数列通项公式的常见求法及答案


数列通项公式的常见求法及答案
数列常用公式 数列的通项公式与前 n 项的和的关系
n ?1 ?s1 , ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ?? an ). an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2

等差数列的通项公式
an ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;

等差数列其前 n 项和公式为
sn ? n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 ? na1 ? d ? n 2 ? (a1 ? d )n . 2 2 2 2

等比数列的通项公式
an ? a1q n ?1 ? a1 n ? q (n ? N * ) ; q

等比数列前 n 项的和公式为
? a1 (1 ? q n ) ? a1 ? an q ,q ?1 ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q 或 sn ? ? ? 1? q ? na , q ? 1 ?na , q ? 1 ? 1 ? 1

1. 数列{a n }满足 a 1 =1, 3an?1 ? an ? 7 ? 0 ,求数列{a n }的通项公式。

2. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? 3an ? 2 ,求 an . 3.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? 3n ? 2an?1 (n ? 2) ,求 an .

4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公 式;

5. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 5, an?2 ? 3an?1 ? 2 an =0 ,求数列 {a n } 的通项公 式。

6.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n? 2 ? a n?1 ? a n 求 an .

2 3

1 3

答案 1. 数列{a n }满足 a 1 =1, 3an?1 ? an ? 7 ? 0 ,求数列{a n }的通项公式。 解:由 3an?1 ? an ? 7 ? 0 得 a n ?1 ? ? a n ?
1 3 1 3 7 3 k 3 7 3 7 4

设 a n ?1 ? k ? ? (a n ? k ) ,比较系数得 ? k ? ? 解得 k ? ?
1 7 7 3 3 4 4 4 7 3 1 n ?1 7 3 1 n ?1 ∴ a n ? ? ? ? (? ) ? a n ? ? ? (? ) 4 4 3 4 4 3 2. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an?1 ? 3an ? 2 ,求 an . 7 4

∴{ a n ? }是以 ? 为公比,以 a1 ? ? 1 ? ? ? 为首项的等比数列

解:设 an?1 ? t ? 3(an ? t ) ,则 an?1 ? 3an ? 2t ? t ? 1 , an?1 ? 1 ? 3(an ? 1) ? ?an ? 1? 是以 (a1 ? 1) 为首项 , 以 3 为公比的等比数列
? an ? 1 ? (a1 ? 1) ? 3n?1 ? 2 ? 3n?1 ? an ? 2 ? 3n?1 ? 1

3.已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ? 3n ? 2an?1 (n ? 2) ,求 an .
an 2a ?1 an 2 a n ?1 ? 1? n ? 1? ? n n n 3 3n ?1 3 3 3 an 2 2 2 1 设 bn ? n ,则 bn ? 1 ? bn?1 .令 bn ? t ? (bn?1 ? t ) ? bn ? bn?1 ? t 3 3 3 3 3 a 2 8 ? t ? 3 .条件可化成 bn ? 3 ? (bn ?1 ? 3) ,数列 ?bn ? 3?是以 b1 ? 3 ? 1 ? 3 ? ? 3 3 3 an 2 8 2 为首项, 为公比的等比数列. bn ? 3 ? ? ? ( ) n?1 .因 bn ? n , 3 3 3 3 8 2 ? a n ? bn 3n ? 3n (? ? ( ) n?1 ? 3) ? an ? 3n?1 ? 2n?2 . 3 3

解:将 an ? 3n ? 2an?1 两边同除 3n ,得

4.

5. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 2, a2 ? 5, an?2 ? 3an?1 ? 2 an =0 ,求数列 {a n } 的通项公 式。 分析:递推式 an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 0 中含相邻三项,因而考虑每相邻两项 的组合,即把中间一项 a n ?1 的系数分解成 1 和 2,适当组合,可发现 一个等比数列 {an ? an?1} 。 解:由 an?2 ? 3an?1 ? 2an ? 0 得 an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an ) ? 0 即 an?2 ? an?1 ? 2(an?1 ? an) ,且 a2 ? a1 ? 5 ? 2 ? 3 ∴ {an?1 ? an }是以 2 为公比,3 为首项的等比数列 ∴ an?1 ? an ? 3 ? 2 n?1 利用逐差法 ∴ an ? 3? 2n?1 ?1
2 3 1 3

6/已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n? 2 ? a n?1 ? a n 求 an . 解:设 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) ?
2 ? s ? t ? 1 ?s ? 1 ? ? ? ? ?s ? ? 3 an?2 ? (s ? t )an?1 ? stan ? ? ?? 3 1或? 1 t ? ? ?st ? ? ? ? t ? 1 3 ? ? ? 3 ? 1 则 条 件 可 以 化 为 an? 2 ? an?1 ? ? (an?1 ? an ) ? ?an?1 ? an ? 是 以 首 项 为 3 1 1 a2 ? a1 ? 1 ,公比为 ? 的等比数列,所以 an?1 ? a n ? (? ) n?1 .问题转化为利 3 3 7 3 1 用累加法求数列的通项的问题,解得 an ? ? (? ) n?1 . 4 4 3


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