2017年春季学期苏教版高中数学选修4-4学业分层测评:第一章 坐标系3 Word版含答案


学业分层测评(三) (建议用时:45 分钟) 学业达标] 1.把下列各点的球坐标化为直角坐标: π π? 2π π? ? ? (1)M?2,2,3?;(2)N?5, 3 ,2?; ? ? ? ? 3π 2π? ? (3)P?9, 4 , 3 ?. ? ? 【解】 (1)设点 M 的直角坐标为(x,y,z),M 在 xOy 平面内的射影为 M′, π π π π 则 OM′=2 sin2=2.于是 x=2cos3=1,y=2sin3= 3,z=2cos2=0. 故点 M 的直角坐标为(1, 3,0). 2π π 2π π 5 (2)x=5sin 3 cos2=0,y=5sin 3 sin2=2 3, 2π 5 z=5cos 3 =-2, 5 5? ? 点 N 的直角坐标为?0,2 3,-2?. ? ? 3π 2π 9 (3)x=9sin 4 cos 3 =-4 2, 3π 2π 9 3π 9 y=9sin 4 sin 3 =4 6,z=9cos 4 =-2 2. 9 9 ? ? 9 ∴点 P 的直角坐标为?-4 2,4 6,-2 2?. ? ? 2.把下列各点的柱坐标化为直角坐标: π 2π ? ? ? ? (1)Q?5,2,-2?;(2)R?6, 3 ,4?; ? ? ? ? 5π ? ? (3)S?8, 4 ,-3?. ? ? 【解】 (1)x=0,y=5, 故点 Q 的直角坐标为 Q(0,5,-2). 2π 2π (2)x=6cos 3 =-3,y=6sin 3 =3 3, 故点 R 的直角坐标为 R(-3,3 3,4). 5π 5π (3)x=8cos 4 =-4 2,y=8sin 4 =-4 2,故点 S 的直角坐标为 S(-4 2, -4 2,-3). 3.已知长方体 ABCDA1B1C1D1 的边长为 AB=14,AD=6,AA1=10,以这 个长方体的顶点 A 为坐标原点,以射线 AB、AD、AA1 分别为 x、y、z 轴的正半 轴,建立空间直角坐标系,求长方体顶点 C1 的空间直角坐标、柱坐标、球坐标. 【导学号:98990008】 【解】 如图,C1 点的直角坐标(x,y,z)分别对应着 CD、BC、CC1;C1 点的柱坐标(ρ,θ,z)分别对应着 CA、∠BAC、CC1;C1 点的球坐标(r,θ,φ)分 别对应着 AC1、∠BAC、∠A1AC1. C1 点的空间直角坐标为(14,6,10), C1 点的柱坐标为(2 58,θ,10)(其中 tan θ 3 5 83 3 =7),C1 点的球坐标为(2 83,φ,θ)(其中 cos φ= 83 ,tan θ=7). π 4.在球坐标面内,方程 r=1 表示空间中的什么曲面?方程 θ=4表示空间 中的什么曲面? π 【解】 方程 r=1 表示球心在原点的单位球面; 方程 θ=4表示顶点在原点, π 半顶角为4的圆锥面,中心轴为 z 轴. π π? π 3π? ? ? 5.在球坐标系中,求两点 P?3,6,4?,Q?3,6, 4 ?的距离. ? ? ? ? 【解】 将 P,Q 两点球坐标转化为直角坐标: π π 3 2 P:x=3sin6· cos4= 4 , π π 3 2 y=3sin6· sin4= 4 , π 3 3 z=3cos6= 2 , ?3 2 3 2 3 3? ∴P 点的直角坐标为? , 4 , 2 ?. ? 4 ? π 3π 3 2 Q:x=3sin6· cos 4 =- 4 , π 3π 3 2 π 3 3 y=3sin6· sin 4 = 4

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