【三维设计】2015届高考数学第四节 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用课件


第四节

函数 y=Asin(ωx+φ)的图像及三角函数模型的简单应用

1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念

y=Asin(ωx+ φ)(A>0,ω>0), x∈[0,+∞)表 示一个振动量

振幅

周期

频率

相位

初相

A

2π T= ω

1 ω ωx+φ f=T= 2π

φ



2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图 用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五 个关键点,如下表所示:

x ωx+φ y=Asin(ωx +φ)

φ φ π -ω - + ω 2ω

π- φ ω

3π φ - 2ω ω

2π-φ ω

0

π 2

π

3π 2



0

A

0

-A

0

1.函数图像变换要明确,要弄清楚是平移哪个函数的图像, 得到哪个函数的图像; 2.要注意平移前后两个函数的名称是否一致,若不一致,
应先利用诱导公式化为同名函数;

3.由 y=Asin ωx 的图像得到 y=Asin(ωx+φ)的图像时,需
?φ ? 平移的单位数应为?ω?,而不是|φ|. ? ?

[试一试]
? π? 1.y=2sin?2x-4 ?的振幅、频率和初相分别为 ? ?

(

)

1 π A.2, ,- π 4 1 π C.2, ,- π 8

1 π B.2, ,- 2π 4 1 π D.2, ,- 2π 8

答案:A

1 2.把y=sin x的图像上点的横坐标变为原来的2倍得到y=sin 2 ωx的图像,则ω的值为 A.1 1 C. 4 B. 4 D.2 ( )

答案:C

1.由函数y=sin x的图像变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0)的图像的两种方法

2.学会列表技巧 T 表中“五点”相邻两点的横向距离均为 ,利用这一 4 结论可以较快地写出“五点”的坐标.

[练一练]
1.要得到函数 y=cos(2x+1)的图像,只要将函数 y=cos 2x 的 图像 A.向左平移 1 个单位 1 C.向左平移 个单位 2 ( )

B.向右平移 1 个单位

1 D.向右平移 个单位 2 ? 1? 解析:∵y=cos(2x+1)=cos 2?x+2?, ? ?

1 ∴只要将函数 y=cos 2x 的图像向左平移 个单位即可. 2
答案:C

? π? 2.用五点法作函数y=sin?x-6 ?在一个周期内的图像时,主要 ? ?

确定的五个点是_____、_____、_____、_____、_____.
?π ? 答案:?6,0? ? ? ?13π ? ? ,0? ? 6 ? ?2π ? ? ,1? ?3 ? ?7π ? ? ,0 ? ?6 ? ?5π ? ? ,-1? ?3 ?

1.(2013· 四川高考)函数 f(x)=2sin(ωx+φ)
? π π? ?ω>0,- <φ< ?的部分图像如图所示, 2 2? ?

则 ω,φ 的值分别是 π A.2,- 3 π C.4,- 6

(

)

π B.2,- 6 π D.4, 3

5π ? π? 2π 3 5π ? ? 解析:因为 - -3 = ω ·,所以 ω=2,又因为 2× +φ 12 ? 4 12 ? π π π π = +2kπ(k∈Z),且- <φ< ,所以 φ=- ,故选 A . 2 2 2 3

2.(2014· 东北三校联考)已知函数 y=Asin(ωx+φ)+ π k(A>0,ω>0)的最大值为 4,最小值为 0,最小正周期为 , 2 π 直线 x= 是其图像的一条对称轴,则下面各式中符合条件 3 的解析式为
? π? A.y=4sin?4x+6 ? ? ? ? π? C.y=2sin?4x+3 ?+2 ? ?

(
? π? B.y=2sin?2x+3 ?+2 ? ? ? π? D.y=2sin?4x+ 6?+2 ? ?

)

解析:由函数 y=Asin(ωx+φ)+k 的最大值为 4,最小值 π 2π 为 0,可知 k=2,A=2.由函数的最小正周期为 ,可知 ω 2 π π = ,得 ω=4.由直线 x= 是其图像的一条对称轴,可知 2 3 π π 5 4× +φ=kπ+ ,k∈Z,从而 φ=kπ- π,k∈Z,故满 3 2 6 足题意的是
答案:D
? π? y=2sin?4x+6?+2. ? ?

[类题通法]
确定 y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法
M-m (1)求 A, b, 确定函数的最大值 M 和最小值 m, 则 A= , 2 M+m b= ; 2

2π (2)求 ω,确定函数的周期 T,则可得 ω= T ;

(3)求 φ,常用的方法有:

①代入法:把图像上的一个已知点代入(此时 A,ω,b 已知)或代 入图像与直线 y=b 的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在 下降区间上).
②五点法:确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的某一个点为 突破口.具体如下: “第一点”(即图像上升时与 x 轴的交点)时 ωx+φ=0;“第二

π 点”(即图像的“峰点”)时 ωx+φ= ;“第三点”(即图像下降时与 x 2 轴的交点)时 ωx+φ=π;“第四点”(即图像的“谷点”)时 ωx+φ= 3π ;“第五点”时 ωx+φ=2π. 2

[典例]

已知函数

?1 π? f(x)=3sin?2x-4 ?,x∈R. ? ?

(1)画出函数 f(x)在长度为一个周期的闭区间上的简图; (2)将函数 y= sin x 的图像作怎样的变换可得到 f(x)的图 像?

[ 解] (1)列表取值:
x 1 π x- 2 4 f (x ) π 2 0 0


3 π 2 π 2 3

= =
5 π 2 π 0 7 π 2 3 π 2 -3 9 π 2 2π 0

整 思体 想化

描出五个关键点并用光滑曲线连接,得到一个周期的 简图.

π (2)先把 y=sin x 的图像向右平移 个单位, 然后把所有 4 点的横坐标扩大为原来的 2 倍,再把所有点的纵坐标扩大 为原来的 3 倍,得到 f (x )的图像.
弄准平移方向是关键

规律:左加右减

本例第(2)问变为:由函数 y= sin x 的图像作怎样的变换可得到 y= π? 2sin 2x+ 3? ?的图像? ?
π 解:把 y=sin x 的图像上所有的点向左平移 个单位,得到 y= 3
? π? π? ? ? sin x+ 3 ?的图像,再把 y=sin?x+ 3 ? ?的图像上的点的横坐标缩短到原来 ? ? ? ? ? π? π? 1 ? ? ? 的 倍(纵坐标不变), 得到 y=sin?2x+ 3 ?的图像, 最后把 y=sin?2x+ 3 ? ?上 2 ? ? ? ? ? ? ? ?

? ? ? ?

所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍 ( 横坐标不变 ) ,即可得到 y = π? 2sin 2x+ 3? ?的图像. ?
? ? ? ?

[类题通法]
函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图像的两种作法
(1)五点法:用“五点法”作 y=Asin(ωx+φ)的简图,主要是通过 π 3 变量代换,设 z=ωx+φ,由 z 取 0, ,π, π,2π 来求出相应的 x, 2 2 通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图像.
(2)图像变换法: 由函数 y=sin x 的图像通过变换得到 y=Asin(ωx + φ) 的图像,有两种主要途径“先平移后伸缩”与“先伸缩后平 移”.

提醒:五点作图取值要准确,一般取一个周期之内的;函数图像 变换要注意顺序,平移时两种平移的长度不同.

[针对训练] 1.(2013· 全国卷Ⅱ)函数y=cos(2x+φ)(-π≤φ<π)的图像向右平
? π? π 移 个单位后,与函数y=sin?2x+3 ?的图像重合,则φ= 2 ? ?

________.

π 解 析 : y = cos(2x + φ) 的 图 像 向 右 平 移 个 单 位 得 到 y = 2
? ? ? π? cos?2?x-2?+φ?的图像,整理得 ? ? ? ?

y=cos(2x-π+φ).

? π? ∵其图像与y=sin?2x+3 ?的图像重合, ? ?

π π π π ∴φ-π= - +2kπ,∴φ= +π- +2kπ. 3 2 3 2 5π 5π 即φ= +2kπ.又∵-π≤φ<π,∴φ= . 6 6

5π 答案: 6

? ? π 2.(2014· 合肥模拟)设函数f(x)=cos(ωx+φ)?ω>0,-2<φ<0?的 ? ? ?π? 最小正周期为π,且f?4 ?= ? ?

3 . 2

(1)求 ω 和 φ 的值;
(2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图像.

2π 解:(1)最小正周期T= ω =π,∴ω=2.
?π? ? ? ?π ? π ∵f?4?=cos?2×4+φ?=cos?2 +φ?=-sin ? ? ? ? ? ?

3 φ= , 2

3 ∴sin φ=- . 2 π π ∵- <φ<0,∴φ=- . 2 3
? π? (2)由(1)得f(x)=cos?2x-3 ?,列表: ? ?

x π 2x- 3 f(x)

0 π - 3 1 2

π 6 0 1

5 π 12 π 2 0

2 π 3 π -1

11 π 12 3 π 2 0

π 5 π 3 1 2

图像如图所示.

[典 例 ] (2013· 安 徽 望 江 中 学 模 拟 ) 如 图 是 函 数 f (x ) = A sin(ωx + φ)(A >0,ω>0,0<φ< )的部分图像,M ,N 是它与 x 轴的 两个交点,D,C 分别为它的最高点和最低点, π2 点 F (0,1)是线段 MD 的中点, MD· MN = . 18
(1)求函数 f(x)的解析式;
(2)求函数 f(x)的单调递增区间.
π 2

点拨1 点拨2 点拨3 点拨4

确定A: 由图象上最高点的纵坐标确定. 确定T: 由 MD · MN 确定. 确定φ:首先中点坐标公式和周期确定点 M的坐标,代入函数解析式求φ. 利用整体化思想求出函数的单调递增区间

[解]

(1)由已知F(0,1)是线段MD的中点,可知A=2,

T T π2 ∵ MD· = (T为f(x)的最小正周期), MN = 4 · 2 18 2π ∴T= ,ω=3,∴f(x)=2sin(3x+φ), 3 设D点的坐标为(xD,2),则由已知得点M的坐标为(-xD,0), 1 1 2π π ∴xD-(-xD)= T= × ,则xD= , 4 4 3 12
? ? ?π ? π 则点M的坐标为?-12,0?,∴sin?4-φ?=0. ? ? ? ? ? π? π π ∵0<φ< ,∴φ= ,∴函数f(x)的解析式为f(x)=2sin?3x+4 ?. 2 4 ? ?

π π π (2)由2kπ- ≤3x+ ≤2kπ+ (k∈Z), 2 4 2 3π π 得2kπ- ≤3x≤2kπ+ (k∈Z), 4 4 2kπ π 2kπ π 得 - ≤x≤ + (k∈Z), 3 4 3 12
?2kπ π 2kπ π? ∴函数f(x)的单调递增区间为? 3 - 4 , 3 +12?(k∈Z). ? ?

[类题通法]
函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的性质
(1)奇偶性:φ=kπ 时,函数 y=Asin(ωx+φ)为奇函数;φ π =kπ+ (k∈Z)时,函数 y=Asin(ωx+φ)为偶函数. 2
(2)周期性:y=Asin(ωx+φ)存在周期性,其最小周期为 T 2π =ω.

(3)单调性:根据 y=sin t 和 t=ωx+φ 的单调性来研究,由 π π π - + 2kπ≤ωx + φ≤ + 2kπ , k ∈ Z 得单调增区间 ;由 + 2 2 2 3π 2kπ≤ωx+φ≤ +2kπ,k∈Z 得单调减区间. 2 (4)对称性:利用 y=sin x 的对称中心为(kπ,0)(k∈Z)求解,

令 ωx+φ=kπ(k∈Z),求得 x. π 利用 y=sin x 的对称轴为 x=kπ+ (k∈Z)求解,令 ωx+φ 2 π =kπ+ (k∈Z)得其对称轴. 2

π (2013· 安徽江南十校联考)将函数 y=sin x 的图像向右平移 个单 3 位,再将所得的图像上各点的横坐标不变,纵坐标伸长到原来 的 4 倍.这样得到函数 f(x)的图像.若 g(x)=f(x)cos x+ 3.
(1)将函数 g(x)化成 g(x)=Asin(ωx+φ)+
? ? π π?? B?其中A,ω>0,φ∈?-2,2 ??的形式; ? ? ?? ? ? π (2)若函数 g(x)在区间?-12,θ0?上的最大值为 ? ?

[针对训练]

2,试求 θ0 的最小

值.

? π? 解:(1)由题意可得f(x)=4sin?x-3 ?, ? ? ?1 ? ? π? 3 ∴g(x)=4sin?x-3 ?cos x+ 3=4? sin x- cos x?cos 2 ? ? ?2 ? ? π? 2 =2(sin xcos x- 3cos x)+ 3=2sin?2x-3 ?. ? ? ? π ? π? π ? π (2)∵x∈?-12,θ0?,∴2x- ∈?-2,2θ0-3 ?, 3 ? ? ? ? ? π ? ? 要使函数g(x)在 -12,θ0?上的最大值为2, ? ?

x+ 3

π π 5 当且仅当2θ0- ≥ ,解得θ0≥ π. 3 2 12 5 故θ0的最小值为 π. 12

3 1.(2013· 浙江高考)函数f(x)=sin xcos x+ cos 2x的最小正周 2 期和振幅分别是 A.π,1 C.2π,1 B.π,2 D.2π,2 ( )

[课堂练通考点]

3 1 3 解析:由 f(x)=sin xcos x+ cos 2x= sin 2x+ cos 2x= 2 2 2
? π? sin?2x+3?,得最小正周期为 ? ?

π,振幅为 1. 答案:A

π 2.(2013· 山东高考)将函数y=sin(2x +φ)的图像沿x轴向左平移 个单 8 位后,得到一个偶函数的图像,则φ的一个可能取值为 3π A. 4 C.0 π B. 4 ( )

π D.- 4 π 解析:把函数 y=sin(2x+φ)的图像向左平移 个单位后,得到的图像 8

的解析式是 y=sin

? ? π π ?2x+ +φ?,该函数是偶函数的充要条件是 +φ 4 4 ? ?

π π =kπ+ ,k∈Z,根据选项检验可知 φ 的一个可能取值为 . 2 4 答案:B

3.(2013· 嘉兴二模)函数y=sin ωx(ω>0)的部分图 像如图所示,点A、B是最高点,点C是最低 点,若△ABC是直角三角形,则ω的值为 π A. 2 π B. 4 π C. 3 D.π ( )

1 解析: 由已知得△ABC 是等腰直角三角形, 且∠C=90° , ∴ |AB| 2 =ymax-ymin=1-(-1)=2, 2π π 即|AB|=4,而 T=|AB|= ω =4,解得 ω= ,故选 A . 2

4.函数y=Asin(ωx+φ)(A、ω、φ为常数,A>0,ω>0) 在闭区间[-π,0]上的图像如图所示,则ω=_____. ? π? T 解析:由函数y=Asin(ωx+φ)的图像可知: = ?-3 ? - 2 ? ?
? 2 ? π ?- π?= , ? 3 ? 3

2 则T= π. 3 2π 2 ∵T= ω = π,∴ω=3. 3
答案:3

5.(2013· 安徽高考)设函数 f(x)=sin

? π? x+sin?x+3?. ? ?

(1)求 f(x)的最小值,并求使 f(x)取得最小值的 x 的集合;

(2)不画图,说明函数 y=f(x)的图像可由 y=sin x 的图像经过 怎样的变化得到.
1 3 解:(1)因为 f(x)=sin x+ sin x+ cos x 2 2
? π? 3 3 = sin x+ cos x= 3sin?x+6 ?, 2 2 ? ?

π π 2π 所以当 x+ =2kπ- ,即 x=2kπ- (k∈Z)时,f(x)取最小值- 3. 6 2 3

? ? 2? 此时 x 的取值集合为 ? x x ? 2k ? ? , k ? Z?. 3 ? ?

(2)先将y=sin x的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 3 倍(横坐标不变),得y= 3 sin x的图像;再将y= 3 π sin x的图像上所有的点向左平移 个单位,得y=f(x)的 6 图像.


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