人教版七年级下册数学教案第八章


第八章 二元一次方程组 课时分配
8.1 二元一次方程组 ??????????????1 课时 8.2 消元——二元一次方程组的解法??????? 4 课时 8.3 再探实际问题与二元一次方程组??????? 3 课时 *8.4 三元一次方程组解法举例 ??????????2 课时 本章小结 ???????????????????2 课时

8.1 二元一次方程组
[教学目标]理解二元一次方程、二元一次方程组及它们解的概念,会检验一对数是不是 二元一次方程组的解。 [重点难点] 二元一次方程、二元一次方程组及其解的含义是重点;理解二元一次方程 组的解是难点。 [知识结构] 一、问题导入 我们很多同学喜欢打篮球,这里面也有学问。看下面的问题:[投影 1] 篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得 2 分,负一场得 1 分,某队为了争 取较好的名次,想在全部 22 场比赛中得到 40 分,那么这个队胜负场数分别是多少? 你知道吗? 二、二元一次方程和二元一次方程组 这个问题中包含了哪些必须同时满足的条件? 胜的场数+负的场数=总场数, 胜场积分+负场积分=总积分. 若设胜的场数是 x,负的场数是 y,你能用方程把这些条件表示出来吗?

x+y=22 2x+y=40
这两个方程与一元一次方程有什么不同?它们有什么特点? 所含未知数的个数不同;特点是: (1)含有两个未知数, (2)含有未知数的项的次数 是 1。 像这样含有两个未知数,并且含有未知数的项的次数是 1 的方程叫做二元一次方程。 上面的问题包含了两个必须同时满足的条件,也就是未知数 x、y 必须同时满足方程 x +y=22 和 2x+y=40 把两个方程合在一起,写成 x+y=22 ①
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2x+y=40 ② 像这样,把具有两个未知数且含未知数的项的次数是 1 的两个方程合在一起,就组成 了二元一次 x 方程组. 三、二 y 元一次方 程、二元一 次方程组的 解 探究:[投影 2]满足方程①,且符合问题的实际意义的 x、y 的值有哪些?把它们填入 表中. 为此我们用含 x 的式子表示 y,即 y=22-x(x 可取一些自然数) 。 显然,上表中每一对 x、y 的值都是方程①的解。 一般地,使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值,叫做二元一次方程的解. 如果不考虑方程的实际意义,那么 x、y 还可以取哪些值?这些值是有限的吗? 还可以取 x=-1,y=23;x=0.5,y=21.5,等等。 所以,二元一次方程的解有无数对。 上表中哪对 x、y 的值还满足方程②? x=18, y=2 还满足方程②.也就是说, 它们是方程①与方程②的公共解, 记作 ? 二元一次方程组的两个方程的公共解,叫做二元一次方程组的解. 四、例题 例 1 若方程 x2 m –1 + 5y 2–3n = 7 是二元一次方程.求 m2+n 的值。 分析:由二元一次方程的概念你可以知道什么? 解:依题意,得 2 m –1=1,2–3n =1. 由 2 m –1=1,得 m =1 由 2–3n =1 得 n =1/3 ∴m2+n=1+1/3=4/3. 五、课堂练习[投影 3] 二元一次方程 含有 ,并且未知项的次数是 的方程叫做二元一次方程。 〔1〕下列方程中是二元一次方程的是 . ①2x-5=y; ②x+1/2=1; ③xy=3; ④5x+2/y=1;⑤x2-3y=0; ⑥x+1/2y=3. 2、二元一次方程组 两个含有 ,并且未知项的次数是 的两个方程组成二元一次方程组。 3、二元一次方程的解 使二元一次方程 的两个未知数 ,叫做二元一次方程的解。 〔2〕写出二元一次方程 3x+2y=14 的非负整数解。
? x ? 1 8, ? y ? 4.

2、下列各对数值中是二元一次方程 x+2y=2 的解的是〔
?x ? 2 A ? ?y ? 0
? x ? ?2 B ? ?y ? 2 ?x ? 0 C ? ?y ? 1 ? x ? ?1 D ? ?y ? 0



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六、课堂小结 1、二元一次方程、二元一次方程组的概念; 2、二元一次方程、二元一次方程组的解.

8.2 消元(一)
[教学目标]1、掌握代入法解二元一次方程组;2、经历探索二元一次方程组的解法的过 程,初步体会“消元” 的基本思想. [重点难点] 代入消元法解二元一次方程组是重点;理解“消元”的基本思想是难点。 [知识结构] 一、情景导入 下面是我们讨论过的一个关于篮球比赛的问题:[投影 1] 篮球联赛中,每场比赛都要分出胜负,每队胜一场得 2 分.负一场得 1 分,某队为了争 取较好的名次,想在全部 22 场比赛中得到 40 分,那么这个队胜负场数分别是多少? 请你求出结果。 设这个队胜了 x 场,依题意,得 2x+(22-x)=40 解得 x=18 22-x=4 所以,这个队胜了 18 场,负了 4 场. 我们知道,设胜的场数是 x,负的场数是 y,可列方程组: x+y=22 2x+y=40 那么怎样求这个方程组的解呢? 二、代入消元法 上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系? 可以发现,二元一次方程组中第 1 个方程 x+y=22 说明 y=22-x,将第 2 个方程 2x +y=40 的 y 换为 22-x,这个方程就化为一元一次方程 2x+(22-x)=40。 这就是说,二元一次方程组中的两个未知数,可以消去其中的一个未知数,转化为我 们熟悉的一元一次方程。这样,我们就可以先求出一个未知数,然后再求出另一未知数.这 种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想,叫做消元思想. 例 1 解方程组:
?x ? y ? 3 ? ? 3 x ? 8 y ? 14

分析:根据消元的思想,解方程组要把两个未知数转化为一个未知数,为此,需要用 一个未知数表示另一个未知数。怎样表示呢?转化成的一元一次方程是什么? 解:由①得 x=y+3③ 把③代入②,得 3(y+3)-8y=14 解得 y=-1 把 y=-1 代人③得 x=2. ∴?
?x ? 2 ? y ? ?1

归纳:[投影 2]上面的解法,是由二元一次方程组中一个方程,将一个未知数用含另一 未知数的式子表示出来,再代入另一方程,实现消元,进而求得这个二元一次方程组的解. 这种方法叫做代入消元法,简称代入法.
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解上面的方程组能消去 y 吗?试试看。 三、课堂练习: 二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的 〔3〕 ?
?x ? 5 ?y ? 2

叫做二元一次方程组的解。 的解吗?为什么?

是方程组 ?

? x ? y ? 7, ?3 x ? y ? 17.

2、怎样用代入消元法解二元一次方程组?怎样用加减消元法解二元一次方程组? 〔4〕用两种方法解方程组 ?
? 4 x ? 3 y ? 3, ?3 x ? 2 y ? 15.

四、课堂小结 1、什么是消元的思想?什么是代入消元法? 2、用代入消元法解二元一次方程组。 作业: 3、 (1) 4x-y =5 2x+4y=24 (2)
1 .5 x ? 0 .5 y ? 1 2x ? 3y ? 5

8.2 消元(二)
〔教学目标〕初步学会用二元一次方程组解决简单的实际问题及有关的数学问题。 〔重点难点〕 二元一次方程的运用是重点; 用二元一次方程组解决简单的实际问题是难 点。 〔知识结构〕 一、复习导入 上节课我们学习了用代入消元法解二元一次方程组,回忆一下: 怎样用代入消元法解二元一次方程组?什么是二元一次方程组的解? 今天我们学习用二元一次方程组解决有关的问题。 二、例题

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例 1[投影 1]已知

x ? 2 y ? ?1

是方程组

ax ? y ? b 4 x ? by ? a ? 5

的解,求 a 、 b 的值.

分析:根据方程组的解的意义,我们可以知道什么? 解:把
x ? 2 y ? ?1

代入

ax ? y ? b 4 x ? by ? a ? 5

,得 ?

?2a ? 1 ? b

① ?4 ? 2 ? b ? a ? 5 ②

把①代入②,得 8+2a-1=a+5 解得 a=-2 把 a=-2 代入①,得 b=-5 ∴?
?a ? ?2 ?b ? ?5

例 2[投影 2] 根据市场调查,某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的 销售数量比(按瓶计算)为 2:5.某厂每天生产这种消毒液 22.5 吨,这些消毒液应该分装 大、小瓶装两种产品各多少瓶? 分析:问题中有哪些未知量? 消毒液应该分装的大瓶数和小瓶数。 问题中有哪些等量关系? 大瓶数︰小瓶数=2︰5 大瓶所装消毒液+小瓶所装消毒液=22.5 吨 设怎样的未知数可以表示上面的两个等量关系? 设这些消毒液应分装 x 大瓶和 y 小瓶,则
?5 x ? 2 y ? ? 500 x ? 250 y ? 22500000

请你用代入消元法解答上面的方程组。 解之得, ?
? x ? 20000 ? y ? 50000

答:这些消毒液应该分装 20000 大瓶和 50000 小瓶. 四、课堂小结 列二元一次方程组解决实际问题与列一元一次方程解决实际问题的思想和步骤是相同 的,不同的是一个设一个未知数,一个设两个未知数.一般地,同一个问题既可以列一元一 次方程来解决,也可以列二元一次方程组来解决,不过,有时设两个未知数列方程组更方便 些。 作业:
?x ? 1 ? ax ? by ? 1 ? 补充题:已知方程组 ? 的解为 ? 1 ,求 a+b 的值. ? bx ? ay ? 3 ?y ? ? 2

8.2 消元(三)
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〔教学目标〕掌握加减法解二元一次方程组。 〔重点难点〕 用加减法解二元一次方程组是重点; 用加减法解相同未知数的系数不成整 数倍的二元一次方程组是难点。 〔知识结构〕 一、情景导入 [投影 1]王老师昨天在水果批发市场买了 2 千克苹果和 4 千克梨共花了 14 元,李老师 以同样的价格买了 2 千克苹果和 3 千克梨共花了 12 元,梨每千克的售价是多少?比一比看 谁求得快. 最简便的方法:抵消掉相同部分,王老师比李老师多买了 1 千克的梨,多花了 2 元,故 梨每千克的售价为 2 元. 这种思想也可以用来解二元一次方程组。 二、加减消元法 我们知道,对于方程组 ?
? x ? y ? 22 ?2 x ? y ? 40

① ②

, 可以用代入消元法求解,除此之外,还

有没有别的方法呢? 这个方程组的两个方程中,y 的系数有什么关系??利用这种关系你能发现新的消元方 法吗? y 的系数相等;用②-①可消去未知数 y, 得(2x+y)-(x+y)=40-22 解得 x=18 把 x=18 代入①得 y=4。 显然,由①-②也能消去未知数 y. 思考:联系上面的解法,想一想应怎样解方程组 ?
? 4 x ? 1 0 y ? 3 .6 ① ?1 5 x ? 1 0 y ? 8



这两个方程中未知数 y 的系数互为相反数,?因此由①+②可消去未知数 y,从而求出 未知数 x 的值。 我们看到,把两个二元一次方程的两边分别相加减,可以达到“消元”的目的。 [投影 2] 当两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分 别相加或相减,就能消去这个未知数,得到一个一元一次方程,这种方法叫做加减消元法, 简称加减法。 三、例题 例 用加减法解方程组 ?
?3 x ? 4 y ? 16 ① ?5 x ? 6 y ? 33 ②

分析:这两个方程中未知数的系数既不相反也不相同,直接加减不能消元,试一试, 能否对方程变形,使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同。 解:①×3,得 9x+12y=48 ③ ②×2,得 10x-12y=66 ④ ③+④,得 19x=114 x=6 把 x=6 代入①,得 3×6+4y=16

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4y=-2, y=-

1 2
?x ? 6 1 ?y ? ? ? 2

所以,这个方程组的解是 ? ?

想一想:本题如果用加减法消去 x 该怎么办? 把①×5,②×3 即可。 五、课堂小结 1、什么是加减消元法? 2、用加减消元法解二元一次方程。

8.2

消元(四)

[教学目标]初步学会用二元一次方程组解决有关的问题,进一步认识方程模型的重要 性。 [重点难点] 用二元一次方程组解决有关的问题是重点;列二元一次方程组是难点。 [知识结构] 一、 1、什么是二元一次方程组?什么是二元一次方程组的解? 2、解二元一次方组的基本思想是什么?有哪些方法? 今天我们来运用二元一次方程组解决有关的问题。 二、例题 例 1[投影 1] 甲、乙两人同求方程 ax-by=7 的整数解,甲求出的一组解为 而 x=1 x=3 7 错看成了 1,求得一组解为 乙把方程中的 试求 y=2, y=4, a、b 的值。 分析:由甲求出的一组解,我们可以知道什么?由乙求出的一组解我们可以知道什 么?怎样求 a、b 的值呢? 解:把 x=3,y=4 代入 ax-by=7,得 3a-4b=7① 把 x=1,y=2 代入 ax-by=1,得 a-2b=1② 3a-4b=7 联立①②得方程组 a-2b=1 解之,得 a =5 b =2,

故 a、b 的值分别是 5、2。 例 2 [投影 2] 2 台大收割机和 5 台小收割机工作 2 小时收割小麦 3.6 公顷,3 台大收 割机和 2 台小收割机工作 5 小时收割小麦 8 公顷,问:1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时 各收割小麦多少公顷? 分析:本题要我们求什么? 1 台大收割机 1 小时收割小麦的公顷数和 1 台小收割机 1 小时收割小麦公顷数。 本题的等量关系是什么? 2 台大收割机 2 小时的工作量+5 台小收割机 2 小时的工作量=3.6 3 台大收割机 5 小时的工作量+2 台小收割机 5 小时的工作量=8
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若设 1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦 x 公顷和 y 公顷.请你列出方程组。
? 2 ( 2 x ? 5 y ) ? 3 .6 ? ? 5 (3 x ? 2 y ) ? 8 ? 4 x ? 1 0 y ? 3 .6 ?1 5 x ? 1 0 y ? 8

整理,得 ?

① ②

②-①,得 11x=4.4 ∴x=0.4 把 x=0.4 代入①,得 y=0.2 ∴
? x ? 0 .4 ? ? y ? 0 .2

答:1 台大收割机和 1 台小收割机 1 小时各收割小麦 0.4 公顷和 0.2 公顷. 课时练习
x? y ?x? y ? ? 6, ? 1 解方程组 ? 2 3 ?2( x ? y) ? 3x ? 3 y ? 24. ?

2

若(a-3)x+y

︱a︱-2

=9 是关于的 x、y 的二元一次方程,求 a 的值。

3

已知方程组 ?

? 3 x ? y ? 5, ?ax ? by ? 4.

与方程组 ?

? ax ? by ? 6, ?4 x ? 7 y ? 1.

的解相同,求

a-b 的值。

4 兴华学校美术小组的同学分铅笔若干枝,若其中 4 人每人各取 4 枝,其余的人每人 取 3 枝,则还剩 16 枝;若有 1 人只取 2 枝,则其余的人恰好每人各得 6 枝,问同学有多少 人?铅笔有多少枝?

第八章复习一(8.1-8.2)
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一、双基回顾 1、二元一次方程 含有 ,并且未知项的次数是 的方程叫做二元一次方程。 〔1〕下列方程中是二元一次方程的是 . ①2x-5=y; ②x+1/2=1; ③xy=3; ④5x+2/y=1;⑤x2-3y=0; ⑥x+1/2y=3. 2、二元一次方程组 两个含有 ,并且未知项的次数是 的两个方程组成二元一次方程组。 3、二元一次方程的解 使二元一次方程 的两个未知数 ,叫做二元一次方程的解。 〔2〕写出二元一次方程 3x+2y=14 的非负整数解。

4、二元一次方程组的解 二元一次方程组的两个方程的 〔3〕 ?
?x ? 5 ?y ? 2

叫做二元一次方程组的解。 的解吗?为什么?

是方程组 ?

? x ? y ? 7, ?3 x ? y ? 17.

5、怎样用代入消元法解二元一次方程组?怎样用加减消元法解二元一次方程组? 〔4〕用两种方法解方程组 ?
? 4 x ? 3 y ? 3, ?3 x ? 2 y ? 15.

二、例题导引
x? y ?x? y ? ? 6, ? 例 1 解方程组 ? 2 3 ?2( x ? y) ? 3x ? 3 y ? 24. ?

例 2 若(a-3)x+y

︱a︱-2

=9 是关于的 x、y 的二元一次方程,求 a 的值。

例 3 已知方程组 ?

? 3 x ? y ? 5, ?ax ? by ? 4.

与方程组 ?

? ax ? by ? 6, ?4 x ? 7 y ? 1.

的解相同,求

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a-b 的值。

例 4 兴华学校美术小组的同学分铅笔若干枝,若其中 4 人每人各取 4 枝,其余的人每 人取 3 枝,则还剩 16 枝;若有 1 人只取 2 枝,则其余的人恰好每人各得 6 枝,问同学有多 少人?铅笔有多少枝?

三、练习升华 夯实基础 1、将二元一次方程 5x+2y=3 化成用含有 x 的式子表示 y 的形式是 y= 含有 y 的式子表示 x 的形式是 x= 。 2、若方程 x
2 m ?1

;化成用

? (3 n ? 2 ) y ? 7 是二元一次方程,则 m

,n

.

3、已知 x=2,y=2 是方程 ax-2y=4 的解,则 a=________. 4、方程 x+2y=7 在自然数范围内的解〔 〕 A 有无数个 B 有一个 C 有两个 D 有三个 5、若 ?
?x ? 2 ?y ? 1

是方程组 ?

? mx ? ny ? 1 ? nx ? my ? 8

的解则 ?

?m ? ?n ?

6、解方程组 (1) ?
?4x ? y ? 5 ? 3( x ? 1) ? 2 y ? 3

(2) ?

?3 x ? 4 y ? 29   5  ?5 x ? 2 y ?  

(3)

1 .5 x ? 0 .5 y ? 1 2x ? 3y ? 5

(4) ?

?2 x ? 3 y ? 12 ?3 x ? 4 y ? 17

7、已知方程组 ?

?2 x ? 3 y ? 5 ?5 x ? 7 y ? ? 2

,求 x : y 的值。

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8、超市里某种罐头比解渴饮料贵 1 元,小彬和同学买了 3 听罐头和 2 听解渴饮料一共 用了 16 元,你能求出罐头和解渴饮料的单价各是多少元吗?

能力提高 9、二元一次方程组 ? A.4 B.-4
?9 x ? 4 y ? 1 ? x ? 6 y ? ?11

的解满足 2x-ky=10,则 k 的值等于〔 D.-8



C.8

10 、 在 y ? ax ? b 中 , 当 x ? 5 时 y ? 6 , 当 x ? ? 1 时 y ? ? 2 , 则 a ?
b ?



. 11、二元一次方程组 ? ? A、 -7 B、 -8 12、解方程组
3x ? 2 y ? m ? 3 ?2 x ? y ? 2m ? 1

的解互为相反数,则 m =〔 D、 -12



C、 -10

? 2 ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? 12 (1) ? ? x ? 5 y ? ? 10

y ?x ? 2 ? ? (2) ? 3 4 ?3 x ? 4 y ? ? 7 ?

13、已知 ( 2 x ? 5 y ? 20 ) ? 2 x ? 3 y ? 4 ? 0 求 x , y 的值。
2

14、 为了保护环境,某校环保小组成员收集废电池,第一天收集 1 号电池 4 节,5 号电池 5 节,总重量为 460 克,第二天收集 1 号电池 2 节,5 号电池 3 节,总重量为 200 克,试问 1?号电 池和 5 号电池每节分别重多少克?

探究创新 15、阅读下列解方程组的方法,然后回答并解决有关问题: 解方程组 ?
?1 9 x ? 1 8 y ? 1 7 (1) ?1 7 x ? 1 6 y ? 1 5 ( 2 )

时,我们如果直接考虑消元,那将非常繁琐,而采用下面的

解法却轻而易举:1)(2) 2x+2y=2,所以 x+y=1(3).(3)×16,得 16x+16y=16(4).(2)-(4), ( - 得
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得 x=-1, 从 而 y=2. 所 以 原 方 程 组 的 解 是 ?
? 2 0 0 x8 ? ? 6 ?2 0 0 x ? 2 0y0?7 2 0y 0?5

? x ? ?1 ?y ? 2

,请用上述方法解方程组

2 0 0 6 (1) 2 0 0 4 ( 2 )

8.3 实际问题与二元一次方程(1)
[教学目标] 学会借助二元一次方程组解决简单的实际问题,再次体会二元一次方程组 与现实生活的联系和作用。 [重点难点] 解决含有多个未知数的实际问题是重点;找出问题中的两个等量关系是难 点。 [知识结构] 一、导入新课 前面我们结合实际问题, 讨论了用方程组表示问题中的条件以及如何解方程组. 本节我 们继续探究如何用方程组解决实际问题. 二、 例题 看下面的问题。[投影 1] 例 养牛场原有 30 只母牛和 15 只小牛,一天约需用饲料 675 kg;一周后又购进 12 只母 牛和 5 只小牛,这时一天约需用饲料 940 kg.饲养员李大叔估计平均每只母牛 1 天约需用饲 料 18~20 kg,每只小牛 1 天约需用饲料 7~8 kg.你能否通过计算检验他的估计? 分析:怎样检验李大叔的估计是否正确? (1)先假设李大叔的估计正确,再根据问题中给定的数量关系来检验; (2)根据问题 中给定的数量关系求出平均每只母牛和每只小牛 1 天各约需用饲料量, 再来判断李大叔的估 计是否正确. 本题的等量关系是什么? 30 只母牛一天用的饲料量+15 只小牛一天用的饲料量=675 (1) (30+12)只母牛一天用的饲料量+(15+5)只小牛一天用的饲料量=940(2) 设平均每只母牛和每只小牛 1 天各约需用饲料 xkg 和 ykg, 根据题意可列怎样的方程 组?
? 30 x ? 15 y ? 675 ? ? 42 x ? 20 y ? 940 (1 ) (2)

解这个方程组得
? x ? 20 ? ?y ? 5

答:每只母牛和每只小牛 1 天各需用饲料为 20kg 和 5kg,饲料员李大叔对母牛的食量
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估计正确,对小牛食量估计有一定的偏差。 三、课堂练习[投影] 某所中学现在有学生 4200 人,计划一年后初中在校生增加 8%,高中在校生增加 11%, 这样全校学生将增加 10%,这所学校现在的初中在校生和高中在校生人数各是多少人?[答 案: ?
? x ? 1400 ? y ? 2800

]

作业: 补充练习: 《一千零一夜》中有这样一段文字:有一群鸽子,其中一部分在树上欢歌, 另一部分在地上觅食.树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说: “若从你们中飞上来一只,则 树下的鸽子就是整个鸽群的 1/3;若从树上飞下去一只,则树上、树下的鸽子就一样多了. ” 你知道树上、树下各有多少只鸽子吗?

8.3 实际问题与二元一次方程(2)
[教学目标] 学会借助二元一次方程组解决有关配套与设计的实际问题,再次体会二元 一次方程组与现实生活的联系和作用。 [重点难点] 运用二元一次方程解决有关配套与设计的应用题是重点;找出问题中的两 个等量关系是难点。 [知识结构] 一、导入新课 前面我们初步体验了用方程组解决实际问题的全过程, 其实生产、 生活中还有许多问题 也能用方程组解决. 二、 例题 看下面的问题:[投影 1] 例 据统计资料, 甲、 乙两种作物的单位面积产量的比是 1: : 现要在一块长 200 m, 1 5, 宽 100 m 的长方形土地,分为两块长方形土地,分别种植两种作物,怎样划分这块地,使甲、 乙两种作物的总产量的比是 3:4(结果取整数)? 分析:本题中的基本关系是什么?本题中的等量关系有哪些? 总产量=单位面积产量×面积 甲作物的单位面积产量︰乙作物的单位面积产量=1︰1.5 甲作物的总产量︰乙作物的总产量=3︰4 怎样划分这块土地呢? 第一种是甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 AEFD 和 BCFE,如图(1) ;第二种是 甲、乙两种作物的种植区域分别为长方形 ABFE 和 FECD,如图(2) 。
C E A D F B

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(1) (2) 对第一种种植方案,设 AE=xm,BE=ym,可得怎样的方程组?
? x ? y ? 200 ? ?100 x : 1 . 5 ? 100 y ? 3: 4
15 ? x ? 105 ? 解这个方程组,得 ? 17 ? 2 ? y ? 94 ? 17 ?

具体怎么划分呢?请你作答。 过长方形土地的长边上离一端约 106 m 处,把这块地分为两个长方形.较大一块地种甲 作物,较小一块地种乙作物. 你能求出第二种种植方案的答案吗?试试看。 三、课堂练习[投影 2] 一种圆凳由一个凳面和三条腿组成,如果 1 立方米木材可制作 300 条腿或制作凳面 50 个,现有 9 立方米的木材,为充分利用材料,请你设计一下,用多少木材做凳面,用多少木 材做凳腿,最多能生产多少张圆凳?

[投影 3]补充题:一个长方形,把它的长减少 4cm,宽增加 2cm,变成一个正方形,且 面积与长方形的面积相等,怎样划分长方形?

8.3 实际问题与二元一次方程(3)
[教学目标] 学会用列表的方式分析、解决简单的实际问题,再次体会二元一次方程组 与现实生活的联系和作用。 [重点难点] 解决含有多个未知数的实际问题是重点;用列表分问题中的数量关系是难 点。 [知识结构] 一、情景导入 最近几年,全国各地普遍出现了夏季用电紧张的局面,为疏导电价矛盾,促进居民节约 用电、合理用电,各地出台了峰谷电价试点方案.通常白天的用电称为高峰用电,即 8:00~ 22:00,深夜的用电是低谷用电即 22:00~次日 8:00. [投影 1]若某地的高峰电价为每千瓦时 0.56 元,低谷电价为每千瓦时 0.28 元.八月份 小彬家的总用电量为 125 千瓦时,总电费为 49 元,你知道他家高峰用电量和低谷用电量各 是多少千瓦时吗? 像这样的实际问题还有很多。
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二、例题 [投影 2]例 如图,长青化工厂与 A,B 两地有公路、铁路相连.这家工厂从 A 地购买 一批每吨 1 000 元的原料运回工厂,制成每吨 8 000 元的产品运到 B 地.公路运价为 1. 5 元(吨·千米) ,铁路运价为 1.2 元(吨·千米) ,这两次运输共支出公路运费 15000 元,铁 路运费 97200 元.这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元? A 铁路120km B 公路20km 铁路110km 分析: “这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元?” 要求 我们必须知道什么? 销售款与产品数量有关, 原料费与原料数量有关, 而公路运费和铁路运费与产品数量和 原料数量都有关.因此,我们必须知道产品的数量和原料的数量。 本题涉及的量较多,我们知道,这种情况下常用列表的方式来处理。本题涉及哪两类量 呢? 一类是公路运费,铁路运费,价值;二类是产品数量,原料数量。 设产品重 x 吨,原料重 y 吨,列表如下: 产品 x 吨 公路运费(元) 1.5×20x 铁路运费(元) 1.2×110x 价值(元) 由上表可列方程组
?1 . 5 ? ? 20 x ? 10 y ? ? 15000 ? ?1 . 2 ? ?110 x ? 120 y ? ? 97200

公路10km 长春化工厂

原料 y 吨 1.5×10y 1.×120y 1000y

合计 1.5(20x+10y) 1.2(110x+120y)

8000x

解这个方程组,得
? x ? 300 ? ? y ? 400

销售款:8000×300=2400000; 原料费:1000×400=400000; 运输费:15000+97200=112200. 所以这批产品的销售款比原料费与运输的和多 1887800 元. 三、课堂练习 前面我们提到过峰谷电价问题, 你能求出小彬家高峰用电量和低谷用电量各是多少千瓦 时吗?试试看。

*8.4 三元一次方程组解法举例
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[教学目标]1、了解三元一次方程组的概念;2、掌握三元一次方程组的解法。 [重点难点]三元一次方程组的解法。 [知识结构] 一、导入新课 前面我们学习了二元一次方程组及其解法,知道有些含有两个未知数的问题,可以列 出二元一次方程组来解决。 实际上, 有不少问题含有三个或更多的未知数, 那么怎样解决呢? 二、三元一次方程组的概念 看下面的问题:[投影 1] 小明手头有 12 张面额分别为 1 元,2 元,5 元的纸币,共计 22 元,其中 1 元纸币的数 量是 2 元纸币数量的 4 倍,求 1 元、2 元、5 元纸币各多少张? 这里有三个未知数,自然要设 1 元、2 元、5 元的纸币分别为 x 张、y 张、z 张,依题意, 有 x+y+z=12 x+2y+5z=22 x=4y 这个问题的解必须同时满足上面三个条件,因此,我们把这三个方程全在一起,写成 x+y+z=12 ① x+2y+5z=22 ② x=4y ③ 这个方程[投影 2]含有三个相同的未知数,每个方程中含未知数的项的次数都是 1,并 且一共有三个方程,像这样的方程叫做三元一次方程组。 三、三元一次方程组的解法 怎样解三元一次方程组呢? 我们知道二元一次方程组是通过消元变成一元一次方程组来解的,那么能不能通过消 元把三元一次方程组变为二元一次方程组来解呢? 显然,把方程③分别代入方程①②消去 x 就变成了二元一次方程组,即 5y+z=12 ① 6y+5z=22 ② 因此,[投影 3]解三元一次方程组的基本思想是:通过“代入”或“加减”进行消元, 把“三元”变成“二元” ,从而把三元一次方程组转化为二元一次方程组来解。这里还体现 了化归的思想方法。 四、例题 [投影 4]例 1 解三元一次方程组 3x+4z=12 ① 2x+3y+z=9 ② 5x-9y+7 z=8 ③ 分析:消去哪一个未知数可以把这个方程组转化为二元一次方程组?怎么消元? 解:②×3+ ③,得 11x+10z=35 ④ 联立①④有 3 x +4z=7 11x+10z=35 解之,得
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x =5 x=-2 把 x =5,x=-2 代入②,得 2×5+3y+z=9 ∴y=1/3 因此,这个方程的解为 x=5 ① y=1/3 ② z=-2 ③ [投影 5]例 2 在等式 y=ax2+bx+c 中, x=-1 时 y=0, x=-2 时 y=3, x=5 时,y=60 当 当 当 求 a、b、c 的值。 解:依题意,得 a-b+c=0 ① 4a+2b+c=3 ② 25a+5b+c=60 ③ ②- ①,得 a+b=1 ④ ③- ①, a+b=1 ⑤ 联立④与⑤有 a+b=1 a+b=1 解之,得 a=3 b=-2 把 a=3,b=-2 代入①,得 c=-5 因此 a=3 b=-2 ② c=-5 答:a=3,b=-2,c=-5。 、课堂小结 本节课我们学习了三元一次方程组及其解法, 和二元一次方程组的解法一样, 都是利用 消元的思想,把“多元”化成“一元” ,从而求出方程组的解。

本章小结
一、知识结构 实际问题 设未知数,列方程 二元或三元一次方程组 二、 回顾与思考 1、什么是二元 一次方程?什么是 二元一次方程组? 什么是二元一次方 程的解?什么是二 元一次方程组的 解?

解 方 程 组
检验

代 入 法 、 加 减 法

实际问题的答案

二元或三元一次方程组的解

2、什么是消元的思想?解二元一次方程组消元的途径有哪些?
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3、列二元一次方程组解应用题与列一元一次方程解应用题有什么相同之处?有什么不 同之处? 三、例题导引 例 1 已知方程组 ? a x ? ?
y ? 1 5 , (1) ? 4 x ? b y ? ? 2 .( 2 )

甲由于看错了方程(1)中的 a,得到方程组的解为 b,得到方程组的解为 ? x ?
? 4,

? x ? ? 3 ,乙由于看错了方程(2)中的 ? ? y ? ?1

,若按正确的计算,求 x

? y ? 3.

+6y 的值。

例 2 甲、乙两件服装的成本共 500 元,商店老板为获取利润,决定将甲服装按 50﹪ 的利润定价,乙服装按 40﹪的利润定价。在实际出售时,应顾客要求,两件服装均按 9 折 出售,这样商店共获利 157 元,求甲、乙两件服装的成本各是多少元?

例 3 据研究,一般洗衣粉含量以 0.2%~0.5%为宜,即 100 千克洗衣水里含 200~500 克的洗衣粉比较合适,因为这时表面活性最大,去污效果最好。现在,洗衣缸里放了两汤匙 洗衣粉(一汤匙约 0.02 千克) 千克衣服,若要使洗衣粉的含量为 0.4%(放入衣服之后) ,4 , 容量达到 15 千克,还需加多少洗衣粉,添多少水才合适?

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