天津市南开区2015届高三一模数学(文)试卷


本试卷分第Ⅰ卷 (选择题) 和第Ⅱ卷 (非选择题) 两部分. 共 150 分, 考试时间 120 分钟. 第 Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 9 页. 祝各位考生考试顺利!

第 Ⅰ卷
注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂在答题卡上; 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案标号. 3.本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 参考公式: ·如果事件 A,B 互斥,那么 ·球的体积公式 V 球=

4 3 ?R , 3

P(A∪B)=P(A)+P(B).
·棱柱的体积公式 V 柱体=Sh,

其中 R 表示球的半径.

其中 S 表示棱柱的底面积,h 表示棱柱的高. 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)i 是虚数单位,复数 (A)–i (C)–

5 ? 2i =( 2 ? 5i

) .

(B)i (D)–

21 20 – i 29 29

4 10 + i 21 21
) .

? x ? y ? 4 ? 0, ? (2)已知实数 x,y 满足约束条件 ? x ? y ? 0, ,则目标函数 z=x–2y 的最小值是( ?y ? 4 ?
(A)0 (C)–8 (B)–6 (D)–12

(3)设 A,B 为两个不相等的集合,条件 p:x?(A∩B), 条件 q:x?(A∪B),则 p 是 q 的( ). (B)充要条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分不必要条件 (C)必要不充分条件

(4)如图,是一个几何体的三视图,其中主视图、左视图是直角边长 为 2 的等腰直角三角形,俯视图为边长为 2 的正方形,则此几何体的 表面积为( ) . (B)8+4 3 (D)8+2 2 +2 3
俯视图 主视图 左视图

(A)8+4 2 (C) 6 ? 6 2

(5)已知双曲线 ax2–by2=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是 x– 3 y=0,它的一个焦 点在抛物线 y2=–4x 的准线上,则双曲线的方程为( (A)4x2–12y2=1 (C)12x2–4y2=1 (B)4x2– (D) ) .

4 2 y =1 3

4 2 2 x –4 y =1 3

(6)函数 y=log0.4(–x2+3x+4)的值域是( (A)(0,–2] (C)(–∞,–2]

) .

(B)[–2,+∞) (D)[2,+∞)

(7) 已知函数 f(x)=sin?x– 3 cos?x (?>0) 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于 若将函数 y=f(x)的图象向左平移 区间为( ) .

?
2



?
6

个单位得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)是减函数的

(A)(–

?
3

,0)

(B)(– (D)(

?
4



?
4
)

)

3 4 3 (8)已知函数f(x)=|mx|–|x–1|(m>0) ,若关于x的不等式f(x)<0的解集中的整数恰有3
个,则实数m的取值范围为( (A)0<m≤1 (C)1<m< ) . (B)

(C)(0,

?

)

?



?

3 2

4 3 ≤m< 3 2 3 (D) ≤m<2 2

南开区 2014~2015 学年度第二学期高三年级总复习质量检测(一)


题 号 得 分 二 (15) (16)


三 (17)

纸(文史类)
总分 (18) (19) (20)

第 Ⅱ卷
注意事项: 1.用黑色墨水的钢笔或签字笔答题; 2.本卷共 12 小题,共 110 分. 得 分 评卷人 二、 填空题: 本大题共 6 个小题, 每小题 5 分, 共 30 分. 请 将答案填在题中横线上。 (9)如图是某学校抽取的学生体重的频率分布直方图,已知 图中从左到右的前 3 个小组的频率依次成等差数列,第 2 小 组的频数为 15,则抽取的学生人数为 .

(10)已知公差不为 0 的等差数列{an}中,a1,a2,a5 依次成 等比数列,则

a5 = a1
2

. .

(11)如果执行如图所示的程序框图,则输出的数 S=
2

(12)过点(–2,6)作圆 x +(y–2) =4 的两条切线,切点分别为 A,B,则直 线 AB 的方程为 .
A P C O D B

(13)如图,圆 O 的割线 PAB 交圆 O 于 A、B 两 点,割线 PCD 经过圆心 O.已知 PA=AB=2 6 ,

PO=8.则 BD 的长为



(14)已知正三角形ABC的边长为2,点D,E分别在边AB,AC上,且 AD =? AB , AE =?

AC .若点F为线段BE的中点,点O为△ADE的重心,则 OF ? CF =



三、解答题: (本大题共 6 个小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 得 分 评卷人 (15) (本小题满分 13 分) 某高中从学生体能测试结果中随机抽取 100 名学 生的测试结果,按体重(单位:kg)分组,得到的 频率分布表如右图所示.

组号 第1组 第2组

分组 [50,55) [55,60) [60,65) [65,70) [70,75]

频数

频率

5


0.050 0.350


(Ⅰ) 请求出频率分布表中①、 ②位置相应的数据; 第 3 组 (Ⅱ)从第 3、4、5 组中用分层抽样抽取 6 名学 生进行第二次测试,求第 3、4、5 组每组各抽取 多少名学生进入第二次测试? 第4组 第5组

30 20 10 100

0.200 0.100 1.000

合计

(Ⅲ)在(Ⅱ)的前提下,在 6 名学生中随机抽取 2 名学生由李老师进行测试,求第 4 组 至少有一名学生被李老师测试的概率?

得 分

评卷人 (16) (本小题满分 13 分)

在非等腰△ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边,且 a=3,c=4,C=2A. (Ⅰ)求 cosA 及 b 的值; (Ⅱ)求 cos(

? –2A)的值. 3

得 分

评卷人 (17) (本小题满分 13 分)

如图,在四棱锥 P-ABCD 中,四边形 ABCD 是直角梯形,AB⊥AD,AB∥CD,PC⊥底面

ABCD,PC=AB=2AD=2CD=2,E 是 PB 的中点.
(Ⅰ)求证:平面 EAC⊥平面 PBC; (Ⅱ)求二面角 P-AC-E 的余弦值; (Ⅲ)求直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值.

得 分

评卷人 (18) (本小题满分 13 分)

设数列{an}满足: a1=1, an+1=3an, n∈N . 设 Sn 为数列{bn}的前 n 项和, 已知 b1≠0, 2bn–b1=S1 ?Sn,n∈N . (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 cn=bn?log3an,求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
*

*

得 分

评卷人 (19) (本小题满分 14 分)

x2 y2 已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1 (a>b>0)与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,F a b
为左焦点,原点 O 到直线 FA 的距离为 (Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)设 b=2,直线 y=kx+4 与椭圆 C 交于不同的两点 M,N,求证:直线 BM 与直线 AN 的交点 G 在定直线上.

2 b. 2

得 分

评卷人 (20) (本小题满分 14 分)

设函数 f(x)=(x–1)2+alnx,a∈R. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x+2y–1=0 垂直,求 a 的值; (Ⅱ)求函数 f(x)的单调区间; (Ⅲ)若函数 f(x)有两个极值点 x1,x2 且 x1<x2,求证:f(x2)>

1 1 – ln2. 4 2

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南开区 2014~2015 学年度第二学期高三年级总复习质量检测(一)
数学试卷(文史类)参考答案
一、选择题: 题 号 答 案 二、填空题: (9)60; (12)x–2y +6=0; (10)9; (11)2500; (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) A C C A D B D B 2015.04

(13)2 6 ;

(14)0

(16)解: (Ⅰ)解:在△ABC 中,由正弦定理 得

a b C = = , sin A sin B sin C
…………2 分

3 4 = , sin A sin C 3 4 3 4 因为 C=2A,所以 = ,即 = , sin A sin 2 A sin A 2 sin A cos A 2 解得 cosA= . 3
在△ABC 中,由余弦定理 a2=b2+c2–2bccosA,

…………4 分

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16 7 b+7=0,解得 b=3,或 b= . 3 3 7 因为 a,b,c 互不相等,所以 b= . 3
得 b2– (Ⅱ)∵cosA=

…………7 分

5 2 ,∴sinA= , 3 3 4 5 1 ,cos2A=2cosA2–1=– , …………11 分 9 9
…………13 分

∴sin2A=2sinAcosA=

∴cos(

? 3 4 15 ? 1 1 –2A)= cos2A+ sin2A= . 2 18 2 3

(17)解: (Ⅰ)∵PC⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴AC⊥PC. ∵AB=4,AD=CD=2,∴AC=BC= 2 . ∴AC2+BC2=AB2,∴AC⊥BC. 又 BC∩ PC=C,∴AC⊥平面 PBC. ∵AC?平面 EAC, ∴平面 EAC⊥平面 PBC. (Ⅱ)由(Ⅰ)知 AC⊥平面 PBC, ∴AC⊥CP,AC⊥CE, ∴∠PCE 即为二面角 P-AC-E 的平面角. ∵PC=AB=2AD=2CD=2, ∴在△PCB 中,可得 PE=CE= …………6 分 …………4 分

6 , 2
…………9 分

∴cos∠PCE=

CP 2 ? CE 2 ? PE 2 6 = . 2CP ? CE 3

(Ⅲ)作 PF⊥CE,F 为垂足. 由(Ⅰ)知平面 EAC⊥平面 PBC, ∵平面平面 EAC∩ 平面 PBC=CE, ∴PF⊥平面 EAC,连接 AF, 则∠PAF 就是直线 PA 与平面 EAC 所成角. …………11 分

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由(Ⅱ)知 CE=

6 2 3 ,∴PF= , 2 3

∴sin∠PAF =

PF 2 = , PA 3

即直线 PA 与平面 EAC 所成角的正弦值为

2 . 3

…………13 分

(18)解: (Ⅰ)∵an+1=3an,∴{an}是公比为 3,首项 a1=1 的等比数列, ∴通项公式为 an=3n–1. ∵2bn–b1=S1?Sn,∴当 n=1 时,2b1–b1=S1?S1, ∵S1=b1,b1≠0,∴b1=1. ∴当 n>1 时,bn=Sn–Sn–1=2bn–2bn–1,∴bn=2bn–1, ∴{bn}是公比为 2,首项 a1=1 的等比数列, ∴通项公式为 bn=2n–1. (Ⅱ)cn=bn?log3an=2n–1log33n–1=(n–1)2n–1, …………7 分 ………… 8 分 ……① ………… 4 分 ………… 2 分

Tn=0?20+1?21+2?22+…+(n–2)2n–2+(n–1)2n–1 2 T n=

0?21+1?22+2?23+……+(n–2)2n–1+(n–1)2n ……②

①–②得:–Tn=0?20+21+22+23+……+2n–1–(n–1)2n

=2n–2–(n–1)2n =–2–(n–2)2n
∴Tn=(n–2)2n+2. ………… 13 分

(19)解: (Ⅰ)设 F 的坐标为(–c,0),依题意有 bc=

2 ab, 2
…………3 分

∴椭圆 C 的离心率 e=

2 c = . a 2

(Ⅱ)若 b=2,由(Ⅰ)得 a=2 2 ,∴椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 . …………5 分 8 4

联立方程组 ?

? x 2 ? 2 y 2 ? 8, ? y ? kx ? 4

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化简得:(2k2+1)x2+16kx+24=0, 由△=32(2k2–3)>0,解得:k2> 由韦达定理得:xM+xN=

? 16k 24 …① ,xMxN= 2 …② …………7 分 2 2k ? 1 2k ? 1

3 2

设 M(xM,kxM+4),N(xN,kxN+4),

MB 方程为:y=

kx M ? 6 x–2,……③ xM kx N ? 2 x+2,……④ xN 2( kx M x N ? x M ? 3x N ) 3x N ? x M
…………9 分

NA 方程为:y=

由③④解得:y=

…………11 分

2(
=

24k ? 16k 8k ? 2 ? 2 x N ) 2( 2 ? 2 xN ) 2 2k ? 1 2k ? 1 2 k ? 1 = =1 ? 16k 16k 4 xN ? 2 4 xN ? 2 2k ? 1 2k ? 1

即 yG=1, ∴直线 BM 与直线 AN 的交点 G 在定直线上. …………14 分

(20)解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为(0,+∞),

…………1 分 …………2 分

a 2x2 ? 2x ? a f?(x)=2x–2+ = , x x
∵曲线 y=f (x)在点(1,f(1))处的切线与直线 x+2y–1=0 垂直, ∴f?(1)=a=2. 令 g(x)=2x2–2x+a,则△=4–8a. ①当△≤0,即 a≥

…………4 分

1 时,g(x)≥0,从而 f?(x)≥0, 2
…………6 分

故函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ②当△>0,即 a<

1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 1 1 时,g(x)=0 的两个根为 x1= ,x2= > ,当 2 2 2 2

1 1 ? 2a ? 1 ,即 a≤0 时,x1≤0,当 0<a< 时,x1>0. 2

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故当 a≤0 时,函数 f(x)在(0,

1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a )单调递减,在( ,+∞)单调递增;当 2 2

1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 1 ? 1 ? 2a 1 0<a< 时, 函数 f(x)在(0, ), ( , +∞)单调递增, 在( , 2 2 2 2 1 ? 1 ? 2a )单调递减. 2
…………9 分

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