抛物线的简单几何性质(综合)


2.3.2抛物线的简 单几何性质(2)
高二数学 选修1-1

第二章

圆锥曲线与方程

方程
图 形 范围
对称性

y2 = 2px

y2 = -2px (p>0) y

x2 = 2py (p>0)

x2 = -2py (p>0) y

(p>0)
y

l O F x

l

y

F x

l x l

F

O

O

O

F

x

x≥0

y∈R x≤0 y∈R
关于x轴对称

x∈R y≥0
关于y轴对称

x∈R y≤0
关于y轴对称

关于x轴对称

顶点
焦半径

(0,0)
p ? x0 2

(0,0)
p ? x0 2
p ? ( x1 ? x2 )

(0,0)
p ? y0 2
p ? y1 ? y2

(0,0)
p ? y0 2
p ? ( y1 ? y2 )

焦点弦 的长度

p ? x1 ? x2

一、直线与抛物线位置关系种类
1、相离;2、相切;3、相交(一个交点, 两个交点)

y

与双曲线的 情况一样

O

x

二、判断方法探讨
1、直线与抛物线相离,无交点。

例:判断直线 y = x +2与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果:得 到一元二次方 程,需计算判 别式。相离。

O

x

二、判断方法探讨
2、直线与抛物线相切,交与一点。

例:判断直线 y = x +1与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果:得 到一元二次方 程,需计算判 别式。相切。

O

x

二、判断方法探讨 3、直线与抛物线的对称轴平行,相交与 一点。
y

例:判断直线 y = 6与抛 物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果:得到一 元一次方程,容易 x 解出交点坐标

O

二、判断方法探讨 4、直线与抛物线的对称轴不平行,相交 与两点。 例:判断直线 y = x -1与
y 抛物线 y2 =4x 的位置关系 计算结果:得到一 元二次方程,需计 算判别式。相交。

O

x

总结:
判断直线与抛物线位置关系的操作程序(一): 把直线方程代入抛物线方程

得到一元一次方程 直线与抛物线的 对称轴平行

得到一元二次方程 计算判别式 >0 =0 相切 <0 相离

相交(一个交点)

相交

判断直线与抛物线位置关系的操作程序(二) 判断直线是否与抛物线的对称轴平行 平行 数形结合 不平行 计算判别式 直线与抛物线 相交(一个交点)

>0
相交

=0
相切

<0
相离

例 1:(课本第 71 页例 6) 2 已知抛物 线的方程为 y ? 4 x , 直线 l 过定 点 P ( ?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时, 直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x : ⑴只有一个公共点; ⑵有两个公共点; ⑶没有公共点?

?

几何画板演示

例 1:(课本第 70 页例 6) 2 已知抛物 线的方程为 y ? 4 x , 直线 l 过定 点 P ( ?2,1) , 斜率为 k , k 为何值时, 直线 l 与抛物 线 y 2 ? 4 x : ⑴只有一个公共点; ⑵有两个公共点; ⑶没有公共点? 解:依题意直线 l 的方程为 y ? 1 ? k ( x ? 2) ? y ? 1 ? k ( x ? 2) 2 消去 可得 ky ? 4 y ? 4(2k ? 1) ? 0 (Ⅰ) x 联立 ? 2 (*) ? y ? 4x

当 k ? 0 时,方程(Ⅰ)只有一解,∴直线与抛物线只有一个公共点 2 当 k ? 0 时,方程(Ⅰ)的根的判别式△= ?16(2k ? k ? 1)
1 ①当△=0 时,即 k ? 0 或 ? 2

…… …… 作图直觉

……

课堂练习: 1.过点 M (0,1) 且和抛物线 C: y 2 ? 4 x 仅有一个公共点的 y ? 1或 x ? 0或 y ? x ?1 直线的方程是__________________________.
?y ? k x?1 联立 ? 2 ? y ? 4x

k

消去 x 得 ky 2 ? 4 y ? 4 ? 0

2、在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线L:4x+3y+46=0 的距离最短,并求此距离.
2答案

2、在抛物线y2=64x上求一点,使它到直线L:4x+3y+46=0 的距离最短,并求此距离.
解:直线与抛物线无交点设抛物线上一点P( x0 . y0 ),
则y0 2 ? 64x0
y0 2 将x0 ? 代入得: 64
2

4 x0 ? 3 y0 ? 46 4 x0 ? 3 y0 ? 46 d ?| |? 5 16 ? 9

y

y0 ? 3 y0 ? 46 2 y ? 48y0 ? 16? 46 ? 0 , ( y0 ? R ) d ? 16 80 5 ?当y0 ? ?24时, d min ? 2 此时P(9,?24)
另解: 设直线4 x ? 3 y ? m ? 0与抛物线相切

O

.

F

x

? y 2 ? 64x y2 ? ? 3y ? m ? 0 ? ?4 x ? 3 y ? m ? 0 16

由? ? 0得 : m ? 36

l

y

例 2 过抛物线焦点 F 的直线 交抛物线于A, B两点, 通过点A 和 抛 物线顶点的直线交抛物 线的准 线 于点 D , 求 证 : 直线 DB平行于抛物线的对称轴.
D
o

A

F B

x

分析 我们用坐标法证明 ,即通 图2.3 ? 5 过建立抛物线及直线的 方程, 借 助方程研究直线 DB与抛物线对 称轴之间的位置关系 .

建立如图 2.3 ? 5所示的直角坐标系 , 只要证明 点D的纵坐标与点 B的纵坐标相等即可 .

证明 如图 2.3 ? 5, 以抛物线 对称轴为 x轴,它的顶点为原 点, 建立直角坐标系 .

l

y

A
o

设抛物线方程为 y 2 ? 2 px,

?1?

D

F B

x

2 ? y0 ? 点A的坐标为 ? ? 2 p , y0 ? ? , 则直 图2.3 ? 5 ? ? 2p ?2? 线OA的方程为 y ? x, y0 p 抛物线的准线方程为 x ? ? . ?3? 2 p2 ?3?, 可得D点的纵坐标为 y ? ? . ?4 ? 联立?2?、 y0

?p ? 因为点 F的坐标是 ? ,0 ?, 所以 ?2 ? p x ? y 直线 AF的方程为 ? 2 2 . y0 p y0 ? 2p 2 与 y 2 ? 2 px联立, 可得B点的纵

l

y

A
o

D

F B

x

图2.3 ? 5

p2 ?5? 坐标为 y ? ? . y0 ?5?得, DB // x轴, 故DB平行于抛物线的对称轴 . 由?4?、

三.抛物线的最值与定值问题
例3、已知过抛物线 A( x1 , y1 )、B( x2 , y2 ) 的焦点F 的直线交抛物线于 y 2 ? 2 px( p ? 0) 两点。 (1) x1 ? x2是否为定值?y1 ? y2 呢? 1 1 ? ( 2) 是否为定值? y | FA | | FB | 这一结论非常奇妙,
F
O

A ( x1 , y1 )

变中有不变,动中有不动.

B ( x 2 , y2 )

x

例3.(抛物线的焦点弦问题 ) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题1:求证 :| AB |? x1 ? x2 ? p
解 : AB ? AF ? BF p p ? ( x1 ? ) ? ( x2 ? ) 2 2 ? x1 ? x2 ? p

例3.(抛物线的焦点弦问题 )
2

已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点.

丛书62页12题

2p 问题2 : 若l的倾斜角为? , 则 AB ? . 2 sin ?
解 : 若? ? 若? ?

?

2

, 则 AB ? 2 p, 此时AB为抛物线的通径 ? 结论得证 p y p )tan ? ,即x ? ? , 2 tan? 2

?
2

, 设直线l的方程为 : y ? ( x ?

代入抛物线方程得 : y 2 ? 2 py ? ? y1 y2 ? ? p 2 , y1 ? y2 ? ? AB ? 1 ? 2p , tan?

1 ? p 2 ? 0, tan?

1 1 2p y ? y ? 2 p ( 1 ? ) ? 1 2 tan 2 ? tan 2 ? sin 2 ?

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛 物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题3 : 焦点弦中, 通径最短.
解 :由问题 2知: AB ? ? sin 2 ? ? 1? 2p sin 2 ? 2p ? 2 p, sin 2 ? ? AB 的最小值为2 p,即通径最短. 通径的性质 :

?1? 通径的长度 : 2 p; ? 2 ? 通径越大, 抛物线开口越大; ? 3? 通径是抛物线的所有焦点弦中最短的.

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. p 2 问题4 : 求证 : x1 ?x2 ? , y1 ?y2 ? ? p . 4
解 :由问题 2的解法知:y1 ?y2 ? ? p 2 , y12 y2 2 ? x1 ? , x2 ? , 2p 2p ( y1 y2 )2 P 2 ? x1 x2 ? ? 2 4P 4
2

发现一个结论: 2 过抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 的焦点的一条直 线和抛物线相交 , 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 , 则 y1 ? y2 ? ? p .
2

M

这一结论非常奇妙,变中有不变,动中有不动. K?

几何解释,就是

N
2

MK ? NK ? KF

思考: “一条直线和抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 相交, 两个交点的纵坐标为 y1 、y2 ,且 y1 ? y2 ? ? p2 . 则 这条直线过焦点.”成立吗?

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题5 : 求证 : 以AB为直径的圆与准线相切
解 : 设AB的中点为M , 过A, B, M 分别作准线的垂线, 垂足分别为A1 , B1 , M1 , 则 MM1 ? AA1 ? BB1 2 ? AF ? BF 2 ? AB 2

结论得证.

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 1 1 2 问题6 : 求证 : ? ? FA FB p
解法1 : 过A, B作x轴的垂线, 垂足分别为R, S , 直线l的倾斜角为? , P , 1 ? cos? 1 1 ? cos? 1 1 ? cos? 1 1 2 ? ? ,同理 ? , ? ? . AF P BF P FA FB p ER ? EF ? FR ? P ? AF cos? ? AF ? AF ? 解法2 : 若直线l的斜率不存在, 结论显然成立, p ? ? y ? k( x ? ) 若直线l的斜率存, 设为k , 则 ? 2 ? y 2 ? 2 px ? 2 2 k p ? k 2 x 2 ? p( k 2 ? 2 ) x ? ?0 4 1 1 1 1 2 ? ? ? ? ? p p p FA FB x1 ? x2 ? 2 2

例3.(抛物线的焦点弦问题) 已知过抛物线y ? 2 px ? p ? 0 ?的焦点F的直线l交抛
2

物线于A ? x1 , y1 ? , B ? x2 , y2 ? 两点. 问题12 : S?AOB
解 : S?OAB ? S?OBF ? S ? 0 AF ? ? ? ? ?

p2 ? . 2 sin?

1 1 OF ? BF ? sin ? ? OF ? AF ? sin ? 2 2 1 OF ? ? AF ? BF ? sin ? 2 1 OF ? AB ? sin ? 2 1 p 2p ? ? 2 ? sin ? 2 2 sin ? p2 2 sin ?

总结:焦点弦问题 2
(1)|AB|=x1+x2+p
y
A1 M1 O B1

y =2px(p>0)
A(x1,y1)

p (2)x1x2= ,y1y2= - p2 4 1 1 2 ( 3) ? ? | AF | | BF | P

2

M
F B(x2,y2) X

(4) A, O, B1三点共线 , B, O, A1三点共线
(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切

中点弦问题:
例4、已知抛物线C:y2=4x,设直线与抛物线 两交点为A、B,且线段AB中点为M(2,1), 求直线l的方程.
说明:中点弦问题的解决方法:
①联立直线方程与曲线方程求解 ②点差法

例5、已知抛物线y2=2x,过Q(2,1)作直线与抛物线 交于A、B,求AB中点的轨迹方程. 丛书65页第10题
y

解: 设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x, y)
2 ? y ? 1 ? 2 x1 y1 ? y2 2 由? 2 相减得: ? ( x1 ? x2 ) ? x1 ? x2 y1 ? y2 ? y 2 ? 2 x2
?

?

A

O

.

M? Q

F
?

x
B

? k AB
又k AB

1 ? y

y ?1 ? x?2

1 y ?1 ? ? 即y 2 ? y ? x ? 2 ? 0 y x?2

当x1 ? x2 =2时, ( x, y)为(2,0)满足y2 ? y ? x ? 2 ? 0

?中点M轨迹方程为: y 2 ? y ? x ? 2 ? 0

1、求焦点为F (?2,3),准线方程为y ? 5的抛物线方程.
y

解:设P( x, y)是抛物线上任意一点
则由抛物线的定义知:
?

.
P

F

O

x

P到F的距离等于到直线 y ? 5的距离
即 ( x ? 2) 2 ? ( y ? 3) 2 ?| y ? 5 |

化简得: ( x ? 2)2 ? ?4( y ? 4)

5、过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程; (2)证明AB与x轴的交点为定值.

y
1 :y?? x k

解:(1)设lOA : y ? kx, 则lOB

A

x O F ? M ? y ? kx ? y ? 2 , x ? 2 联立? 2 A A 2 k k B ? y ? 2x 1 ? ?y ? ? x 联立? k ? yB ? ?2k , xB ? 2k 2 ? y 2 ? 2x ? x A ? xB 1 1 ? 2 2 x ? ? ( ? k ) ?2 ? ? k 2 ? ? k 2 k ?? 2 ? 轨迹方程: y ? x ? 2 y ? y 1 B ?y ? A ? ?k ? ? 2 k

.

5、过抛物线y 2 ? 2 x的顶点作互相垂直的二弦OA, OB, (1)求AB中点的轨迹方程; (2)证明AB与x轴的交点为定值.

y

(2)设A( x1. y1 ), B( x2 , y2 ).l AB : y ? kx ? b
? y ? kx ? b 联立? 2 ? k 2 x 2 ? (2kb ? 2) x ? b2 ? 0 ? y ? 2x

A
O F

.

? M

x

B

b2 2b ? x1 x2 ? 2 同理 y1 y 2 ? k k

b 2 2b ? 0 ? b ? ?2k 由OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? 0 即 2 ? k k
?l AB : y ? kx ? 2k 与x轴交点(2,0)

抛物线的最值与定值问题
如图,已知△AOB的一个顶点为抛物线 y ? 2x
2

的顶点O,A,B都在抛物线上,且∠AOB=90°。
y

(1)证明直线AB必过一定点;

(2)求△AOB面积的最小值。
O

A

y2=2x

x

B
l

6、已知直线l:x=2p与抛物线 y 2 =2px(p>0)交于A、B两点, 求证:OA⊥OB. 证明:由题意得,A(2p,2p),B(2p,2p) K
OA

K OB

所以

=1,

=-1

y

A

因此OA⊥OB
O
B

C(2p,0)
y2=2px

x

L:x=2 p

变式1: 若直线l过定点(2p,0)且与抛物线 y =2px(p>0)交于A、B 两点,求证:OA⊥OB.
y

2

A

设A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ?

O
B

设l : x ? my ? 2 p代如y 2 ? 2 px得

x P(2p,0 y2=2px )

l

y ? 2 pmy ? 4 p ? 0
2 2

....................

2 y 变式2: 若直线l与抛物线 =2px(p>0)交于A、B两点,

直线l过定点 (2p,0) 且OA⊥OB ,则_____ _____.
y

A

设A? x1, y1 ?、B ? x2 , y2 ?

设l : x ? my ? a代如y ? 2 px得
2

O
B

P
y2=2px

x

y ? 2 pmy ? 2 pa ? 0
2

l

y12 y2 2 ? y1 y2 ? ?2 pa又x1 ? 、x2 ? 2p 2p

? x1 x2 ? a 2

....................

2、设P是曲线y 2 ? 4( x ? 1)上一动点,则点P到 点(0,1)的距离与点P到y轴的距离之和的最小值是?
解:曲线y 2 ? 4( x ? 1)表示顶点在(1,0) 焦点到准线的距离为 2的抛物线
所以抛物线的准线:x ? 0, 焦点:F (2,0)
? d ?| PF |

y

d

P?

A?
O

?

.

F

x

又 | PA | ? | PF |?| AF |

?当A, P, F共线时, (| PA | ? | PF |) min ?| AF |

?(| PA | ?d )min ?| AF |? 5

4、抛物线y 2 ? x和圆( x ? 3)2 ? y2 ? 1上最近两点间的距离为? y 分析:如图, P Q 抛物线上任意一点 P与圆上任意一点 Q

| PQ |?| PA |
? | PQ | 最小值时,连线必经过 圆心

O F

.

A

?

C

x

设P( x, y),C (3,0)
?| PC |? ( x ? 3) ? y ? x ? 5x ? 9 ( x ? 0)
2 2

2

5 11 ?当x ? 时, | PC |min ? 2 2
11 ?| PQ |min ? ?1 2

总结:焦点弦问题
设AB是抛物线y2=2px(p>0)过焦点F的一条弦。

设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点M(x0,y0),
过A,B,M分别向抛物线的准线作垂线,垂足为 A1,B1,M1,则
y A1 M1 A(x1,y1)

M
O
F B(x2,y2)

B1

(1)|AB|=x1+x2+p
2

y2=2px(p>0)
y
A1 M1 A(x1,y1)

p (2)x1x2= ,y1y2= - p2 4

M
O F B(x2,y2) X

1 1 2 ( 3) ? ? | AF | | BF | P

B1

(4) A, O, B1三点共线 , B, O, A1三点共线
(5)证明:以AB为直径的圆与准线相切

高考链接:过定点Q(2p,0)的直线与
y2 = 2px(p>0)交于相异两点A、B,

以线段AB为直径作圆C(C为圆心),
试证明抛物线顶点在圆C上。
y

A

O
B

x Q(2p,0 y2=2px )

l

3、过抛物线y ? ax 2 (a ? 0)的焦点F作一直线交抛物线 1 1 于P、Q两点,若线段PF , QF的长度分别是p, q,则 ? ? ? p q y 1 2 抛物线:x ? y a ?
1 焦点:F (0, ) 4a 1 准线:y ? ? 4a

?x1 , y1 ? Q . F
?

P ? x 2 , y2 ?

O

x

焦点F(0,1/4a),准线y=-1/4a,设P(x1,y1),Q(x2,y2), 直线PQ:x=ky+k/4a 由抛物线第二定义, p=PF=y1+1/4a, q=PF2=y2+1/4a 联立y=ax^2,x=ky+k/4a, 得16a^2k^2y^2+(8ak^216a)y+k^2=0 ∴y1+y2=(16a-8ak^2)/16a^2k^2=(2-k^2)/2ak^2, y1y2=k^2/16a^2k^2=1/16a^2 1/p+1/q=1/(y1+1/4a)+1/(y2+1/4a)=[(y1+y2)+1/2a]/[y1 y2+(y1+y2)/4a+1/16a^2] =[(2-k^2)/2ak^2+1/2a]/[1/16a^2+(2k^2)/2ak^2/4a+1/16a^2](同乘8a^2k^2) =[4a(2-k^2)+4ak^2]/[k^2+2-k^2]=8a/2=4a

课堂练习: 2. 已知正方形 ABCD 的一边 CD 在直线 y ? x ? 4 上 , 顶 B 在抛物线 y 2 ? x 上,求正方形的边长. 点 A、

解:设 AB 的方程为 y=x+b, ?y ? x?b 由? 2 消去 x 得 y2-y+b=0, ?y ? x

设 A(x1,y1) , B(x2,y2), 则 y1+y2=1 , y1y2=b,
1 ∴ AB ? 1 ? 2 k
又 AB 与 CD 的距离 d=

( y1 ? y1 )2 ? 4 y1 y2 = 2 ? 8b ,
,由 ABCD 为正方形有 2 ? 8b =

4?b 2

4?b 2

,

解得 b= -2 或 b=-6.∴正方形的边长为 3 2 或 5 2 .

题型二:抛物线的最值问题 练习: 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的最小值。 解法1: 设l AB : y ? kx ? b
? y ? kx ? b ? 2 y ? x ?
? x 2 ? kx ? b ? 0
A

y
M F B

o

x

设A( x1 , y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 ) ? x1 ? x2 ? k , x1 ? x2 ? ?b
2 1 k 由弦长 | AB |? 1 ? k 2 k 2 ? 4b ? 2 ? b ? ? 2 1? k 4 k2 1 k2 k2 y1 ? y2 x1 ? x2 ? ? ? y0 ? ? k( )?b? ?b ? 2 2 1? k 4 2 2 2

k2 1 1? k 2 1 1 1 3 ? ? ? ? ? ? 1 ? ? (当k ? ?1时,取等号 ) 2 2 4 1? k 4 1? k 4 4 4
? y0 min ? 3 4

1 此时 l AB : y ? ? x ? 4

利用弦长公式解题

题型二:抛物线的最值问题 练习: 已知抛物线y=x2,动弦AB的长为2,求AB中点纵坐标的最小值。 解法二: 设A( x1, y1 ), B( x2 y2 ), AB中点M ( x0 , y0 )
2 MN ? AD ? BC , MN ?
1 AD ? BC ? 2( ? y0 ) 4
p 1 ? y0 ? ? y0 , 2 4
A D

y
M F

B

o
N C

x

AD ? AF , BC ? BF
1 AF ? BF ? 2( ? y0 ) 4

?ABF中, AF ? BF ? AB ? 2

利用定义解题
即y0 min 3 ? 4

? (| AF | ? | BF |) min ? 2

题型三:抛物线的定值问题 2 A 、B 是抛物线 y ? 2 px ( p ? 0) 上的两点,满足 3、 OA ? OB (O 为坐标原点). 求证 : ⑴ A 、B 两点的横坐标之积 , 纵坐标之 积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
解:(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),

kOA

y1 y2 ? , kOB ? x1 x2
∴ x1x2+y1y2=0

∵ OA⊥OB ∴ kOAkOB=-1 ∵ y12=2px1,y22=2px2 ∴ y1y2=-4p2

y12 y2 2 ? ? ? y1 y2 ? 0 2p 2p
∴ x1x2=4p2

∵ y1≠0,y2≠0

2 y A 、B 是抛物线 ? 2 px ( p ? 0) 上的两点,满足 3、 OA ? OB (O 为坐标原点). 求证 : ⑴ A 、B 两点的横坐标之积 , 纵坐标之

积分别为定值; ⑵直线 AB 经过一个定点.
解:⑵∵y12=2px1,y22=2px2
y1 ? y2 2p ∴ ? x1 ? x2 y1 ? y2

点差法

∴(y1-y2)(y1+y2)=2p(x1-x2)

∴ k AB ?

2p 2p ∴直线 AB: y ? y1 ? ( x ? x1 ) y1 ? y2 y1 ? y2

2 px1 2 px ∴ y? ? y1 ? y1 ? y2 y1 ? y2

y12 ? 2 px1 ? y1 y2 2 px ∴ y? ? y1 ? y2 y1 ? y2

∵ y1 ? 2 px1 , y1 y2 ? ?4 p
2

2

2p ∴ y? ( x ? 2 p) y1 ? y2

2 px ?4 p2 ∴y? ? y1 ? y2 y1 ? y2
∴ AB 过定点(2p,0).


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