2

故当 x∈[x1,x2]时,x2﹣2tx﹣1≤0 恒成立,得 f′(x)≥0 在[x1,x2]上恒成立, 所以 f(x)在[x1,x2]上递增,所以由题意知 g(t)=f(x2)﹣f(x1)= ,

结合(1) ,将 1=﹣x1x2,t=

代入上式化简得 g(t)=

=



在h (t) 中, 令 u=log2t, 则 u∈ (0, 1], 则函数化为 y=

, 化简得



u∈(0,1],根据对勾函数的性质,该函数在(0,1]上递减, 所以函数 h(t)的值域为[2,+∞) . 【思路点拨】1)结合韦达定理得到两根之和、两根之积,然后整体代入 f(x1)f(x2)即 可; (2)先将 t 看成参数,求出 f(x)的最值(用 t 表示) ,以此得到 g(t)=maxf(x)﹣minf (x) ,再利用换元法研究将函数 h(t)进行转化,研究转化后的函数的单调性求其值域. 【题文】22.(本题满分 12 分,(1)小问 5 介,(2)小问 7 分) 己知集合 A={l,2,3,?,2n}, (n ? N *) ,对于 A 的一个子集 S,若存在不大于 n 的正整 数 m,使得对于 S 中的任意一对元素 s1 , s 2 ,都有 | s1 ? s 2 |? m ,则称 S 具有性质 P。
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(1)当 n=10 时,试判断集合 B ? {x ? A | x ? 9} 和 C ? {x ? A | x ? 3k ? 1, k ? N *} 是否一 定具有性质 P ?并说明理由。 (2)当 n=2014 时 ①若集合 S 具有性质 P,那么集合 T ? {4029 ? x | x ? S } 是否一定具有性质 P ?说明理由, ②若集合 S 具有性质 P,求集合 S 中元素个数的最大值. 【知识点】子集与交集、并集运算的转换;元素与集合关系的判断.A1 【答案解析】 (1)略(2)2685 解析: 解: (1) 当 n=10 时, A={1, 2, 3, ?, 19, 20}, B={x∈A|x >9}={10,11,12,?,19,20}; ∵对于任意不大于 10 的正整数 m,都可以找到集合 B 中两个元素 b1=10,b2=10+m,使得|b1 ﹣b2|=m 成立;∴集合 B 不具有性质 P;集合 C={x∈A|x=3k﹣1,k∈N*}具有性质 P; ∵可取 m=1<10,对于集合 C 中任意一对元 c1 ? 3k1 ?1, c2 ? 3k2 ?1, k1 , k2 ? N ;
*

都有|c1﹣c2|=3|k1﹣k2|≠1;即集合 C 具有性质 P; (2)当 n=2014 时,A={1,2,3,?,4027,4028};①若集合 S 具有性质 P,则集合 T={4029 ﹣x|x∈S}一定具有性质 P:任取 t=4029﹣ x0 ∈T, x0 ∈S;∵S?A,∴ x0 ∈{1,2,3,?, 4028}; ∴1≤4029﹣ x0 ≤4028,即 t∈A,∴T?A;由 S 具有性质 P 知,存在不大于 2014 的正整数 m,使得对于 S 中的任意一对元素 s1,s2,都有|s1﹣s2|≠m;对于上述正整数 m,从集合 T 中任取一对元素 t1=4029﹣x1,t2=4029﹣x2,x1,x2∈S,都有|t1﹣t2|=|x1﹣x2|≠m;∴集合 T 具有性质 P;②设集合 S 有 k 个元素,由①知,若集合 S 具有性质 P,那么集合 T={4029 ﹣x|x∈S}一定具有性质 P; 任给 x∈S, 1≤x≤4028, 则 x 与 4029﹣x 中必有一个不超过 2014; ∴集合 S 与 T 中必有一个集合中至少存在一个元素不超过 2014; 不妨设 S 中有 t(t )个元素 b1,b2,?,bt 不超过 2014;

由集合 S 具有性质 P 知, 存在正整数 m≤2014, 使得 S 中任意两个元素 s1, s2, 都有|s1﹣s2|≠m; ∴一定有 b1+m,b2+m,?,bt+m?S; 又 bt+m≤2014+2014=4028,故 b1+m,b2+m,?,bt+m∈A; 即集合 A 中至少有 t 个元素不在子集 S 中,∴ ,所以 ,解得

k≤2685;当 S={1,2,?,1342,1343,2687,?,4027,4028}时: 取 m=1343,则易知对集合 S 中任意两个元素 y1,y2,都有|y1﹣y2|≠1343;即集合 S 具有性 质 P,而此时集合 S 中有 2685 个元素;∴集合 S 元素个数的最大值是 2685 【思路点拨】 (1)对于任意不大于 10 的正整数 m,都可以找到集合 B 中的两个元素 b1=10, b2=10+m,使|b1﹣b2|=m,这便得出集合 B 不具有性质 P,根据性质 P 的定义可判断集合 C 具 有性质 P; (2)容易判断出集合 T?A,因为 S 具有性质 P,所以存在不大于 2014 的正整数 m,使得 S 中任意一对元素 s1, s2, 都有|s1﹣s2|≠m, 这样便可得到, 对于集合 T 中任意一对元素 t1=4029 ﹣x1,t2=4029﹣x2,使得|t1﹣t2|≠m,所以集合 C 具有性质 P,要求集合 S 元素个数的最大 值,只需把含最多元素的集合 S 找出来即可

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