山东省菏泽市2014-2015学年高二下期中考试数学文科试题(A)及答案


2014—2015 学年度第二学期期中考试

高二数学(文)试题(A)
(导数、选修 1-2)
本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,将第 I 卷选择题的正确答案选 项填涂在答题卡相应位置上,考试结束,将答题卡上交,考试时间为 120 分钟,满分 150 分。

第Ⅰ 卷(选择题 共 50 分)
一、选择题(本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的 4 个选项中,只 有一项是符合题目要求的)
1 1. 复数( 1+ )2的值是( i )

A. 2i

B.-2i

C. 2 B) C ? 2 sin ? ? cos ?

D . -2

2.若 f ( x) ? 2 cos? ? sin x, 则f ' (? ) 等于( A. ? sin ? B. ? cos?

D ? 3 cos ? )

3.按流程图的程序计算,若开始输入的值为 x ? 3 ,则输出的 x 的值是 ( 计算 x ?

输入 x

x( x ? 1) 的值 2

x ? 100



输出结果 x

否 A. 6 B. 21 C. 156 D. 231

4.在独立性检验中,统计量 K 2 有两个临界值:3.841 和 6.635;当 K 2 >3.841 时,有 95%的 把握说明两个事件有关, 当 K 2 >6.635 时, 有 99%的把握说明两个事件有关, 当 K 2 ? 3.841 时,认为两个事件无关.在一项打鼾与患心脏病的调查中,共调查了 2000 人,经计算的

K 2 =20.87,根据这一数据分析,认为打鼾与患心脏病之间(
A.有 95%的把握认为两者有关 C.有 99%的把握认为两者有关



B.约有 95%的打鼾者患心脏病 D.约有 99%的打鼾者患心脏病

5.如图是函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的大致图象, 则 x1 ? x2 等于(
2 2

) B.
10 9

A.

16 9

C.

8 9

D.

28 9

6.有下列关系:① 正方体的体积与棱长;② 曲线上的点与该点的坐标之间的关系;③ 苹果的产 量与气候之 间的关系;④ 森林中的同一种树木,其横断面直径与高度之间的关系, 其中有 相关关系的是( A.① ② ③ ) B.① ② C.② ③ D.③ ④

7.用反证法证明命题:“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤: ①A ? B ? C ? 90?? 90?? C ? 180? ,这与三角形内角和为 180? 相矛盾, A ? B ? 90? 不成立;② 所以一个三角形中不能有两个直角;③ 假设三角形的三个内角 A 、 B 、 C 中有两个直角, 不妨设 A ? B ? 90? ,正确顺序的序号为( A.① ② ③ B.③ ① ② ) C.① ③ ② D.② ③ ① )

8.设函数 f ( x) ? kx3 ? 3(k ? 1) x2 ? k 2 ? 1 在区间(0,4)上是减函数,则 k 的取值范围是(
1 1 1 1 B. 0 ? k ? C. 0 ? k ? D. k ? 3 3 3 3 9.如图所示是 y ? f ( x) 的导数图象,则正确的判断是( )

A. k ?

① f ( x) 在(-3,1)上是增函数;② x=-1 是 f ( x) 的极小值点; ③ f ( x) 在(2,4)上是减函数,在(-1,2)上是增函数;④ x=2 是 f ( x) 的极小值点. A.① ② ③ B.② ③ C.③ ④ D.① ③ ④
2S , a?b?c

10.设△ ABC 的三边长分别为 a,b,c,△ ABC 的面积为 S,内切圆半径为 r,则 r ?

类比这个结论可知:四面体 S-ABC 的四个 面的面积分别为 S1,S2,S3,S4,内切球半径 为 R,四面体 S-ABC 的体积为 V,则 R=( A.
V S1 ? S 2 ? S3 ? S 4

) C.
3V S1 ? S 2 ? S3 ? S 4

B.

2V S1 ? S 2 ? S3 ? S 4

D.

4V S1 ? S 2 ? S3 ? S 4

第Ⅱ 卷(非选择题, 共 100 分)
二.填空题(本大题共 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分,把答案填 在答题卡中横线上) 11. 求垂直于 2 x ? 6 y ? 1 ? 0 且与 y ? x3 ? 3x 2 ? 5 相切的直线方程__________________ 12. 已知 x, y ? R, x ? y ? 2 则 x , y 中至多有一个大于 1, 在用反证法证明时, 假设应为________.
4x 在区间 (m, 2m ? 1) 上单调递增, 则实数 m 的取值范围是 x2 ? 1 14.将全体正整数排成一个三角形数阵:

13. 若函数 f ( x) ?



1

2 4 7 11 …

3 5 6 8 9 12 10 13 14 15

… … … … …

根据以上排列规律,数阵中第 n(n≥3)行的从左至右的第 3 个数是__________. 15.已知 f (x)=(2x-x2)ex,给出以下几个结论:① f (x)>0 的解集是{x|0<x<2};② f (- 2)是极 小值,f ( 2)是极大值;③ f (x)没有最小值,也没有最大值;④ f (x)有最大值,没有最小值. 其中判断正确的是________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,满分 75 分,解答应写出必要的文字说明、证明过程和演算 步骤) 16.(本小题满分 12 分) 已知复数 z ? (1)求 z; (2)求实数 a, b 的值.
(1 ? i) ? 3(1 ? i) ,若 z 2 ? az ? b ? 1 ? i , 2?i

17. (本小题满分 12 分) 某人酷爱买彩票,一次他购买了 1000 注 的彩票,共有 50 注中奖,于是他回到家对彩票 的号码进行了分析,分析后又去买了 1500 注的彩票,有 75 注中奖.请分析他对号码的研 究是否对中奖产生了大的影响.

18. (本小题满分 12 分) 某种产品的广告费支出 x 与销售额 y(单位:百万元)之间有如下对应数据: x y (1)画出散点图; (2)求回归直线方程; (3)试预 测广告支出为 10 百万元时,销售额多大? 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70

i=1

?xiyi-n x y
2 ?x2 i -n x n

n

-- - -

(注:b=
i=1



,a= y -b x ).

19.(本小题满分 12 分) 已知正数 a,b,c,d 满足 a+b=c+d,且 a<c≤d<b,求证: a ? b ? c ? d .

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x3 ? 3x 2 ? 3. (1)求曲线 y ? f ( x) 在点 x ? 2 处的切线方程; (2)若关于 x 的方程 f ? x ? ? m ? 0 有三个不同的实根,求实数 m 的取值范围.

21.(本小题满分14分) 已知函数 f ? x ? ? x ?
a2 , g ? x ? ? x ? ln x ,其中 a ? 0 . x

(1)若 x ? 1 是函数 h ? x ? ? f ? x ? ? g ? x ? 的极值点,求实数 a 的值; (2)若对任意的 x1 , x2 ? ?1,e?( e 为自然对数的底数)都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立,求实数 a 的 取值范围.

2014—2015 学年度第二学期期中考试

高二数学(文)试题(A)参考答案
(导数、选修 1-2)
1—10 BBDCA 11. 3x ? y ? 6 ? 0 14. DBDBC 12. x , y 均大于1 15.①②④ (2) ? 13. ?? 1,0?

n2 ? n ? 6 2

16.解: (1)z=1+i

?a ? ?3 ?b ? 4

17.解:根据题意可知购买 1000 注的彩票,中奖 50 注,未中奖的有 950 注;购买 1500 注彩 票,中奖 75 注,未中奖的有 1425 注.列出对应的 2× 2 列联表如下: 中奖注数 未分析 50 未中奖注数 950 总计 1000

分析后 总计

75 125

1425 2375

1500 2500

假设 H0:对彩票号码的研究与中奖无关. 由表中数据,得 K2 的观测值为 k=
2 - =0. 1000× 1500× 125× 2375

因为 0<2.706,所以没有足够的证据说明对彩票号码的分析与中奖有关. 18.解 : (1)根据表中所列数据可得散点图如下:

(2)列出下表,并用科学计算器进行有关计算 i xi yi xiyi 1 2 30 60 2 4 40 160 3 5 60 300 4 6 50 300 5 8 70 560

25 250 因此, x = =5, y = =50 5 5
2 ?x2 i =145, ?yi =13500, ?xiyi=1380, i=1 i=1 5 5 5

i=1

i=1

?xiyi-5 x ?x2 i -5 x
5 2

5

y 1380-5× 5× 50 = =6.5; 145-5× 52

于 是可得 b=

i=1

a= y -b x =50-6.5× 5=17.5. ^ 因此,所求回归直线方程为y=6.5x+17.5. ^ (3)据上面求得的回归直线方程,当广告费支出为 10 百万元时,y=6.5× 10+17.5=82.5 (百万元) 即这种产品的销售收入大约为 82.5 百万元. 19.证明:要证明 a ? b ? c ? d ,

需证明 ( a ? b ?? ? ? c ? d )2 , 需证明 a+b+2 ab <c+d+2 cd , 因为 a+b=c+d,所以只需证明 ab<cd, 需证明 ab-bc<cd-bc, 需证明 b (a-c)<c(d-b), 考虑 a+b=c+d,即 a-c=d-b, 需证明(a-c)(b-c)<0, 考虑 a-c<0,需证明 b-c>0, 而 b-c>0 显然成立, 所以 a ? b ? c ? d 成立. 20. 解(1) f ?( x) ? 6x2 ? 6x, f ?(2) ? 12, f (2) ? 7, ∴曲线 y ? f ( x) 在 x ? 2 处的切线方程为 y ? 7 ? 12( x ? 2) ,即 12 x ? y ? 17 ? 0 ; (2)记 g ( x) ? 2x3 ? 3x 2 ? m ? 3, g ?( x) ? 6 x 2 ? 6 x ? 6 x( x ?1) 令 g ?( x) ? 0, x ? 0 或 1. 则 x, g ?( x), g ( x) 的变化情况如下表

x
g ?( x)
g ( x)

(??, 0)

0 0 极大
? g (0) ? 0 , ? g (1) ? 0

(0,1)

1
0 极小

(1, ??)

?
递增

?
递减

?
递增

当 x ? 0, g ( x) 有极大值 m ? 3; x ? 1, g ( x) 有极小值 m ? 2 . 由 g ( x) 的简图知,当且仅当 ? 即?
?m ? 3 ? 0 , ? 3 ? m ? ?2 时, ?m ? 2 ? 0

函数 g ( x) 有三个不同零点,过点 A 可作三条不同切线. 所以若过点 A 可作曲线 y ? f ( x) 的三条不同切线, m 的范围是 (?3, ?2) . 21.解:(1)∵h ? x ? ? 2 x ? ∴h? ? x ? ? 2 ?
a2 ? ?? , ? ln x ,其定义域为 ? 0, x

a2 1 ? . x2 x ∵x ? 1 是函数 h ? x ? 的极值点,∴h? ?1? ? 0 ,即 3 ? a 2 ? 0 .

∵a ? 0 ,∴a ? 3 . 经检验当 a ? 3 时, x ? 1 是函数 h( x) 的极值点, ∴a ? 3 . ( 2 )对任意的 x1 , x2 ? ?1,e? 都有 f ? x1 ? ≥ g ? x2 ? 成立等价于对任意的 x1 , x2 ? ?1,e? 都有
? ? f ? x ?? ?m i n ≥ ? ? g ? x ?? ? max .

1 ? 0. x ∴ 函数 g ? x ? ? x ? ln x 在 ?1,e? 上是增函数.

当 x ? [1, e ]时, g ? ? x ? ? 1 ?

∴? ? g ? x ?? ? max ? g ? e ? ? e ? 1 . ∵ f ? ? x? ? 1?

a2 ? x ? a ?? x ? a ? ,且 x ? ?1, e? , a ? 0 . ? x2 x2

① 当 0 ? a ? 1 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴ 函数 f ? x ? ? x ?

? x ? a ?? x ? a ?
x2

?0,

a2 在[1, e ]上是增函数, x

2 ∴? ? f ? x ?? ? min ? f ?1? ? 1 ? a .

由 1 ? a 2 ≥ e ? 1,得 a ≥ e , 又 0 ? a ? 1 ,∴a 不合题意. ② 当1≤ a ≤ e 时, 若1≤ x < a ,则 f ? ? x ? ?

?0, x2 ? x ? a ?? x ? a ? . 若 a < x ≤ e ,则 f ? ? x ? ? ?0 x2 a2 ∴ 函数 f ? x ? ? x ? 在 ?1, a ? 上是减函数,在 ? a,e? 上是增函数. x ∴? f x ? f a ? ? ? ? 2a . ? ? ?? min

? x ? a ?? x ? a ?

由 2 a ≥ e ? 1,得 a ≥ 又1≤ a ≤ e ,∴

e ?1 ≤a≤e. 2

e ?1 , 2

③ 当 a ? e 且 x ? [1, e ]时, f ? ? x ? ? ∴ 函数 f ? x ? ? x ?
a2 在 x

? x ? a ?? x ? a ?
x2

?0,

?1,e? 上是减函数.

a2 ∴? . f x ? f e ? e ? ? ? ? ? ? ? ? min e a2 由 e ? ≥ e ? 1 ,得 a ≥ e , e 又 a ? e ,∴a ? e . ? e ?1 ? 综上所述, a 的取值范围为 ? , ?? ? . ? 2 ?


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