兰州市2015届高三第二次诊断考试数学文试题


兰州市 2015 届高三第二次诊断考试

数学(文)
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.答卷前,考生务必将自忆的姓名、考号填写的答 题纸上. 2. 本试卷满分 150 分.考试用时 120 分种.答题全部在答题纸上,试卷上答题无效.

第Ⅰ卷
一、选 择题:(本大题 12 小题,每 小题 5 分,共 60 分。在每 小题给 出的四个选项中,只有一项是符 合要求的. 1.已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7}, A ? ?1,3,5,6? 则 ? UA? A. ?1,3,5,6? B. ( C D. )

?2,3,7?

C.

?2,4,7?

?2,5,7?

解: ? 1,3,5,6? = ?2,4,7? U A ? {1, 2,3, 4,5,6,7}- ?
2. i ? z ? 1 ? i ( i 为虚数单位),则 z ? ( B )

A. 2

B.

2

C. 1

D.

2 2

解∵i ? z ? 1 ? i,

∴ i ? z ? 1? i = 2

∴z ? 2
( D )

2 2 2 3.已知 △ ABC 内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ,若 c ? a ? b ? 2ab cosC ,,则 C ?

A.

? 6

B.

? 4

C.

?
3

D.

?
2

解:∵ c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cosC ,又∵c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cosC ,∴ cos C ? 0 ,∴ C ?
2

?
2

4.已知命题 p :?? ? R,cos(? ? ? ) ? cos ? ;命题 q : ?? R, x ? 1 ? 0 .则下面结论正确的是( A) A. p ? q 是真命题 解:因为 ? ? B. p ? q 是假命题 C. p 是真命题
?

D. p 是假命题

?
2

时, cos(? ? ? ) ? cos ? ,所以 p 是真命题,又因为 ?? R, x2 ≥ 0 ,

2 所以 ?? R, x ? 1≥1 ? 0 ,所以 q 是真命题,所以 p ? q 是真命题.
x y 5.已知实数 x , y 满足 a ? a ( 0 ? a ? 1 ),则下列关系式恒成立的是( A )

A. x3 ? y3

B. sin x ? sin y

C. ln( x2 ? 1) ? ln(y2 ? 1)

D.

1 1 ? 2 x ?1 y ?1
2

解:∵ a x ? a y , 0 ? a ? 1 ,∴ x ? y ,∴ x3 ? y3 ,但 x ? y ? x2 ? y 2 6.已知点 F 是抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, M , N 是该抛物线上两点, MF ? NF ? 6 ,则 MN 中点到准线的 离为( C )

A.

3 2

B.2

C.3

D.4
1 ? MF ? NF ? ? 3 2

解:因为 MN 的中点到准线的距离是 M , N 到准线距离的中位线长,故为 7.某四棱锥的三视图如图所示,则最长的一条侧棱的长度是( B )

A. 29

2

2

B.

29
3正视图

2

C. 13

侧视图

2

D.

13

2

4

俯视图

解:三视图所示的几何体是四棱锥 S ? ABCD ,如图:

S
SD ? AD ? 2 , BC ? 4 , AB ? 3 ,
且 SA ? 平面ABCD ,∴ SD ? 2 2 ,

A

B

SB ? 13 , SC ? SB2 ? BC2 ? 29
所以最长的侧棱长为 SC ? 29

D

C

8.阅读右侧程序框图,如果输出 i ? 5 ,那么在空白矩形框( C ) 中应填入的语句为 开始

A. S ? 2* i ? 2

i=1,S=0 i=i+1


B. S ? 2*i ? 1 C. S ? 2* i D. 2* i ? 4

i 是奇数?


S ? 2*i ?1


S ? 10?


输出 i

解:① i ? 1, S ? 0 ? i ? 2不是奇数 ? S ? 2*i? 1 ? 5 ? 10 ;

结束

② i ? 3是奇数,从选项看,前次 S 值无效,要重新计算,这时选项都适合条件,进入下一次循环; ③ i ? 4不是奇数,S ? 2* i ? 1 ? 9 ? 10 ,进入下次循环; ④ i ? 5是奇数,S ? 9 ? 10 ,这时选项 A 和 B 都适合条件循环,只有 C 不符合条件,输出 i , 所以选项 C 是正确的。 9.已知长方体 ABCD ? A1B1C1D1 的各个顶点都在表面积为 16? 的球面上,且

AB ? 3AD, AA1 ? 2 AD ,则四棱锥 D1 ? ABCD 的体积为( B )
A. 2 6 3 B. 4 6 3

C. 2 6 A1 B1 3a C1

D. 4 6 D1
2a

解∵ AB ? 3AD, AA1 ? 2 AD

∴设AD ? a, 则AB ? a , AA1 ? 2a
又因为长方体的对角线是其外接球的直径,

A
C

a

D

B

∴(2r)2 ? AD2 ? AB2 ? AA12 ? 8a2

∴r 2 ? 2a2 , 又∵4? r 2 ? 16? ,∴r 2 ? 4 ,∴a ? 2 ,
1 1 4 6 ∴VD1 ? ABCD ? ? S ABCD ? AA1 ? ? 2 ? 6 ? 2 2 ? 3 3 3 .

a1 a2 3 sin x 的图象向左平移 m(m ? 0) 个单位长 ? a1a4 ? a2 a3 ,若将函数 f ( x) ? a3 a4 1 cos x 度后,所得图象关于 y 轴对称,则 m 的最小值是( A )
10.定义运算:

A.

5? 6

B.

? 8

C.

? 3

D.

2? 3

解: ∵ f ( x) ?

? 3 sin x ? 3 cos x ? sin x ? ?2sin( x ? ) 3 1 cos x

? ∴ 向左平移 m(m ? 0) 个单位长度后得: y ? ?2sin( x ? m ? ) 3
又因为平移后的图象关于 y 轴对称,所以 y ? ?2sin( x ? m ?

?
3

) 是偶函数,

∴m ?

?
3

? k? ?

?
2

, ∴ m ? k? ?

5? ,∵ m ? 0, 6

∴ k ? 0时,m取得最小值

5? 6

M 是椭圆 C 上一点,且满足 MF1 ? 2 MO ? 2 MF2 , 11.已知椭圆 C 的中心为 O ,两焦点为 F 1 、 F2 ,
则椭圆的离心率 e ? ( D )

A.

2 5 5

B.

2 3
MO ? m

C.

3 3

D.

6 3
M

解:设 MF2 ? m ,则 MF1 ? 2m,

∵MN ? F1F2 ,

F1F2 ? 2OF1 ? 2c ,

F1

O

N

F2

又∵MO ? MF2 ,∴ N 为 OF2 中点

∴MF12 ? F1N 2 ? MF22 ? F2 N 2 ,∴ (2m) 2 ? (
3 6 m ,∴ e ? 2 3
2

3c 2 c 6 ) ? m 2 ? ( ) 2 ,∴ c ? m 2 2 2

∴ 2a ? 3m,∴ a ?

12.已知函数 f ( x) ? x ? sin x( x ? R) ,且 f (y ? 2 y ? 3) ? f ( x ? 4 x ? 1) ≤ 0 ,则当 y ≥ 1时,
2

y 的 x ?1

取值范围是(

D )

4 A. [0, ] 3

3 B. [0, ] 4

1 1 C. [ , ] 4 3

1 3 D. [ , ] 4 4

解:因为 f ?( x) ? 1 ? cos x ≥ 0 ,所以函数递增,又 f (? x) ? ? x ? sin(? x) ? ? f ( x) ,所以 f ( x) 是奇函数

又 f (y2 ? 2 y ? 3) ? f ( x2 ? 4 x ? 1) ≤ 0 , f (y2 ? 2 y ? 3) ≤ - f ( x2 ? 4 x ? 1) ? f (? x2 ? 4 x ?1)

∴ y2 ? 2 y ? 3 ≤ ? x 2 ? 4 x ? 1 ,


∴( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1

y 1 3 ? k ,则 y ? k ( x ? 1) ,∴ ≤ k ≤ x ?1 4 4

1 3 tan ? ? , tan 2? ? . 3 4

第 II 卷
本卷包括必 考题和选考题两部分.第 12~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22~24 题为选 考题,考生根据要求作答. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.已知向量 a ? ( x2 ?1, 2 ? x) , b ? ( x,1) ,若 a ∥ b ,则 x ? ____________________ . 解:∵ a ∥ b ,∴ x ? 1 ? (2 ? x) x ,∴ x ? ?
2

1 , 2

14.甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝 3 种运动服中选择 1 种,则他们选择相同颜色运动服的 概率为 _________________________. 解:甲任选一件运动服有 3 种选法,乙也有 3 种选法,所以甲、乙各自任选一套运动服,不同选法共 有 9 种,他们所选运动服相同共有 3 种,所以他们选择相同颜色运动服的概率为

1 . 3

?x ? 2 y ≥ 0 ? 15.已知实数 x , y 满足约束条件 ? x ? y ≤ 0 , z ? x ? y ,若 z 的最大值为 12,则 k ? ___6______. ?0 ≤ y ≤ k ?
解: 16.已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 的棱长为 1 , E 、 F 分别为棱 AA1 与 CC1 的中点,过直线 EF 的平面 分别与 BB1 、 DD1 相交于点 M 、 N .设 BM ? x, x ?[0,1] 有以下命题: ①平面 MENF ? 平面 BDD1B1 ; ②当 x ?

1 时,四边形 MENF 的面积最小; 2

③四边形 MENF 的周长 L ? f ( x) , x ? [0,1] 是单调函数; ④四棱锥 C1 ? MENF 的体积 V ? g ( x) 为常函数。 其中下确结论的序号是__ _①②④_______________.(将正确结论的序号都填上)

三、解答题:(解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1, 前 n 项和 S n ? (I)求数列 ?an ? 的通项公式. (II)设 bn ? 2an ,求证: b1 ? b2 ?

3 2 1 n ? n . 2 2

? bn ?

2 . 7

18.(本小题满分 12 分)

AC ? BC , 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, D, E, F 分别是 BB1、AA 1、AC 的中点,
AB ? 2 AC . CD ? C1D .
(I)求证: CD ∥ 平面BEF (II)求证:平面 BEF ? 平面 AC 1 1D .

C1 A1 B1

F

D

C

E
A

B

19.(本小题满分 12 分) 据统计某校学生在上学路上所需时间最多不超过 120 分钟.该校随机抽取部分新入校的新生其在上学 路上所需时间(单位:分钟)进行调查,并将所得数据绘制成频率分布直方图. (I)求频率分布直方图中 a 的值. (II)为减轻学生负担,学校规定在上学路上所需时间不少于 1 小时的学生可申请在校内住宿.请根据抽 样数据估计该校 600 名新生中有多少学生可申请在校内住宿.
频率/组距

0.025

a
0.0060 0.0030 0.0021 0.0014 O

20 40 60 80 100 120 时间/分钟

20.(本小题满分12 分) 已知点 P 为 y 轴上的动点,点 M 为 x 轴上动点,点 F (1, 0) 为定点,且满足 PN ?

1 NM ? 0, 2

PM ? PF ? 0 .
(I)求动点 N 的轨迹 E 的方程. (II)过点 F 且斜率为 k 的直线 l 与曲线 E 交于两点 A、B ,试判断在 x 轴上是否存在点 C ,使得

CA ? CB ? AB

2

2

2

成立,请说明理由。

21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 ln x ?

m . x ?1

(I)当函数 f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 4 x ? 1 ? 0 垂直时,求实数 m 的值; (II)若 x ≥ 1 时, f ( x) ≥ 1 恒成立,求实数 m 的取值范围.

请从下面所给的 22、23、24 三题中选定一题作答,如果多答按所答第一题评分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,在正 △ ABC 中,点 D、E 分别在边 BC、AC 上,且 BD ? 于点 P . 求证: (I)四点 P、D、C、E 共圆. (II) AP ? CP .

1 1 BC , CE ? CA , AD、BE 相交 3 3

A

E P

B

D

C

23.(本小题满分 10 分)选修 4—4:极坐标系与参数方程

? x ? cos? ,( ? 为参数),以原点 O 为极点, ? y ? 1 ? sin? x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? (cos? ? sin ? ) ? 5 ? 0 .
已知平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 的方程为 ? (I)求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程; (II)设 P 为曲线 C1 上的动点,求点 P 到 C2 的距离的取值范围.

24.(本小题满分 10 分,选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ? x ?1 ? x ? a (a ? R) . ( I )当 a ? 4 时,求不等式 f ( x) ≥ 5 的解集; (II )若 f ( x) ≥ 4 对 x ? R 恒成立,求实数 a 的取值范围.

2015 年兰州市高三实战考试(二诊)

数学参考答案及评分标准(文科)
一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 题 号 C B D A A C B C B A D D 答 案 8.解析:当空白矩形框中填入的语句为 S=2*i 时, 程序在运行过程中各变量的值如下表示: i S 是否继续循环 循环前 1 0 第一圈 2 5 是 第二圈 3 6 是 第三圈 4 9 是 第四圈 5 10 否 故输出的 i 值为: 5 ,符合题意.故选 C . 11.解析:过 M 向椭圆的长轴做垂线,垂足为 N ,则 N 为 OF2 的中点,设 | MF2 |? t ,则有

| MF1 |2 ? | F1N |2 ?| MF2 | ? | F2 N |2 ,即 4t 2 ? c 2 ? t 2 ? c 2 ,所以, c ?

9 4

1 4

3 6 t ,而 a ? t ,所以 2 2

6 3 12.解析:因为, f (? x) ? ? x ? sin(? x) ? ? f ( x) ,且 f '( x) ? 1 ? cos x ? 0 ,

e?

所以函数为奇函数,且在 R 是增函数. 所以,由 f ( y 2 ? 2 y ? 3) ? f ( x2 ? 4x ?1) ? 0 得

f ( y 2 ? 2 y ? 3) ? f (? x2 ? 4x ?1), y 2 ? 2 y ? 3 ? ? x2 ? 4 x ?1 .
即 x2 ? y 2 ? 4x ? 2 y ? 4) ? 0, ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,其表示圆 ( x ? 2)2 ? ( y ?1)2 ? 1 及其内部.

y?l ? y 表示满足 ? 的点 P 与定点 A(?1, 0) 连线的斜率.结合图形分析可知, 2 2 x ?1 ?( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 1? 0 1 ? 最小,切线 AB 的斜率 直线 AC 的斜率 3 ? (?1) 4 1 2? 2 tan ?PAX 3 ? 3 最大 tan ?BAX ? tan 2?PAX ? ? 2 1 1 ? tan ?PAX 1 ? ( ) 2 4 3 二、填空题 1 1 13. ? 14. 15. 6 16. ①②④ 2 3 三、解答题 3 1 17. 解:(Ⅰ)∵ Sn ? n 2 ? n 2 2 3 1 3 1 ∴ n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ? n 2 ? n ? (n ? 1) 2 ? (n ? 1) ? 3n ? 2 2 2 2 2

当 n ? 1 时, a1 ? 3 ? 2 ? 1 ∴ an ? 3n ? 2 (Ⅱ)∵ bn ? 2 ? 2
an 3n?2

…………………6分



bn ?1 23( n ?1)?2 ? 3n ? 2 ? 8 bn 2
? bn ?

∴数列 {bn } 是以 b1 ? 23?2 ? 2 为首项,以 8 为公比的等比数列
2(1 ? 8n ) 2 n ? (8 ? 1) 1? 8 7 n ∵n ?1 ∴ 8 ?1 ? 1 2 2 ∴ (8n ? 1) ? 7 7 2 ∴ b1 ? b2 ? ? bn ? 7

∴ b1 ? b2 ?

…………………12 分

18. 证明:(Ⅰ)连接 AC 1 ∵ D 、 E 、 F 分别是 BB1 、 AA1 、 AC 的中点 ∴ A1D ∥ BF , AC 1 ∥ EF ∵在平面 ACD 中 A1D AC 在平面 BEF 中 BF ? A1 1 1 ∴平面 ACD ∥平面 BEF ,而 CD ? 平面 A1CD 1 ∴ CD ∥平面 BEF (Ⅱ)依题意有 AC ? BC ∴ AC 1 1 ? 平面 BCC1B 1 CD ∴ AC 1 1 ? ∵ CD ? C1D CD ? 平面 A1CD ∴ CD ? 平面 AC 1 1D ,而 ∴平面 A1CD ? 平面 AC 1 1D 由(Ⅰ)知平面 A1CD∥平面 BEF ∴平面 BEF ? 平面 AC 1 1D 19. 解:(Ⅰ) 有频率直方图可得
(0.0014 ? 0.0021 ? 0.0030 ? 0.0060 ? a ? 0.025) ? 20 ? 1

EF ? F

…………………6 分

…………………12 分

a ? 0.0125

…………………5 分

(Ⅱ) 新生上学所需时间不少于 1 小时的频率为:
(0.0030 ? 0.0021 ? 0.0014) ? 20 ? 0.13

…………………9 分

所以,该校 600 名新生中可申请在校内住宿的人数估计为
600 ? 0.13 ? 78

…………………12 分
1 NM ? 0 ,得 P 为 MN 的中点. ……2 分 2

20. 解:(Ⅰ)设 N ( x, y) ,则由 PN ?
y ∴ P(0, ) , 2
M (? x,0) .

y y ∴ PM ? (? x, ? ) , PF ? (1, ? ) . 2 2

∴ PM ? PF ? ? x ?

y2 ? 0, 4

即 y2 ? 4x . ………………5 分

∴动点 N 的轨迹 E 的方程 y 2 ? 4x .

? y ? k ( x ?1) 4 (Ⅱ)设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 1) ,由 ? 2 消去 x 得 y 2 ? y ? 4 ? 0 . k ? y ? 4x
设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 则 y1 ? y2 ?
4 , y1 y2 ? ?4 . k

………………6 分

假设存在点 C (m,0) 满足条件,则 CA ? ( x1 ? m, y1 ) , ∴ CA ? CB ? x1x2 ? m( x1 ? x2 ) ? m2 ? y1 y2 ? (
?? m [( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ] ? m 2 ? 3 4 4 ? 2) ? 3 . k2

CB ? ( x2 ? m, y2 ) ,

y1 y2 2 y 2 ? y2 2 ) ? m( 1 ) ? m2 ? 4 4 4

? m 2 ? m(

………………9 分

∵? ? (

4 ? 2) 2 ? 12 ? 0 , 2 k

∴关于 m 的方程 m 2 ? m(

4 ? 2) ? 3 ? 0 有解 . k2

………………11 分

∴假设成立,即在 x 轴上存在点 C ,使得 | CA |2 ? | CB |2 ?| AB |2 成立.…………12 分

21. 解:(Ⅰ)∵ f ?( x ) ?

2 m ? x ( x ? 1)2

∴函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线的斜率 k ? f ?(1) ? 2 ?

m 4 ∵函数 f ( x ) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 y ? 4 x ? 1 ? 0 垂直 m 1 ∴2 ? ? ? 4 4 ∴m ? 9 ………………5 分 m ? 1 在 x ? 1 时恒成立 (Ⅱ)依题意不等式 2 ln x ? x ?1 ∴ m ? x ? 1 ? 2( x ? 1) ln x 在 x ? 1 时恒成立 令 g ( x) ? x ? 1 ? 2( x ? 1)ln x ( x ? 1 ),则 2( x ? 1) x ? 2 ? 2 x ln x g ?( x ) ? 1 ? [2 ln x ? ]?? ………………8 分 x x ∴ x ? 1 时, g ?( x ) ? 0 ∴函数 g ( x ) 在 x ? 1 时为减函数 ∴ g ( x) ? g (1) ? 2

∴m ? 2 即实数 m 的取值范围是 [2, ??)

………………12 分

22. 证明:(I)在 ?ABC 中 1 1 ∵ BD ? BC , CE ? CA 知 ?ABD ≌ ?BCE 3 3 ∴ ?ADB ? ?BEC ∴ ?ADC ? ?BEC ? ? 所以四点 P, D, C , E 共圆 ………………5 分 (II)连结 DE ,在 ?CDE 中, CD ? 2CE , ?ACD ? 60 ,由正弦定理知 ?CED ? 90 由四点 P, D, C , E 共圆知, ?DPC ? ?DEC ,所以 AP ? CP. ………………10 分

? x ? cos ? 23. 解:(I)由 ? ( ? 为参数)得 ? y ? 1 ? sin ?
x 2 ? ( y ? 1)2 ? 1
由 ? (cos? ? sin ? ) ? 5 ? 0 得 ………………2 分

? cos? ? ? sin ? ? 5 ? 0
即x? y ?5? 0 ………………5 分

(II)由(I)知 C1 为以 (0,1) 为圆心, 1 为半径的圆 , C2 为直线, ∵ C1 的圆心 (0,1) 到 C2 的距离 ∴ C2 与 C1 没有公共点 ∴ | PM |max ? 1 ? 2 2

(0 ? 1 ? 5 | ? 2 2 ?1 2

| PM |min ? 2 2 ? 1
………………10 分

∴ | PM | 的取值范围是 [2 2 ? 1,2 2 ? 1] 24. 解:(I)当 a ? 4 时, | x ? 1| ? | x ? a |? 5 等价为

?x ? 1 ?1 ? x ? 4 ? x ? 4 或? 或? ? ? ?2 x ? 5 ? 5 ?3 ? 5 ?2 x ? 5 ? 5
解得 x ? 0 或 x ? 5 所以不等式 f ( x ) ? 5 的解集为 { x | x ? 0 或 x ? 5 } (II)因为 f ( x) ?| x ? 1| ? | x ? a |?| ( x ? 1) ? ( x ? a) |?| a ? 1| 所以 f ( x)min ?| a ? 1| 要使 f ( x ) ? 4 对 a ? R 恒成立,则须 | a ? 1|? 4 即可 所以 a ? ?3 或 a ? 5 即实数 a 的取值范围是 {a | a ? ?3 或 a ? 5 } 以上各题若有其它解法,请酌情给分. ………………10 分 ………………5 分


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