数列极限


第二章 §1
教学目标:

数列极限

数列极限概念

1°使学生初步掌握数列极限这一重要概念的内涵与外延; 2°使学生学会用定义证明极限的基本方法; 3°通过知识学习,加深对数学的抽象性特点的认识;体验数学概念形成的抽象化思维方法; 体验数学“符号化”的意义及“数形结合”方法; 4°了解我国古代数学家关于极限思想的论述,增强爱国主义观念。

我们已经有了函数的概念, 但如果我们只停留在函数概念本身去研究运动, 即如果仅仅 把运动看成物体在某一时刻在某一地方, 那我们就还没有达到揭示变量变化的内部规律的目 的, 我们就事实上还没有脱离初等数学的领域, 只有我们用动态的观点揭示出函数 y=f (x) 所确定的两个变量之间的变化关系时, 我们才算真正开始进入高等数学的研究领域。 极限是 进入高等数学的钥匙和工具。我们从最简单的也是最基本的数列极限开始研究。

1 数列极限的概念 课题引入 1°予备知识:数列的定义、记法、通项、项数等有关概念。 2°数列极限来自实践,它有丰富的实际背景。我们的祖先很早就对数列进行了研究,早在战 国时期就有了极限的概念 例 1 战国时代哲学家庄周所著的《庄子。天下篇》引用过一句 话:“一尺之棰,日取其半,万世不竭。”也就是说一根一尺 长 的木棒,每天截去一半,这样的过程可以一直无限制的进行下去。 将每天截后的木棒排成一

列,如图所示, 其长度组成的数列为 ? n=10; x=0:n; y=1./2.^x; x1=[0:n]; y1=1./2.^x; line([x1;x1],[0*x1;y1],'linewidth',5) axis([-1,n+1,0,1.1])

?1? , n ? ?2 ?

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

2

4

6

8

10

分析:1°、 ?

?1? 随 n 增大而减小,且无限接近于常数 0; n? ?2 ?

2°数轴上描点,将其形象表示:

1/4 -1 0 1/2

1

将其一般化,即引出“数列极限”概念 例2 三国时期,我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想: 用直径为 1 的圆周分成

六等份,量得圆内接正六边形的周长,再平分各弧量出内接正十二边形的周长,这样无限制的 分割下去,就得到一个(内接多边形的周长组成的)数列.

r
A
E B

an+1
D

an

DE ? r ? r 2 ?
2

a , r ?1 ? 4
2 4 ? an )

2 n

a

2 n ?1

a2 a2 ?a ? ? ? n ? ? DE 2 ? n ? ( 1 ? 1 ? n ) 2 = 2 ? 4 4 ? 2?

用 Matlab 计算 an 和图示如下:(c12(n))

clf, n=5; t=0:2*pi/n:2*pi; r=1*ones(size(t));
150 90 120 0.8 0.6 30 0.4 0.2 1 60

for i=1:n; for j=6*2^i;
180

0

end z=j*sin(pi./i);
210 330

end polar(t,r);
240 270 300

可以看出,随着 n 的无限增大, an 无限地接近圆的周长

? 。 这正如刘徽所说“割之弥细,所失弥小,割之又

割,以之不可割,则与圆合体而无所失矣” 这两个数列有一个共同的特征,都存在一个常数 A , 当 n 充分大时, | an ? A | 充分的 小, 即不管事先给多么小的一个正数, 比如 0.1, 0.01, 0.001 ? , 我们都能找到一个相 应的自然数 N , 当 n ? N 时 | an ? A |? 0.1 , clf, n=30; k=1:n; ak=1./k; plot(k,ak,'r.'),hold on plot([0,n],[0,0]) axis([1,n,-0.5,1])
1

0.01 , 0.001, ?

0.5

0

-0.5

5

10

15

20

25

30

由此,可给出数列的定义: 对于数列 { an } ,设 A 是一个常数,若任给 ? . ? 0 ,都存在相应的自

然数 N ,

n ? N 时,

an ? A ? ? ,则称 A 为数列 { a n } 的极限。

下面我们通过图示,对数列定义作几点说明: 二 数列极限定义

1°将上述实例一般化可得: 对数列 ?a ? ,若存在某常数 a,当 n 无限增大时,an 能无限接近常数 a,则称该数为收敛数
n

列,a 为它的极限。 例如: ? n ? , ? ?

?1 ?

a=0;

? (?1) n ? ?3 ? ? n ?, ?

a=3;

?n ?,
2

a 不存在,数列不收敛; a 不存在,数列不收敛;

?(?1) ? ,
n

2°将“n 无限增大时”,数学“符号化”为:“存在 N,当 n>N 时” 将“an 无限接近 a”,数学“符号化”为:任给ε >0, 例如对 ?3 ?

a n ? a <ε

? ?

( ?1) n ? 1 ? 以 3 为极限,对ε = ,要使 n ? 10

an ? a ? 3 ?
只需取 N=10,即可 3°“抽象化”得“数列极限”的定义

1 1 (?1) n ? ?3 = n 10 n

定义:设 ?a n ? 是一个数列,a 是一个确定的常数,若对任给的正数ε ,总存在某一自然数 N,使得当 n>N 时,都有

an ? a <ε
则称数列 ?a ? 收敛于 a,a 为它的极限。记作
n

lim a n ? a {(或 an→a,(n→ ? ))
n ??

说明(1)若数列 { an } 没有极限,则称该数列为发散数列。 (2)数列极限定义的“符号化”记法:

lim a n ? a ? ?? >0, ? N , n ? N 时,有 | an ? a | ? ?
n??

(3)上述定义中ε 的双重性:ε >0 是任意的,但在求 N 时,又可视为是给定的,由“任 .. ..
2 意性”可知,不等式 an ? a <ε ,可用 | an ? a | ? 2? ,| an ? a | ? ? ,??来代替 “<”

号也可用“≤”号来代替(为什么?)

(4)上述定义中 N 的双重性:N 是仅依赖于ε 的自然数,有时记作 N ? N (? ) ,这并非 .. 说明 N 是ε 的函数:N 是对应确定的!但 N 又不是唯一的,只要存在一个 N,就会存在无 .... .... 穷多个 N (5)如何用肯定的语气叙述 lim a n ? a : n ??

? ? 0 ? 0 , ? N , ? n0 ,尽管 n0 ? N ,但 ano ? a ? ? 0
(6)如何用肯定的语气叙述,数列 { a n } 发散:

?a ? R

(7) lim a n ? a 的几何意义: n ??

, ? ? 0 (a) ? 0 , ? N , ? n0 ,尽管 n0 ? N ,但

an o ? a ? ? 0

a-ε

aN

a

a+ε

N 的 an ,都落在 a 的ε 邻城内; a 的任一ε 邻城 U (a, ? ) 外, 或 最多只有数列 ?an ? 中的有限项。 例 设 lim x n ? lim y n ? a 则数列 { x1 , y1 , x2 , y2 , ?, xn , y n ? } 也收敛于 a 证明 因为 lim x n ? lim y n ? a ,由极限的几何定义, a 的任意
n ?? n ?? n ?? n ??

即 a 的任给ε 邻城,都存在一个足够大的确定的自然数 N,使数列 ?an ? 中,所有下标大于

? 邻域 U (a, ? ) 外最

多只有数列 {xn } 和数列 { y n } 的有限项,从而 a 的任意 三、用极限定义证明 lim an ? a 的例题
n ??

? 邻域 U (a, ? ) 外最多只有数列

{ x1 , y1 , x2 , y2 , ?, xn , yn ? } 的有限项,所以 { x1 , y1 , x2 , y2 , ?, xn , yn ? } 也收敛于 a 。

例 1.证明

lim
n??

1 ? 0 (K 为正实数) nk

证:由于

1 1 ?0 ? k k n n
? 1 k

所以 ? ε >0,取 N ? [?

], 当

n ? N 时, 便有

1 ?0 ?? nk

lim ∴
n??

1 ?0 nk 3n 2 lim 2 ?3 n ?? n ?4
3n 2 12 12 ?3 ? 2 ? ? ? (为简化,限定 n ? 3 ) 2 n ?4 n ?4 n

例 2. 证明

分析,要使

只要

n?

12

?

证. ?? ? 0, 取 N ? max??

??12? ? ? , 3? ,当 n ? N , 有 ?? ? ? ?

3n 2 12 12 ?3 ? 2 ? ?? 2 n ?4 n ?4 n
lim
n ??

由定义

3n 2 ?3 n2 ? 4

适当予先限定 n ? n0 是允许的!但最后取 N 时要保证 n ? n0 例 3.证明 lim q ? 0 ,这里
n

证. 若 q ? 0 , 结果显然成立 若 0< q <1,令 q = 由于 q
n

n ??

| q | ?1

1 (h >0) 1? h

?q ?

n

1 1 1 ? 由贝努利不等式 ? n 1 ? nh nh (1 ? h)

n 所以, ? ? >0,取 N= N ? ? ? , 当 n ? N ,有 q ? 0 < ? ? ?h ?

?1?

1 lim( ) n ? 0 注:1°特别地写当 q= 时,此即为上述实例中的 n ?? 2 2
由上面数列极限的证明可总结出数列极限证明的步骤: (1) 化简

1

an ? a an ? a ,通常放大成
an ? a ? M 的形式 n

(2) 适当放大 (3) 解

M ? ? , 求出需要的 N n

例 4 证明 lim n a ? 1 ,其中 a ? 1 。
n ??

先任取数 a ? 1 ,用 Matlab 计算出 n=20; x=1:n; y1=1+3./x; hold on

n

a 的值,并将其画在坐标上

y=3.^(1./x);

plot(x,y,'r.',x,y1,'b') plot([1,n],[1,1])

axis([0,n,0,3]);

legend('a^1/n','1+a/n');

3 a 1 /n 1+a/n 2.5

2

1.5

1

0.5


0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

以看出,随着 n 的无限增大, n a 无限的接近 1,且有
n

a ? 1?

a n



| n a ?1| ?

a n

事实上,设

n

a ?1 ? hn ,则
a ? (1 ? hn ) n ? 1 ? nhn ? hn ? a ?1 a ? n n



n

n ?1 ?

a (放大) n

任给 ? ? 0 ,解

a a ?a? ? ? 得 n ? ,取 N= ? ? ,当 n > N 时, n ? ?? ?

| n a ? 1 | ? ? ,所以
证法 2 分子有理化
n

lim n a ? 1 .
n ??

a ?1 ?

a ?1
n

a n?1 ? n a n?2 ? ? ? n n ? 1

?

a ?1 (放大) n

?a? ? 任给 ? ? 0 ,可取 N= ? ? ,当 n > N 时, ?? ?

| n a ? 1 | ? ? ,所以

lim n a ? 1 .
n ??

数列极限的几何意义 (c14)

lim a n ? A ,从几何意义上讲是,A 的任意邻域外至多有数列 {an } 的 N 项,或者说 A 的
n??

任意邻域内都含有数列 {an } (除有限项以外)的所有项。

收敛的否定: 定义 ( lim a n ? a 的“ ? ? N ”定义 ).
n??

例 8 验证 lim 註:

n ?1 ? 0. n ?? n

1. 改变或去掉数列的有限项, 不影响数列的收敛性和极限. 重排不改变数列敛散性: 2. 数列极限的等价定义:

D1 : ?? ? 0, ?N , ?n ? N , ? an ? a ? k? ,
D 2 : 对 ?? : 0 ? ? ? c, ?

(k ? 0)
1 . m

D3 : 对任正整数 m, ?N , ?n ? N , ? a n ? a ?

小结:(可以师生共同总结,或教师引导学生小结,然后教师再条理一下) 本节课重点在于“数列极限的概念” ,而“用极限定义证明极限”的例题学习也是为 了巩固 极限概念。为此,同学们要注意: 重 点 难 点 1°极限概念的“ ? ? N ”叙述要熟练掌握,并注意理科 ? , N 的双重性。 2°用极限定义证明极限时, 关键是由任给的 ? >0 通过反解不等式 | an ? a | ? ? 求 N,其中的若干技巧在于化简不等式。特别注意不等式的“放大”要适度;即要尽可 能化简,又不要过度,N 的表达式一定仅依赖于 ? ,当然 N 是否是自然数,倒是无关 紧要的。 3°同学们在学习这部分知识的同时要反复体验其中渗透看的重要数学思维方法, 如: 抽象化法,数形结合法,符合化法等,这对于大家体验数学的本着特点及培养数学 思维能力是十分有益的。关于这一点希望同学们在课下复习时反复体会一下,并结 合以前学过的知识中的类似方法对照思考。

对于圆周率 ? 的估计,我国古代数学家过出了很大贡献。我国最早的算 书《周髀算经》(公元 700 年)已经谈到“圆径一而周三”,即 ? ? 3 , 三国时期(263)我国科学家刘徽就提出了“割圆求周”的思想,直径 为 1 的圆周分成六等份,量得圆内接正六边形的周长,再平分各弧量出 内接正十二边形的周长,这样分割下去,算出了 ? ? 3.14 (称徽率)。 南北朝时代的祖冲之 (429-500) 《缀术》 在 一书中求得 ? 在 3.1415926

? 与 3.1415927 之间, 于是定 ? ? 3.14159265 叫做圆率正数, ?
叫做“密率”, ? ?

355 133

22 叫做“约率 ”,后人总称“祖率”。祖冲之 的密率 要比欧洲最 7

早得出这个近似值德人鄂图早 1100 余年。


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