(必修4)2.3.4平面向量共线的坐标表示


2.3.4 平面向量共线的 坐标表示

y 1. 在平面直角坐标系中,分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两单位向 yj j 量 i 、 作为基底,对于平面内的 任一向量 a ,由平面向量基本定 理可得,有且只有一对实数x、y, j O 使得 a ? xi ? y j 。这样,平面内 i 的任一向量 a 都可以由x、y唯一 确定,我们把有序数对(x,y)叫 做 向量 a 的坐标 记作 a =(x,y)

a

xi

x

上式叫做向量的坐标表示,其中的x叫做向量 轴上的坐标,y叫做向量 a 在y轴上的坐标。

a 在x

a ? (x1,y1 ) 2. 向量的坐标运算:

b ? (x2,y2 )

a ? b ? (x1 ? x2,y1 ? y2 ) a ? b ? (x1 ? x2,y1 ? y2 )

? a ? (? x1 , ? y1 )
若A( x1 , y1 ), B ( x2 , y2 ), 则 AB ? ( x2 ? x1 , y2 ? y1 ).

3.平面向量共线定理:
向量 b(b ? 0) 与向量 个实数 ? ,使得 a ? ? b . 即:

a 共线,当且仅当存在唯一一

a ∥ b(b ? 0) ? a ? ?b

思考: 设 a ? ( x1, y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) ,若 向量 a , b 共线(其中 b ≠ 0),则这两 个向量的坐标应满足什么关系?

b ? ( x2 , y2 )(其中b ? 0 ) 设 a ? ( x1, y1 ) , 若a、 b 共线,当且仅当存在实数 ? ,使

a ? ?b
用坐标表示为: ( x1 , y1 ) ? ? ( x2 , y2 ), 即:
? x1 ? ? x2 , ? ? y1 ? ? y2 .

消去 ? 后得

x1 y2 ? x2 y1 ? 0.
这也就是说,

a∥b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0
其中,a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), (b ? 0).

例1,已知a / /b, 且a ? (4, 2), b ? (6, y), 求y的值.

解: a / /b

?4 y - 2 ? 6 ? 0

?y ?3
例2. 已知A(-1 , -1),B(1 ,, 3) C (2,, 5) 试判断 A, B, C三点之间的位置关系.

解:
y


AB ? (1-(-1),3-(-1))( = 2,4)

C

AC ? (2-(-1),5-(-1))( = 3,6) 又 2 ? 6 - 3 ? 4 ? 0, ? AB∥AC 直线AB、直线AC有公共点A,



B

A

● 0

x ? A、B、C三点共线.

AB BC

1. 已知向量 a = (2,1), b = ( x, - 1), m = a + 2b, u = 2a - b, 且m∥u, 求x的值.

2. 若向量a ? (?1, x)与b ? (? x, 2)共 线且方向相同, 求x.
3. 若A(x,-1),B(1,3),C(2,5)三点共线,则x 的值为_________.
4. 若点A(-1,-1),B(1,3),C(x,5)共线,则使 AB ? ? BC 的实数 ? 的值为_________.

例3.设点 P 是线段 PP 的坐标分别是 1 2 上的一点,P 1、P 2

( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) 。

(1)当点 P 是线段 PP 的中点时,求点 P 的坐标; 1 2 (2)当点 P 是线段 PP 1 2 的一个三等分点时,求点 P 的坐标。
M

解:(1)

y P P1

1 OP ? (OP 1 ? OP 2) 2 x1 ? x2 y1 ? y2 ?( , ) 2 2
所以,点 P 的坐标为 (
x1 ? x2 y1 ? y2 , ) 2 2

P2

O
(1)

x

例3.设点P是线段P1P2上的一点,P1、P2的坐标分别是 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ) (2)当点P是线段P1P2的一个三等分点时,求点P的坐标。

解:(2) 1 ① 若点P靠近P1点则有: P P 1P ? 1P 2 ,

y

P2

3 1 OP ? OP ? P P ? OP ? P1P 2 1 1 1 3 1 ? OP (OP2 - OP 1? 1) 3 2 1 ? OP ? OP 2 1 3 3 2 x1 ? x2 2 y1 ? y2 ?( , ) 3 3 2 x ? x 2 y ? y2 ?点P的坐标( 1 2 , 1 ) 3 3

P P1

O

x

②若点 P 靠近 P 点时 2
2 则有: P P 1P ? 1P 2, 3 x1 ? 2 x2 y1 ? 2 y2 ?点P的坐标是( , ) 3 3
y P P1 P2

O

x

思考:
如图所示,P ? ? PP2时, 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 ), 当PP 1 点P的坐标是什么?
解:
若P 1 P ? ? PP 2,则 OP ? OP 1?P 1 P ? OP 1? ? OP 1?

?
1? ?

y

P1P 2
P1

P

P2

?
1? ?

(OP2 - OP 1)

1 ? ? OP OP 2 1? 1? ? 1? ? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ?( , ) 1? ? 1? ? x1 ? ? x2 y1 ? ? y2 ?点P的坐标是( , ) 1? ? 1? ?

O

x

小结: 平面向量平行(共线)等价条件的两种形式:

(1)a∥b (b ? 0) ? a ? ?b ;

(2)a∥b (a ? ( x1 , y1 ), b ? ( x2 , y2 ), b ? 0) ? x1 y2 - x2 y1 ? 0

作业:
P101 A组 3 、 4 、 5、6 B组 2( 2 )


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