2012高考数学分类汇编---数列学生用题


2012 年高考题------《数

列》


1. (安徽 4).公比为 2 等比数列 { a n } 的各项都是 正数,且 a 3 a1 1 ? 1 6 ,则 lo g 2 a1 0 ? (
( A) 4 (B) 5 (C ) ? (D ) ?

2 * 2. (安徽 21) (本小题满分 13 分) 数列 { x n } 满足: x1 ? 0, x n ? 1 ? ? x n ? x n ? c ( n ? N )

(I)证明:数列 { x n } 是单调递减数列的充分必要条件是 c ? 0 (II)求 c 的取值范围,使数列 { x n } 是单调递增数列。 3.(北京 8).某棵果树前 n 前的总产量 S 与 n 之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前 m 年的年平均 产量最高。m 值为( )

A.5

B.7

C.9

D.11
1 2

4.(北京 10).已知 { a n } 等差数列 S n 为其前 n 项和。若 a 1 ?

, S 2 ? a 3 ,则 a 2 =_______。

5.(北京 20)(本小题共 13 分)设 A 是由 m ? n 个实数组成的 m 行 n 列的数表,满足:每个数的绝对值 . 不大于 1 , 且所有数的和为零. 记 S ? m , n ? 为所有这样的数表组成的集合. 对于 A ? S ? m , n ? , ri ( A ) 为 A 记 的第 i 行各数之和 1 剟 i (
m ) c j ( A ) 为 A 的第 j 列各数之和 1 剟 j , (

; ?, n ) 记 k ( A ) 为 r1 ( A ) ,r2 ( A ) ,

rm ( A ) , c1 ( A ) , c 2 ( A ) ,?, c n ( A ) 中的最小值.

(1)对如下数表 A ,求 k ( A ) 的值;
1 1

? 0 .8
?1

0 .1

? 0 .3

(2)设数表 A ? S ? 2, 3 ? 形如
1 1

c
?1
k ( A ) 的最大值;



a

b

(3)给定正整数 t ,对于所有的 A ? S ? 2 , 2 t ? 1 ? ,求 k ( A ) 的最大值. 6.福建 2 等差数列 { a n } 中, a 1 ? a 5 ? 10 , a 4 ? 7 ,则数列 { a n } 的公差为( A.1 B.2 C.3 D.4
1



7.福建 14.数列 { a n } 的通项公式 a n ? n cos

n? 2

? 1 ,前 n 项和为 S n ,则 S 2012 ? ___________。

2 8.广东 11. 已知递增的等差数列 { a n } 满足 a 1 ? 1, a 3 ? a 2 ? 4 ,则 a n ? _ _ _ _ _
n ?1 * 9.广东 19.(本小题满分 14 分):设数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ,满足 2 S n ? a n ? 1 ? 2 ? 1( n ? N ) ,且

a 1 , a 2 ? 5 , a 3 成等差数列。

(1)求 a 1 的值; (2)求数列 { a n } 的通项公式。 (3)证明:对一切正整数 n ,有
1 a1 ? 1 a2
f (x)

?? ?

1 an

?

3 2
{ f ( a n )} 仍是等比

10.湖北 7.定义在 ( ? ? , 0 ) ? (0, ? ? ) 上的函数 数列,则称
f (x) ? 2
x

,如果对于任意给定的等比数列 { a n } ,

f (x)

为“保等比数列函数”. 现有定义在 ( ? ? , 0 ) ? (0, ? ? ) 上的如下函数:① ③
f (x) ? |x|

f (x) ? x

2











f ( x ) ? ln | x | .

则其中是“保等比数列函数”的 A.① ② 11.湖北 18. (本小题满分 12 分)

f (x)

的序号为 C.① ③ D.② ④

B.③ ④

已知等差数列 { a n } 前三项的和为 ? 3 ,前三项的积为 8 . (Ⅰ)求等差数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若 a 2 , a 3 , a 1 成等比数列,求数列 { | a n
|}

的前 n 项和.

12 湖南 19. (本小题满分 12 分) 已知数列{an}的各项均为正数, A 记 (n) 1+a2+??+an,(n) 2+a3+?? =a B =a +an+1,C(n)=a3+a4+??+an+2,n=1,2,??,若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n) ,B(n) , C(n)组成等差数列,求数列{ an }的通项公式.
? (1) 证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三个数 A(n) ,B(n) ,

C(n)组成公比为 q 的等比数列. 13.江苏 6. (2012 年江苏省 5 分)现有 10 个数,它们能构成一个以 1 为首项, ? 3 为公比的等比数列,若 从这 10 个数中随机抽取一个数,则它小于 8 的概率是 .
a n ? bn a n ? bn
2 2

14.江苏 20. (2012 年江苏省 16 分)已知各项均为正数的两个数列 { a n } 和 { b n } 满足: a n ? 1 ?
?? b ? ? ? ? , n ? N * ,求证:数列 ? ? n ? ? an ? ? ?? ? ?
2



n? N *, (1)设 b n ? 1 ? 1 ?

bn an

是等差数列;

(2)设 b n ? 1 ?

2 ?

bn an

, n ? N * ,且 { a n } 是等比数列,求 a 1 和 b1 的值.

15 江西 12.设数列{an},{bn}都是等差数列,若 a1+b1=7,a3+b3=21,则 a5+b5=___________ 16.江西 16. 本小题满分 12 分) ( 已知数列{an}的前 n 项和 S n ? ? 确定常数 k,求 an; (2)求数列 {
9 ? 2an 2
n

1 2

n ? k n ( k ? N ) ,且 Sn 的最大值为 8. 1) (
2

?

} 的前 n 项和 Tn。

2

17 辽宁 6. 在等差数列 ? a n ? 中,已知 a 4 + a 8 =1 6 ,则该数列前 11 项和 S 1 1 = A.58 B.88 C.143 D.176
2

18 辽宁 14.已知等比数列 ? a n ? 为递增数列,且 a 5 = a1 0 ,2 ? a n + a n + 2 ? = 5 a n +1 ,则数列 ? a n ? 的通项公式
a n = ____________.

19 全国卷大纲版 5.已知等差数列 ? a n ? 的前 n 项和为 S n , a 5 ? 5, S 5 ? 1 5 ,则数列 ? 为( )A.
100 101

?

? ? 的前 100 项和 ? a n a n ?1 ? 1

B.

99 101

C.

99 100

D.

101 100

2 20 全国卷大纲版 22(本小题满分 12 分)函数 f ( x ) ? x ? 2 x ? 3 。定义数列 ? x n ? 如下: x1 ? 2 , x n ? 1 是过

两点 P ( 4, 5), Q n ( x n , f ( x n )) 的直线 P Q n 与 x 轴交点的横坐标。 (1)证明: 2 ? x n ? x n ? 1 ? 3 ; (2)求数列 ? x n ? 的通项公式。 21 山东(20) (本小题满分 12 分)在等差数列 { a n } 中, a 3 ? a 4 ? a 5 ? 8 4 , a 9 ? 7 3 . (Ⅰ)求数列 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N * ,将数列 { a n } 中落入区间 (9 m , 9 2 m ) 内的项的个数 记为 {b n } ,求数列 {b n } 的前 m 项和 S m . 22 陕西 17.(本小题满分 12 分)设 ? a n ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 a 5 , a 3 , a 4 成等差 数列. (1)求数列 ? a n ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N ? , S k ? 2 ,
1

Sk ,

S k ? 1 成等差数列.

? ? 23 上海 6. 有一列正方体, 棱长组成以 1 为首项、 为公比的等比数列, 体积分别记为 V 1, V 2 , , V n , ,
2

则 lim (V 1 ? V 2 ? ? ? V n ) ?
n? ?

. ,S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n , S 1 , S 2 , ? , S 100 中, 在 正数的个数是 ( ) 25 A.

24 上海 18. a n ? 设 B.50 C.75

1 n

sin

n? 25

D.100

25 上 海 23 . 对 于 数 集 X ? { ? 1, x1 , x 2 , ? , x n } , 其 中 0 ? x1 ? x 2 ? ? ? x n , n ? 2 , 定 义 向 量 集
Y ? { a | a ? ( s , t ), s ? X , t ? X } . 若对于任意 a 1 ? Y ,存在 a 2 ? Y ,使得 a 1 ? a 2 ? 0 ,则称 X 具有性质 P. 例

如 X ? {? 1, 1, 2 } 具有性质 P. (1)若 x>2,且 { ? 1, 1, 2 , x } ,求 x 的值; 分) (4 (2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 xn>1 时,x1=1; 分) (6 (3)若 X 具有性质 P,且 x1=1,x2=q(q 为常数) ,求有穷数列 x1 , x 2 , ? , x n 的通项公式.(8 分) 26 四川 12、设函数 f ( x ) ? 2 x ? co s x ,{ a n } 是公差为
[ f ( a 3 )] ? a 1a 3 ? (
2

?
8

的等差数列, f ( a1 ) ? f ( a 2 ) ? ? ? ? ? f ( a 5 ) ? 5 ? ,则
1 8
2

)A、 0

B、

1 16

?

2

C、 ?

D、

13 16

?

2

27 四川 16、记 [ x ] 为不超过实数 x 的最大整数,例如, [ 2 ] ? 2 , [1 .5 ] ? 1 , [ ? 0 .3] ? ? 1 。设 a 为正整数,

3

xn ? [

a xn

] ]( n ? N ) ,现有下列命题:
?

数列 { x n } 满足 x1 ? a , x n ? 1 ? [

2

①当 a ? 5 时,数列 { x n } 的前 3 项依次为 5,3,2; ②对数列 { x n } 都存在正整数 k ,当 n ? k 时总有 x n ? x k ; ③当 n ? 1 时, x n ?
a ?1;

④对某个正整数 k ,若 x k ? 1 ? x k ,则 x n ? [ a ] 。 其中的真命题有____________。 (写出所有真命题的编号) 28 四川 20、 (本小题满分 12 分) 已知数列 { a n } 的前 n 项和为 S n , a 2 a n ? S 2 ? S n 对一切正整数 n 都成立。 且 (Ⅰ)求 a 1 , a 2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 { lg 出 T n 的最大值。 29 天津 (18) (本小题满分 13 分) 已知{ a n }是等差数列, 其前 n 项和为 S n , b n }是等比数列,且 a 1 = b1 = 2 , {
a 4 + b 4 = 2 7 , S 4 ? b 4 =1 0 .(Ⅰ)求数列{ a n }与{ b n }的通项公式;
1 0 a1 an } 的前 n 项和为 T n ,当 n 为何值时, T n 最大?并求

(Ⅱ)记 T n ? a n b1 ? a n ? 1b 2 ? a n ? 2 b3 ? ? ? a 1b n ;证明: T n +1 2 = ? 2 a n +1 0 b n ( n ? N + ) . 30 新课标(5)已知 ? a n ? 为等比数列, a 4 ? a 7 ? 2 , a 5 a 6 ? ? 8 ,则 a 1 ? a 1 0 ? (
( A) 7 (B)



5
n

(C ) ? ?

( D ) ??

31 新课标(16)数列 { a n } 满足 a n ? 1 ? ( ? 1) a n ? 2 n ? 1 ,则 { a n } 的前 6 0 项和为 31 浙江 7.设 S n 是公差为 d(d≠0)的无穷等差数列{a n}的前 n 项和,则下列命题错误的是 .. A.若 d<0,则数列{S n}有最大项 B.若数列{S n}有最大项,则 d<0

C.若数列{S n}是递增数列,则对任意的 n ? N*,均有 S n>0 D.若对任意的 n ? N*,均有 S n>0,则数列{S n}是递增数列 32 浙江 13. 设公比为 q(q>0)的等比数列{a n}的前 n 项和为{S n}. 若
S 2 ? 3a2 ? 2 S ,4 ? 3a4 ? 2

, q=___ __ 则

33 重庆 1.在等差数列 { a n } 中, a 2 ? 1, a 4 ? 5 ,则 { a n } 的前 5 项和 S 5 =()A.7 B.15 34 重庆 12、 lim
1 n ? 5n ? n
2

C.20 D.25

n? ?

?



35 重庆 21、 (本小题满分 12 分, (I)小问 5 分, (II)小问 7 分。 ) 设数列 ? a n ? 的前 n 项和 S n 满足 S n ? 1 ? a 2 S n ? a 1 ,其中 a 2 ? 0 。 (I)求证: ? a n ? 是首项为 1 的等比数列; (II)若 a 2 ? ? 1 ,求证: S n ?
n 2 ( a 1 ? a n ) ,并给出等号成立的充要条件。
4


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