2013年期末学业水平监测试题高二数学文科


2013 年秋季学期期末学业水平监测试题 高二数学(文科)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共4页。全卷满分150分,考试时间120分钟。★ 祝考试顺利 ★
注意事项: 1.考生在答题前,请务必将自己的姓名、准考证号等信息填在答题卡上.选择题每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如 需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号,答在试卷上无效。 2.填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内。答在试题卷上无效。

第Ⅰ卷(选择题,共50分)
一、 有一项正确) 选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 1. 若 f ( x) ? x 2 ? bx ? c 且 f (1) ? 0; f (3) ? 0 , 则 f (?1) ? A.0 B.-6 C.-8 D.8

2.已知函数, f ( x) ? 4x 2 ? kx ? 8 在[5, 20]上具有单调性则实数 k 的取值范围是 A[40,160] B(-∞,20]∪[80,+∞) C.[20,80] D.(-∞,40]∪[160,+∞)

3.函数 f ( x) ? 2 x ? 4x ? 4 的零点大致区间为 1 1 1 A. (0, ) B( , ) 2 3 2 4.若

1 2 C ( , ) 2 3

2 D ( ,1) 3

e1, e2

是夹角为 60.0 的两个单位向量,则向量 a ? 2e ? e 与的 b ? ?3e ? 2e 夹角为 1 2 1 2 B. 60.0 C. 120.0 D. 150.0

A. 300

5.若 a,b,c 成等比数列,则函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图像与 x 轴交点的个数为 A.0 B.1 C.2 D.0或2

6 ?ABC 中 a, b, c ,分别为的 ?A, ?B?C 对边,如果 a,b,c 成等差数列,?B ? 300 , ?ABC 的面 积为 ,那么 b=

3 2

A1 ? 3

B.

1? 3 2

C. 2 ? 3

D

2? 3 2

7.已知圆 x 2 ? y 2 ? 4 ,直线 ? : x ? y ? b ? 0 .若圆 x 2 ? y 2 ? 4 上有3个点到直线 ? : x ? y ? b ? 0 的距离为等于1则 b 的取值范围是 A. b ? 2 或 b ? ? 2 B. b ? 1 或 b ? ?1 C. ? 2 ? b ? 2 D b ? 1 或 b ? ?1

8.如图,已知点 O 是边长为1的等边三角形 ABC 的中心则 (OA ? OB )( OA ? OC ) ?

A. 1 B 1 ? 9 9 9.若曲线 范围是 A. (?
3 3 , ) 3 3

C1

6

D 1 ? 6 与曲线 有四个不同的交点,则实数 m 的取值

C1: x 2 ? y 2 ? 2x ? 0

C2: y( y ? mx ? m) ? 0

B. (?

3 3 ,0) ? (0, ) 3 3

C

D 3 3 3 3 [? , ] [??, )?( ,??) 3 3 3 3

10.函数

f ( x) ? a

2x

有零点,则 m 的取值范围是 1 x ? (1 ? ) ? a ? 1(a ? 0 a ? 1) 且 m

A. [? ,0) ? (0,1] B. (?1,? ] C. [ ? ,0) D. [1,??)

1 3

1 3

1 3

第Ⅱ卷(非选择题,共 100 分)

二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在答题卡相应 的横线上)
11.函数

f ( x) ? 3 ? 2 x ? x 2 ? lg

x ? 2 的定义率 x ?1
,且 f (a 2 ) ? f (2a) ,则实数 a 的取值范围是

12.已知幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点

2 ( 2, ) 2

13.已知五个数构成等差数列,这五个数的和为 100,若较大的三个数之和的 1 是较小两数之 和,则最小数为 14.函数
7

y ? loga ( x ? 3) ? 1(a ? 0

且 a ? 1) 的图象恒过定点 A ,若点 A 在 mx ? ny ? 1 ? 0 上,其中

mn ? 0 则 1 2 的最小值为 ? m n

15.已知 sin ?

x

? ? < < ), 则 2 2 ? cos? 4 x 10 2 cos ? ? sin ? ? ? ( 2 2 2 2 y y x y 3( x ? y )

16.三棱锥 V ? ABC 中, VA ? VB ? AC ? BC ? 2, AB ? 2 3,VC ? x

?1? 若 x ? 1 则二面角 V ? AB ? C 的大小为

?2? 当 x ?

时,三棱锥 V ? ABC 的体积最大

17.已知实数满足条件 x ? 0

则 z ? 0.5 y ? x 最大值为

y?0 4 x ? y ? 10 18x ? 15y ? 66
三、解答题 (解答应写出文字说明,证明过程和演算步骤,共 65 分)

18(本题满分 12 分)已知向量 a, b 满足

a ? 1, b ? 2

a ?b ? 7

I 设 a, b 的夹角 ? 为求 ? 的值(5 分)II 若 (a ? 2b) ? (k a ? b) 求实数 k 的值(7 分) 19 ( 本 题 满 分 12 分 ) 已 知 函 数 f ( x) ? x 2 ? ax ? b(a ? 0, b ? R) 的 图 象 经 过 坐 标 原 点 且 函 数

y ? f ( x) ?


1 有唯一零点若数列 ?an ? 的前项 n 和 S n ? f (n)(n ? N * ) 4

?an ?的通项公式(6 分)
?bn ? 满足 ?an ?? log3 n ? log3 bn 求数列 ?bn ? 的前 n 项和(6 分)
其 N ? N 0 (2 ??t ) ,

若数列

20 (本题满分 13 分) 一种放射性元素的原子数 N 随时间(单位: t 小时) 的变化规律为

中是 N , ? 正的常数。已知这种放射性元素经过 1 小时衰变,原子数减少了 1

5
I 求 ? 的值(6 分) II 当

(lg 2 ? 0.301 )

N?

N 0 时,求 t 的值(精确到 0.01,7 分) 2

21(本题满分 14 分)有一椭圆形溜冰场,长轴长 100m 短轴长 60m 现要将这个溜冰场上划定一个各顶
点都在溜冰场边界的矩形区域, 且使这个区域的面积最大, 那么应把这个矩形区域的顶点定在何处 (4 分)这时矩形的面积为多少?(10 分) 22 (本题满分 14 分) 已知抛物线 C 的顶点在原点, 焦点 F 是圆 x 2 ? y 2 ? 4x ? 3 ? 0 的圆心, 直线 l 经 过抛物线的焦点,与抛物线交于 A,B 两点, M (?1,0) 是定点 求 C 的方程(3 分) 求 MA ? MB 的取值范围(11 分)

2013 年秋季学期期末考试高二数学(文科) 参考答案与评分标准
题号 答案 1 D 2 D 3 C 4 C 5 A 6 A 7 A 8 D 9 B 10 A

5 11. X x ? ?1或x ? 2 12.13. 14.815.16.600 , 217,3 3

?

?

21、解:分别以椭圆的长轴和短轴所在直线为 x 轴,y 轴,建立平面直角坐标系,得到椭圆

x2 y2 的标准方程为 2 ? 2 ? 1 , (2 分) 50 30
设顶点 A ( x0 , y0 ), x0 ? 0, y0 ? 0 ,则
2

x0 2 y0 2 ? ?1 502 302



x2 ? 3? 2 y ? 30 (1 ? 02 ) ? ? ? (502 ? x0 ) , (4 分) 50 5 ? ?
2 0 2

根据椭圆的对称性可知 矩形的面积 S ? 4 x0 y0
2 2 由x0 y0 ? ? ?

(10 分)

9 502 2 502 2 [?( x0 ? ) ? ] 25 2 4
2

当 x0 ? 25 2时Smax ? 3000(m ) 方法 2:解方法 1“则

(14 分)

x0 2 y0 2 ? ? 2 ? 1 ”设 x0 ? 50 cos ? , y0 ? 30sin ? , 0 ? ? ? , 2 2 50 30

根据椭圆的对称性可知 矩形的面积 S ? 4 x0 y0 ? 3000sin 2? ? 3000 当? ?

?
4

,即x0 ? 25 2, y0 ? 15 2 时,矩形的面积最大,且最大值为 3000 m 2
2

22、解: (I)已知圆的圆心是 F (2, 0) ,所以抛物线 C 的方程是 y ? 8x (II)当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,

(3 分)

? y2 ? 8x 联立方程组 ? ,消去 y 整理,得 ? y ? k ( x ? 2)

ky 2 ?18 y ?16k ? 0

(?)

(5 分)

显然,直线 l 与抛物线有两个交点,即方程( ? )有两个不同的实根 y1 , y2 . 所以, y1 ? y2 ?

y2 y2 8 , y1 ? y2 ? ?16 ,且 A( 1 , y1 ), B( 2 , y2 ) k 8 8
(8 分)

???? ???? y2 y2 MA ? ( 1 ? 1, y1 ), MB ? ( 2 ? 1, y2 ) 8 8

???? ???? ???? ???? 8 MA ? MB ? ? ? 2 ? 7 ,所以, ?7 ? MA ? MB ? ?? (11 分) k
若直线 l 的斜率不存在由 ? 得, MA ? MB ? ?7

?x ? 2
2 ? y ? 8x

,得 A(2,4) ,B(2,-4)

???? ????

(13 分)

综合得,所求 MA ? MB 的取值范围是 [?7, ??) 。 (14 分)

???? ????


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