2014-2015高二数学期中试卷(含答案及解析)


●-------------------------密--------------封--------------线--------------内--------------请--------------不--------------要--------------答--------------题-------------------------●

2014-2015 高二数学期中试卷
考试时间:120 分钟 考试范围:必修五

题号 得分







总分

一 、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一个选项是符合题目要求的)
1.在等比数列 A. B.4 C. ( ) D.5

姓名:__________班级:__________考号:__________

2.设 b ? a , d ? c ,则下列不等式中一定成立的是( ) A. a ? c ? b ? d B. ac ? bd C. a ? c ? b ? d
3.已知数列 A.1 或

D. a ? d ? b ? c

是公比为 q 的等比数列,且 B.1 C.





成等差数列,则 q= D.-2

4.等差数列{ A.-2

}的前 n 项和为 B.2 C.0

,则常数 = ( ) D.不确定

5.等比数列 A. 或

中,

,前三项和 B. 或 C.

,则公比 的值为 D.

x+y-1≥0, ? ? 6.在平面直角坐标系中,若不等式组?x-1≤0, ? ?ax-y+1≥0,
等于 2,则 a 的值为( A.-5 B.1
7.如果 A.2 ,那么 B.3

(a 为常数)所表示的平面区域的面积

) C.2
的最小值是( ) C.4 D .5

D.3

8.若 a ? b ? 0 ,则下列结论正确的是(
2 2 A. a ? b

) C. a ? b ? 2b D. a ? b ? a ? b

B. ab ? b

2

9.方程 A. C.

有且仅有两个不同的实数解 B. D.

,则以下结论正确的为(

)

10.设 0 ? a ? 1 ,则关于 x 的不等式 a?x ? a ?? x ?

? ?

1? ? ? 0 的解集是 a?





A、 ? x | x ? a或x ?

? ?
? ?

1? ? a?
1? ? a?

B、 ?x | x ? a?

C、 ? x | x ? a或x ?

D、 ? x | x ?

? ?

1? ? a?

11.若实数 ,

满足条件



的最大值为( )

A.

B.

C.

D.

12.若 P= a+ a+7,Q= a+3+ a+4(a≥0),则 P、Q 的大小关系是 A.P>Q B.P=Q C.P<Q D.由 a 的取值确定

(

)

二 、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)
13.已知△ ABC 的面积为 , ,则 的最小值是___________.

14.数列

中,





,则该数列的通项为



15.在锐角 ?ABC 中,若 A ? 2B ,则

a 的取值范围是 b
是首项和公比都为 3 的等比数列,则数列 的通

16.设数列 项公式为

的前 n 项和为

,已知数列

=_____________________

三 、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.(1)解不等式 x-2|x|-15﹥0 (2)已知 a,b∈R ,求证:


a2 b2 + ≥a+b b a

18.在

中, 角 ;

的对边长分别为



的面积为

, 且

(1)求角 (2)求值:

19.已知数列{ 数列{

}是等差数列,且满足:a1+a2+a3=6,a5=5; }满足: 和 ; - = N﹡) (n≥2,n∈ ,b1=1.

(Ⅰ )求

(Ⅱ )记数列



N﹡) (n∈ ,若{

}的前 n 项和为

,求

.

20.(14 分)已知数列 (1)求数列

中,

,

(

)

的通项公式;

(2)设

,数列

的前 项和为

,求证:

.

、 C 是 三 角 形 的 三 内 角 , a、b、c 是 三 内 角 对 应 的 三 边 , 已 知 21. 在 ?ABC 中 , A、 B
(Ⅰ) 求角 A 的大小; (Ⅱ) 若 a = 7 ,且△ABC 的面积为 b2 ? c 2 ? a 2 ? bc . 的值。

3 3 2

,求 b ? c

22. (本题满分 12 分) 如图,甲船以每小时 30 海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行.当甲船

位于 A1 处时,乙船位于甲船的北偏西 105° 方向的 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的北偏西 120° 方向的 B2 处,此时两船相距 10 海里,问

乙船每小时航行多少海里?

0.2014-2015

高二数学期中试卷答案解析

一 、选择题
1.B 【解析】 试题分析:根据题意,由于等比数列 对于等比数列中奇数项的符号相同,故为 考点:等比中项性质的运用。 点评:解决该试题的关键是利用等比中项来求解,属于基础题。体现了转化与化归的思想,要 关注该知识点的运用。 正数 ,选 B. ,故选 B。

2.C
3.A 【解析】 试题分析:因为 , , 成等差数列,所以 ,解得 q=1 或 。 ,因为等比数列

中的每一项都不为 0,所以

考点:等差数列的性质;等比数列的性质。 点评:本题主要考查等差数列和等比数列的综合运算,属于基础题型。 4.A 【解析】 试题分析:因为 考点:等差数列的性质。 点评:熟记等差数列前 n 项和的性质:等差数列前 n 项和的形式一定为 一定要注意不含常数项。这条性质在选择题和填空题中可以直接应用。 5.B 【解析】 试题分析:解:∵ 选B 考点:等比数列的前 n 项和, 定积分的基本运算 点评:本题考查等比数列的前 n 项和、定积分的基本运算,求定积分关键是找出被积函数的原 函数,本题属于基础题. =18,,∴ a1+a2= (1+q)=12,?2q2-q-1=0,?q=1 或 q= ,故 的形式, 为等差数列的前 n 项和,所以 。

6.D
7.B 【解析】 试题分析:根据题意,由于 故答案为 3. 考点:均值不等式的运用 点评:主要是考查了运用均值不等式来求解函数的最值的运用属于基础题。 ,那么可知 ,当 a=1 时等号成立,

8.C 【解析】 试题分析:因为 a ? b ? 0 ,所以 a 2 ? b 2 ,所以 A 错;ab ? b 2 ,所以 B 错;若 a ? b ? a ? b 成立,则 a ? a ? b ? b,?b ? 0 ,与已知矛盾,所以 D 错. 考点:本小题主要考查不等式性质的应用考查学生的推理应用能力. 点评:应用不等式的性质时,要记准不等式成立的条件,也可以取特殊值进行验证.
9.B 【解析】 试题分析:依题意可知 x>0(x 不能等于 0) 令 , ,然后分别做出两个函数的图象.

因为原方程有且只有两个解,所以 y2 与 y1 仅有两个交点,而且第二个交点是 y1 和 y2 相切的 点, 即点 为切 点 , 因为 在切线 于是将点 代入切线方程 上. 可得: .故选 B. , 所 以 切 线的 斜 率 . 而且 点

考点:正弦函数的图象. 点评:本题考查数形结合的思想,函数图象的交点,就是方程的根,注意:y1 的图象只有 X 轴 y2 的图象是过原点的一条直线. 右半部分和 y 轴上半部分, 且原点处没有值 (因为 x 不等于 0) ;

10.A
11.A 【解析】 试题分析:根据约束条件画出可行域,可行域为一个等腰梯形,画出目标函数,通过平移可知 在点 处取到最大值,最大值为 9.

考点:本小题主要考查利用线性规划知识求最值. 点评:解决线性规划问题的前提是正确画出可行域,其次要注意适当转化.

12.【答案】C 【解析】∵P =2a+7+2 a a+7=2a+7+2 a +7a,Q =2a+7+2 a+3 a+4=2a+7 +2 a +7a+12, ∴P <Q ,∴P<Q.
2 2 2 2 2 2

二 、填空题
13. 【解析】 试题分析:根据题意,由于△ ABC 的面积为 , , =4,

那么可知 考点:余弦定理

, 可知最小值为

, 故答案为



点评:主要是根据已知的角和面积公式得到 bc 得值,然后借助于余弦定理来求解最值,属于基 础题。

14. 【解析】 试题分析:根据题意,由于数列给定了递推关系可知,数列 中, , ,

, 由此可知

的等差中项, 因此可知数列



等差数列,首项为 1,公差为 ,因此可知其通项公式为 考点:递推关系式的运用

,故答案为

点评:解决的关键是能通过前几项能发现其规律,得到数列的通项公式。属于基础题。

15.

?

2, 3

?
?
2
,且 A ? 2B ? 3B ?

【解析】 试题分析:因为 ?ABC 是锐角三角形,所以 2 B ?

?
2

,?

?
6

? B?

?
4

,

根据正弦定理

a sin A sin 2 B 2sin B cos B ? ? ? ? 2 cos B ? b sin B sin B sin B

?

2, 3 .

?

考点:本小题主要考查正弦定理、二倍角公式和余弦函数的性质,考查学生分析问题、解 决问题的能力和数形结合思想的应用. 点评:解决本题时容易漏掉 3B ?

?
2

,要注意到三角形是锐角三角形要求每个角都是锐角.

16. 【解析】 试题分析:∵数列{ }是首项和公比都是 3 的等比数列,∴ =3n.故 =3 , n≥2 时,

,故



考点:本题考查了等比数列的通项公式,等比数列的前 n 项和公式, 点评:此类问题常要求学生掌握数列的前 n 项的和 与第 n 项 的关系,属于中档题

三 、解答题 2 17.(1)原不等式可化为︱x︱ -2︱x︱-15>0 既(︱x︱+3)(︱x︱-5) >0 ∴︱x︱>5 或︱x︱<-3(舍) ∴x>5 或 x<-5 ∴原不等式的解集为{x︱x>5 或 x<-5} (2)法一:

a2 b2 a2 b2 + - (a+b)=( -b)+( -a) b a b a a 2 ? b2 b2 ? a = + b a
2

1 1 - ) b a 1 2 =(a+b) (a-b) ab
=(a -b ) (
2 2

a2 b2 ∵a,b∈R ,∴ + ≥a+b b a
+

法二:∵a,b∈R ∴



a2 b2 +b≥2a, +a≥2b b a a2 b2 ∴ + ≥a+b b a
; (2)-1.

18.(1)

【解析】 试题分析:(1) 6分

(2)原式=

14 分 考点:三角形的面积公式;余弦定理;三角函数式求值;和差公式。 点评:条件中出现平方关系多考虑余弦定理,出现一次式,一般要考虑正弦定理,属于基础题 型。

19.(Ⅰ ) 【解析】



(Ⅱ )

试题分析: (Ⅰ )∵









……2 分

∴ 又 ∴ 当

; , 时,

……3 分



,

……4 分



适合上式,

……5 分





……6 分

(Ⅱ )∵ ∴ .



……8 分

……12 分

考点:本小题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和裂项相消法求数列的前 n 项的和.

点评:等差数列和等比数列是两类重要的数列,高考中经常结合考查,要灵活运用它们的性质 解题,并掌握几种常用的数列求和的方法.

20. (1) 【解析】

;(2)只需求出



即可证明。

试题分析: (1)由 又 ,所以 ,即



,………………..3 分

是等到比数列……………………………5 ………………….………………7

(2)

………………………10

………….13

……………………………. ….14 考点:等比数列的性质;数列通项公式的求法;数列前 n 项和的求法。 点评:在求数列的通项公式时,常用的一种方法是构造新数列,通过构造的新数列是等差数列 或等比数列来求。对于递推公式形如 的形式,我们常用配凑系数构造新数列。

21.解: (Ⅰ) cos A ?

b2 ? c2 ? a2 bc 1 ? ? 2bc 2bc 2

又 A 为三角形内角,所以 A ?

?
3

……………………….4 分

(Ⅱ)解法 1:? a ? 7 , A ?

?
3

由面积公式得

1 ? 3 3 bc sin ? ,即bc ? 6        ① ……………………….6 分 2 3 2
由余弦定理得

b 2 ? c 2 ? 2bc cos

?
3
2

? 7, 即b2 ? c 2 ? bc ? 7     ② ……………………….10 分

由②变形得 (b+c) ? 25, 故b ? c ? 5 ……………………….12 分 解法 2:前同解法 1,联立①、②得

?b2 ? c 2 ? bc ? 7 ?b 2 ? c 2=13   ?? ? ?bc ? 6 ?bc ? 6
消去 b 并整理得 c 4 ? 13c 2 ? 36 ? 0 解得 c 2 ? 4或c2 ? 9 所以 ?
22. 【解析】 试题分析:如图

?c ? 2 ?c ? 3 故b ? c ? 5 或? ?b ? 3 ?b ? 2

连结 ∴ ∴ 在





,又

是等边三角形,

中,



由余弦定理得



因此乙船的速度的大小为

答:乙船每小时航行 考点:解三角形

海里。

点评:解三角形通常用正余弦定理实现边与角的互相转化。正弦定理: 余弦定理: , ,


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