北京市海淀区高一上学期期末考试数学试题及答案(2014.1)


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北 京 市 海 淀 区 2013-2014 学 年 高 一 年 级 第 一 学 期 期 末


学校 班级 姓名
本试卷共 100 分.考试时间 90 分钟. 三 题号 一 二 15 分数 16 17


成绩

2014.1

18

一.选择题:本大题共 8 小题, 每小题 4 分,共 32 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1.已知全集 U ? {1,2,3,4}, A ? {1,2}, B ? {2,3}, 则 ( A. {2,3} B. {1,2,3} C. {2,3,4}
U

A )?B ?
D. {1,2,3,4}





2.代数式 sin120? cos210? 的值为 A. ?





3 4

B.

3 4

C. ?

3 2

D.

1 4
( )

3.已知向量 a ? (1,1), b ? ( x 2 , x ? 2), 若 a, b 共线,则实数 x 的值为 A. ? 1 4.函数 f ( x ) ? A. (0, ??) B. 2 C. 1 或 ? 2 D. ? 1 或 2

1 的定义域为 lg x ? 1
B. (0,1) ? (1, ??) C. (1, ??) D. (0,10) ? (10, ??)





5.如图所示,矩形 ABCD 中, AB ? 4, 点 E 为 AB 中点,

???? ???? ???? 若 DE ? AC ,则 | DE |?
A.

( C. 3 D. 2 2



5 2

B. 2 3

6.函数 f ( x ) ?

1 ? log 4 x 的零点所在的区间是 4x 1 1 A.( 0, ) B.( ,1 ) C.( 1,2 ) 2 2
1

( D.( 2,4 )



科代表 APP : 免费的中学生智能个性化作业系统 www.zykdb.com 7.下列四个函数中,以 为最小正周期,且在区间 A. 8.已知函数 A.若 B.若 C.若 ,则 B. C. ,则下列说法中正确的是 恒成立 上为减函数的是 D. ( ) ( )

恒成立,则 ,则关于 的方程 有解,则 有解

D.若关于 的方程

二.填空题:本大题共 6 小题, 每小题 4 分,共 24 分.把答案填在题中横线上. 9. 已知角 的顶点在坐标原点,始边在 轴的正半轴,终边经过点 ,则

10.比较大小: 11.已知函数 12.如图,向量 13.已知 14.已知函数 ,则

(用“ ”,“ ”或“ ”连接). ,则 若 的值域为 则 .

,任取 . 则关于函数

,记函数 有如下结论:

在区间

上的最大值为

最小值为

,记

①函数 ②函数 ③函数 ④函数

为偶函数; 的值域为 的周期为 ; 的单调增区间为 . ;

其中正确的结论有____________.(填上所有正确的结论序号) 三.解答题:本大题共 4 小题,共 44 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 10 分)

2

科代表 APP : 免费的中学生智能个性化作业系统 www.zykdb.com 已知函数 (Ⅰ)若函数 (Ⅱ)若对任意 求 的值. 在区间 ,都有 ,其中 为常数.

上单调,求 的取值范围; 成立,且函数 的图象经过点 ,

16.(本小题满分 12 分) 已知函数 (Ⅰ)请用“五点法”画出函数 数值,再画图) ; (Ⅱ)求函数 (Ⅲ)当 的单调递增区间; 时,求函数 的最大值和最小值及相应的 的值. . 在长度为一个周期的闭区间上的简图(先在所给的表格中填上所需的

17.(本小题满分 12 分) 已知点 (Ⅰ)求证: (Ⅱ)若四边形 ,点 恒为锐角; 为菱形,求 的值. 为直线 上的一个动点.

18.(本小题满分 10 分) 已知函数 且 的定义域为 , 且 ,使得 , ,判断 的图象连续不间断. 若函数 ,则称 是否具有性质 满足: 对于给定的 ( .

) ,存在

具有性质

(Ⅰ)已知函数

,并说明理由;

(Ⅱ)已知函数



具有性质

,求

的最大值;

3

科代表 APP : 免费的中学生智能个性化作业系统 www.zykdb.com (Ⅲ)若函数 求证:对任意 的定义域为 且 ,且 ,函数 的图象连续不间断,又满足 具有性质 . ,

海淀区高一年级第一学期期末练习 数 学 2014.1
5 B 6 C 7 A 8 D

参考答案及评分标准
一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 4 分,共 32 分) 题号 答案 1 C 2 A 3 D 4 D

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分) 三、 解 (本大 6 80 15. 小 题 10 分) 解:(I)因为函数 , ………………2 分 , ………………………4 分 , 的对称轴方程为 的图象经过点 ,所以 或 ,所以 ,所以有 ………………………6 分 ………………………8 分 ………………………10 分 说明:14 题答案如果只有③ 或④,则给 2 分,错写的不给分 小 9. 10. 11. 答 题 题 共 题,共 分) ( 本 满 分

12.

13.

14.③④

所以它的开口向上,对称轴方程为 因为函数 所以 (Ⅱ)因为 所以函数 又因为函数 即 在区间 上单调递增,所以

4

科代表 APP : 免费的中学生智能个性化作业系统 www.zykdb.com 16. (本小题满分 12 分) 解: (I) 令 ,则 .填表:

………………………2分

………………4分

(Ⅱ)令 解得 所以函数 的单调增区间为

………………………6分

………………………8 分 ( Ⅲ ) 因 为 ,所以 所以当 当 , ,即 ,即 时, 时, ………………10 分 取得最小值 ;

取得最大值 1 ……………………12 分

17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为点 所以 所以 在直线 上,所以点 , ………………………3 分 ………………………1 分

所以

………………………4 分



三点在一条直线上,则


5

科代表 APP : 免费的中学生智能个性化作业系统 www.zykdb.com 得到 所以 恒为锐角. 为菱形, ,即 ,所以 ,因为 , ,所以 ………………………8 分 ………………………9 分 ,方程无解,所以 …………………5 分 ………………………6 分

(Ⅱ)因为四边形 所以 化简得到 设

所以

,所以

………………………11 分

………………………12 分 18.(本小题满分 10 分) 解: (Ⅰ)设 令 解得 所以函数 (Ⅱ) 首先当 则 所以函数 假设存在 则 当 当 时, 时, , , , , , 具有性质 ………………………3 分 , ,即 则

的最大值为 时,取 , 具有性质 ,使得函数 具有性质 ………………………5 分

6

科代表 APP : 免费的中学生智能个性化作业系统 www.zykdb.com 所以不存在 所以, (Ⅲ)任取 设 则有 ,其中 的最大值为 ,使得 ………………………7 分

……

……

以上各式相加得:

当 即 则函数 当 不妨设 由于 (当 使得 即 具有性质

中有一个为 时,不妨设为



均不为 时,由于其和为 ,则必然存在正数和负数, 其中 是连续的,所以当 时,至少存在一个 , , 时,至少存在一个 )

7

科代表 APP : 免费的中学生智能个性化作业系统 www.zykdb.com 所以,函数 具有性质 ………………………10 分

说明: 若有其它正确解法,请酌情给分,但不得超过原题分数.

8


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