2013人教版必修四第一章三角函数简单应用例题精讲


学生姓名 授课教师 教学课题

唐嘉励

性别 上课时间



年级

高一

学科 13:00-15:00

数 学 课时:2 课时

2013 年 12 月 29 日

三角函数模型的简单应用、例题精讲 1. 如下图所示:某地一天从 6~14 时的温度变化曲线 近似满足函数: f ( x) ? A sin(?x ? ? ) ? b , x ? [6,14] , 则这段曲线的解析式为( ) 。

3? ? 3? ) ? 12 ) ? 12 B. f ( x) ? 6 sin( x ? 8 4 8 4 1 3? 1 3? ) ? 12 ) ? 12 C. f ( x) ? 6 sin( x ? D. f ( x) ? 12 sin( x ? 8 4 8 4 18 ? 6 2? ? 【解析】选 B。 b ? 12, A ? ? 6 , T ? 2(14 ? 6) ? 16, ? ? ? 。 2 16 8 ? 5? 3? 由(10,12)得 ?10 ? ? ? k? ,?? ? k? ? , k ? Z ,令 k ? 2 得 ? ? 。 8 4 4 ? 3? ) ? 12 。 故 f ( x) ? 6 sin( x ? 8 4
A. f ( x) ? 12 sin(

?

x?

教学过程

2.函数 y ? 2sin(2 x ? A. [k? ?

?
3

) 的单调增区间为(
B. [2k? ?



5? ](k ? Z ) 6 6 ? 5? C. [k? ? , k? ? ](k ? Z ) 12 12 , k? ?
【解析】选 C。令 2k? ?

?

?

3 2 5? ](k ? Z ) 。 ∴单调区间为 [k? ? , k? ? 12 12

?

2

? 2x ?

?

5? ](k ? Z ) 6 6 ? 5? D. [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z ) 6 12 , 2k? ?

?

? 2k? ?

?

,解得 k? ?

?

12

? x ? k? ?

5? , 12

3.函数 f ( x) ? sin(? x ? A、关于点 ( ,) 0 对称

?
3

)(? ? 0) 的最小正周期为 ? ,则该函数的图象(
B、关于点 ( ,) 0 对称



?

?

4

C、关于直线 x ?

?
3

3

对称

D、关于直线 x ?

?
4

对称

【解析】选 B。 T ? 值。

2?

?

? ? , ? ? 2 。把选项 A、B 代入验证。对于选项 C、D 把 x 代入后应该取得最

4.如图是函数 y=Asin(ω x+φ )+2 的图象的一部分,它的振幅、 周期、初相各是(

)

4? ? ,φ =- 3 6 2? 3? (C)A=1,T= ,φ =- 3 4
(A) A=3,T=

(B) A=1,T= : (D)

4? 3? ,φ =- 3 4 4? ? A=1,T= ,φ =- 3 6

5.要得到函数 y ? cos(2 x ? (A)左平移

?
4

) 的图象,只要将函数 y ? cos 2 x 的图象 (



? 8

(B):右平移

? 8

(C) 左平移

? 4

(D) 右平移

? 4

6.若不等式 log a x ? sin 2 x(a ? 0, a ? 1) , 对于任意 x?(0, ? ] 都成立, 则实数 a 的取值范围是 (

4



A. (0, ? )

4

B. ( ? ,1)

4

C. ( ? , ? )

4 2

D. (0,1)

?0 ? a ? 1 ? ? 【解析】选 B。 ? ,解得 ? a ? 1 。 ? 4 ?log a 4 ? 1 ?
7.要得到函数 y ?

) 的图象上所有的点的( 4 1 ? (A) 横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变),再向左平行移动 个单位长度 2 8 1 ? (B) 横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 2 4 ? (C):横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向左平行移动 个单位长度 4 ? (D) 横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变) ,再向右平行移动 个单位长度 8

2 cos x 的图象,只需将函数 y ? 2 sin(2 x ?

?



8. 函数 f ( x) ? tan(

?
4

? x) 的单调增区间为 (



A: (k? ? C. (k? ?

?

3? ? , k? ? ), k ? Z 4 4
2 , k? ?

B. (k? ?

?
4

, k? ?

?

3? ), k ? Z 4

2

), k ? Z

D. (k? , (k ? 1)? ), k ? Z

9. 已知函数 y ? A sin(? x ? ? ) ? B( A ? 0, ? ? 0,| ? |? ? ) 的周期为 T, 在一个周期内的图像如图所示, 则正 2 确的结论是( A. A ? 3, T ? 2? C: T ? 4? , ? ? ? ) B. B ? ?1, ? ? 2

?
6

D. A ? 3, ? ?

?
6

10.将 y ? sin 4 x 的图象向左平移 则 ? 等于 ( A、 ? ) B、 ?

? 个单位,得到 y ? sin(4 x ? ? ) 的图象, 12
? 3

? 12

?
3

C:

D、

11.下列函数中,最小正周期为 ? ,且图像关于直线 x ? A. y ? sin(2 x ? C. y ? sin(2 x ?

?
3

? 12


对称的是(

? ?
3 6

) )

B: y ? sin(2 x ? D. y ? sin( ?

?
6 )

)

12.将函数 y ? sin 2 x 的图象向左平移 的函数解析式是( A. y ? cos 2 x )

? 个单位,再向上平移 1 个单位,所得图象 4

x 2

?
6

B: y ? cos 2 x ? 1

C. y ? 1 ? sin(2 x ?

?
4

)

D. y ? 2sin 2 x

13.将函数 y ? 3 sin 2 x 的图像向左平移

? 个单位得到图像的解析式为_______. 8
?
2 ) 的图像如图所示,则该函数的解析式为

14. 已 知 函 数 y ? A sin(? x ? ? )??,??( A ? 0?,?? ? 0?,?| ? |? ____________.

答案: y ? 2 sin(2 x ?

?

) 6 。

15.函数 y ? 3sin(2 x ?

?

? ? 3? ? ), x ? ? , ? 的值域是 3 ?3 4 ?

? 析 】 因 ), 【y 解 3sin(2 x ? 为 x ? ? 3

?

? ? 4? ? ? 3? ? , ? , 所 以 2x ? ?[ , ] 。 由 正 弦 函 数 的 图 象 可 知 3 3 3 ?3 4 ?

? 3 3 3sin(2 x ? ) ? [? ,3] 。答案: 3 3 3 2 [? ,3] 2
? 16.函数 y ? tan(2 x ? ) 的周期为_________。 3
【解析】函数 y ? tan(2 x ?

?
3

) 加绝对值后周期不变。答案:

? 2

17.函数 y=sin(2x+

? )的图象的一条对称轴是 4

π? ? ? 2x ? ? 3 ? (x∈R),有下列命题: 18.关于函数 f (x) = 4sin ?

π ①:函数 y ? f (x) )的表达式可改写为 y = 4cos(2x ); 6 ②.函数 y ? f (x) 是以 2π 为最小正周期的周期函数;
? π ? 0 ?? , ? ? 对称;

③:函数 y ? f (x) 的图象关于点 ? 6

π ④.函数 y ? f (x) 的图象关于直线 x = 对称. 6 其中正确的是______________.
? 19.函数 f ( x) ? 3 cos(2 x ? 56 ) 的图象为 C ,如下结论中正确的是_________(写出所有正确结论的

编号) . ①.图象 C 关于直线 x ? ②:图象 C 关于点 ?

11? 对称; 6

? 2π ? ,? 对称; 0 ? 3 ?
? π 5π ? , ? 内是增函数; ? 12 12 ?

③:函数 f ( x) 在区间 ? ?

④.由 y ? 3sin 2 x 的图像向右平移 20.已知函数 f ( x) ? 2sin( 最小值是_______

?

x ? ) ,若对任意 x ? R 都有 f ( x1 ) ? f ( x) ? f ( x2 ) 成立,则 x1 ? x2 的 2 5
答案:2

?

π 个单位长度可以得到图象 C . 3

21.设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的最高点 D 的坐标为( 3? ; ,0 ) 8

?
8

,由最高点 D ,2 )

运动到相邻最低点时,函数图形与 x 的交点的坐标为( (1)求函数 f (x) 的解析式. (2)当 x ? ??

? ? ?? , ? 时,求函数 f (x) 的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自 ? 4 4?

变量 x 的值.

? (3)将函数 y ? f (x) 的图象向右平移 4 个单位,得到函数 y ? g (x) 的图象,求函数 y ? g (x) 的
单调减区间. 【解析】 (1)∵由最高点 D(
? T 3? ? ?4 ? 8 ? 8 ? ∴ ?A ? 2 , ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ? 8

?
8

,2 )运动到相邻最低点时,函数图形与 x 的交点的坐标为(

3? , ,0 ) 8

???????2 分

从而 T ? ? , ? ?

? 2? ? 2 ,? ? T 4

??????3 分

? 函数解析式为 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

(2)由(1)得函数 y ? 2 sin(2 x ? 当 x ? ??

?

4 4

) ),

??????4 分

? ? ? 3? ? ? ? ?? , ? 时, 2 x ? ? ?? , ? . 4 ? 4 4 ? ? 4 4?

??????5 分

∴当 2 x ? 当 2x ?

?
4 ?

??

?
4

,即 x ? ?

?
4

时,函数 y 取得最小值 ? 2 . ??????7 分 ??????9 分

?
4

?
2

,即 x ?

?
8

时,函数 y 取得最大值 2.

(3)由题意得, g ( x) ? 2 sin[2( x ?

] ,? g ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ,????10 分 4 4 4 ? ? 3? 3? 7? 由 2 x ? ? [2k? ? ,2k? ? ]( k ? Z ) 得, x ? [k? ? , k? ? ]( k ? Z ) 4 2 2 8 8
???????11 分 即 y ? g (x) 的单调减区间为 [k? ?

?

)?

?

?

3? 7? , k? ? ]( k ? Z ) . 8 8

???????12 分

22.已知函数 y ? 2 sin(2 x ?

?
3

)。

(1)求它的振幅、周期和初相; (2)用五点法作出它一个周期的大致图象; (3)说明 y ? 2 sin(2 x ?

?
3

) 的图象可由 y ? sin x 的图象经过怎样的变换而得到?

23.已知某海滨浴场的海浪高度 y (单位: 与时间 t 米) (0≤t≤24) (单位: 的函数关系记作 y=f(t), 时) 下表是某日各时的浪高数据: t(时) y(米) 0 1.5 3 1.0 6 0.5 9 1.0 12 1.5 15 1.0 18 0.5 21 0.99 24 1.5

经长期观测,函数 y=f(t)可近似地看成是函数 y ? A cos ?t ? b 。 (1)根据以上数据,求出函数 y ? A cos ?t ? b 的最小正周期 T 及函数表达式(其中 A>0,ω >0) ; (2)根据规定,当海浪高度不低于 0.75 米时,才对冲浪爱好者开放,请根据以上结论,判断一 天内从上午 7 时至晚上 19 时之间,该浴场有多少时间可向冲浪爱好者开放?
1 ? y ? cos( t ) ? 1 2 6 【解析】 (1)T=12, 。 1 ? 3 ? 1 cos( t ) ? 1≥ cos( t ) ≥ ? 6 4, 6 2, (2) 2

??4 分

??6 分

2 ? 2 2k? ? ? ≤ t ≤ 2k? ? ? 3 6 3 (k∈Z)即 12k ? 4 ≤t ≤12k ? 4 (k∈Z) ??10 分 ∴ ,

由 7≤t≤19,得 8≤t≤16,知该浴场有 8 小时可向冲浪爱好者开放。

??12 分

24.我们把平面直角坐标系中,函数 y = f ( x), x ? D 上的点 P ? x, y ? ,满足 x ? N , y ? N 的点称为
? ?

函数 y = f ( x) 的“正格点” 。 ⑴请你选取一个 m 的值,使对函数 f ( x) ? sin mx, x ? R 的图像上有正格点,并写出函数 的一个正格点坐标。 ⑵若函数 f ( x) ? sin mx, x ? R , m ? ?1, 2 ? 与函数 g ( x) ? lg x 的图像有正格点交点,求 m 的值,并写出两个函数图像的所有交点个数。 ⑶对于⑵中的 m 值,函数 f ( x) ? sin mx, x ? ?0, ? 时,不等式 log a x ? sin mx 恒成立, 9 求实数 a 的取值范围。 【解析】 (1)若取 m ?

? 5? ? ?

?
2

时,正格点坐标 ?1,1? ? 5,1? , ? 9,1? 等(答案不唯一)

(2)作出两个函数图像,

可知函数 f ( x) ? sin mx, x ? R ,与函数 g ( x) ? lg x 的图像有正格点交点只有一个点为

?10,1? ,??????????????????????????5 分
? 2k? ?

?
2

? 10m, m ?

4k ? 1 ? ,?k ? Z ? 20

? m ? ?1, 2 ? 可得 m ?

9? 。???????????????????7 分 20

根据图像可知:两个函数图像的所有交点个数为 5 个。?????????9 分 (3)由(2)知 f ( x) ? sin

9? ? 5? x, x ? ?0, ? , 20 ? 9?

ⅰ)当 a ? 1 时,不等式 log a x ? sin mx 不能成立??????10 分 ⅱ)当 0 ? a ? 1时,由图(2)像可知 log a

5 ? 2 ???????11 分 ? sin ? 9 4 2

?5? ? ? ?9?

2

? a ? 1 ?????????????????????????12 分

25.设函数 f ( x) ? A sin(?x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, | ? |?

?
2

) 的最高点 D 的坐标为(

?
8

,2 ) ,由最高点 D

运动到相邻最低点时,函数图形与 x 轴的交点的坐标为( (1)求函数 f (x) 的解析式; (2)当 x ? ??

3? ,0 ). 8

? ? ?? , ? 时,求函数 f (x) 的最大值和最小值以及分别取得最大值和最小值时相应的自 ? 4 4?

变量 x 的值;

(3)将函数 y ? f (x) 的图象向右平移 单调 【解析】 (1)∵由最高点 D(
? T 3? ? ?4 ? 8 ? 8 ? ∴ ?A ? 2 , ? ? ? ?? ? ? ? ? 2 ? 8

? 4

个单位,得到函数 y ? g (x) 的图象,求函数 y ? g (x) 的

?
8

,2 )运动到相邻最低点时,函数图形与 x 的交点的坐标为(

3? , ,0 ) 8

???????2 分

从而 T ? ? , ? ?

? 2? ? 2 ,? ? T 4

???????4 分

? 函数解析式为 f ( x) ? 2 sin(2 x ?

?

(2)由(1)得函数 y ? 2 sin(2 x ?

?

4 4

) ),

???????5 分

当 x ? ??

? ? ? 3? ? ? ? ?? , ? 时, 2 x ? ? ?? , ? . 4 ? 4 4 ? ? 4 4?

???????6 分

∴当 2 x ? 当 2x ?

?
4 ?

??

?
4

,即 x ? ?

?
4

时,函数 y 取得最小值 ? 2 . ???????8 分 ???????10 分

?
4

?
2

,即 x ?

?
8

时,函数 y 取得最大值 2.

(3)由题意得, g ( x) ? 2 sin[2( x ?

] ,? g ( x) ? 2 sin(2 x ? ) ,?????12 分 4 4 4 ? ? 3? 3? 7? 由 2 x ? ? [2k? ? ,2k? ? ]( k ? Z ) 得, x ? [k? ? , k? ? ]( k ? Z ) 4 2 2 8 8
???????13 分 即 y ? g (x) 的单调减区间为 [k? ?

?

)?

?

?

3? 7? , k? ? ]( k ? Z ) . 8 8

???????14 分


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