高考数学北师大版(通用,理)总复习学案:学案3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词


学案 3

简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

导学目标: 1.了解逻辑联结词“或、且、非”的含义. 2.理解全称量词与存在量词的意义.3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定.

自主梳理 1.逻辑联结词 命题中的或,且,非叫做逻辑联结词.“p 且 q” 记作 p∧q,“p 或 q”记作 p∨q,“非 p”记作綈 p. 2.命题 p∧q,p∨q,綈 p 的真假判断 p q p∧q p∨ q 綈p 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 3.全称量词与存在量词 (1) 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫 做全称量词,并用符号“?”表示.含有全称量词的命 题,叫做全称命题,可用符号简记为?x∈M,p(x),它 的否定?x∈M,綈 p(x). (2) 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通 常叫做存在量词,并用符号“?”表示.含有存在量词 的命题,叫做特称命题,可用符号简记为?x∈M,p(x), 它的否定?x∈M,綈 p(x). 自我检测 1.命题“?x∈R,x2-2x+1<0”的否定是( ) A.?x∈R,x2-2x+1≥0 B.?x∈ R,x2-2x+1>0 C.?x∈R,x2-2x+1≥0 D.?x∈ 2 R,x -2x+1<0 答案 C 解析 因要否定的命题是特称命题,而特称命题的 否定为全称命题.对 x2-2x+1<0 的否定为 x2-2x+ 1≥0,故选 C. 2.若命题 p:x∈A∩B,则綈 p 是( A.x∈A 且 x ? B x?B C.x ? A 且 x ? B ) B.x ? A 或 D.x∈A∪B

答案 B 解析 ∵“x∈A∩B”?“x∈A 且 x∈B”, ∴綈 p:x ? A 或 x ? B. 3.(2011· 大连调研)若 p、q 是两个简单命题,且“p ∨q”的否定是真命题,则必有( ) A.p 真 q 真 B.p 假 q 假 C.p 真 q 假 D.p 假 q 真 答案 B 解析 ∵“p∨q”的否定是真命题, ∴“p∨q”是假命题,∴p,q 都假. 4.(2010· 湖南)下列命题中的假命题是( ) - A.?x∈R,2x 1>0 B.?x∈N*,(x-1)2>0 C.?x∈R,lg x<1 D.?x∈R,tan x=2 答案 B 解析 对于 B 选项 x=1 时,(x-1)2=0. 5.(2009· 辽宁)下列 4 个命题: 1 1 p1:?x∈(0,+∞),( )x<( )x; 2 3 1 1 p2:?x∈(0,1),log x>log x; 2 3 1x 1 p3:?x∈(0,+∞),( ) >log x; 2 2 1 1x 1 p4:?x∈(0, ),( ) <log x. 3 2 3 其中的真命题是( ) A.p1,p3 B.p1,p4 C.p2,p3 D.p2,p4 答案 D 1 1 1 解析 取 x= ,则 log x=1,log x=log32<1, 2 2 3 p2 正确. 1 1 1 当 x∈(0, )时,( )x<1,而 log x>1,p4 正确. 3 2 3

探究点一 真假
例 1

判断含有逻辑联结词的命题的

写出由下列各组命题构成的“p∨q”、“p

∧q”、“綈 p”形式的复合命题,并判断真假. (1)p:1 是素数;q:1 是方程 x2+2x-3=0 的根; (2)p:平行四边形的对角线相等;q:平行四边形的

对角线互相垂直; (3)p:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同;q: 方程 x2+x-1=0 的两实根的绝对值相等. 解题导引 正确理解逻辑联结词“或”、“且”、 “非”的含义是解题的关键,应根据组成各个复合命题 的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的 判断.其步骤为:①确定复合命题的构成形式;②判断 其中简单命题的真假;③根据其真值表判断复合命题的 真假. 解 (1)p∨q:1 是素数或是方程 x2+2x-3=0 的 根.真命题. p∧q:1 既是素数又是方程 x2+2x-3=0 的根.假 命题. 綈 p:1 不是素数.真命题. (2)p∨q:平行四边形的对角线相等或互相垂直.假 命题. p∧q: 平行四边形的对角相等且互相垂直. 假命题. 綈 p:有些平行四边形的对角线不相等.真命题. (3)p∨q:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同或 绝对值相等.假命题. p∧q:方程 x2+x-1=0 的两实根的符号相同且绝 对值相等.假命题. 綈 p: 方程 x2+x-1=0 的两实根的符号不相同. 真 命题. 变式迁移 1 (2011· 厦门月考)已知命题 p: ?x∈R, 2 使 tan x=1,命题 q:x -3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}, 给出下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧綈 q”是假 命题;③命题“綈 p∨q”是真命题;④命题“綈 p∨綈 q”是假命题,其中正确的是( ) A.②③ B.①②④ C.①③④ D.①②③④ 答案 D 解析 命题 p:?x∈R,使 tan x=1 是真命题,命 题 q:x2-3x+2<0 的解集是{x|1<x<2}也是真命题, ∴①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧綈 q”是 假命题; ③命题“綈 p∨q”是真命题; ④命题“綈 p∨綈 q” 是假命题.

1 3 3 1 因为 x2-x+1=(x- )2+ ≥ > . 2 4 4 2 π π (2)真命题,如 α= ,β= ,符合题意. 4 2 (3)假命题,例如 x=1,y=5,但 x-y=-4 ? N. (4)真命题,例如 x0=0,y0=3 符合题意. 变式迁移 2 (2011· 日照月考)下列四个命题中,其 中为真命题的是( ) A.?x∈R,x2+3<0 B.?x∈N,x2≥1 C.?x∈Z,使 x5<1 D.?x∈Q,x2=3 答案 C 解析 由于?x∈R 都有 x2≥0,因而有 x2+3≥3, 所以命题“?x∈R,x2+3<0”为假命题; 由于 0∈N,当 x=0 时,x2≥1 不成立,所以命题 “?x∈N,x2≥1”为假命题; 由于-1∈Z,当 x=-1 时,x5<1,所以命题“?x ∈Z,使 x5<1”为真命题; 由于使 x2=3 成立的数只有± 3,而它们都不是有 理数,因此没有任何一个有理数的平方能等于 3,所以 命题“?x∈Q,x2=3”为假命题.

探究点三

全称命题与特称命题的否定

例 3 写出下列命题的“否定”,并判断其真假. 1 (1)p:?x∈R,x2-x+ ≥0; 4 (2)q:所有的正方形都是矩形; (3)r:?x∈R,x2+2x+2≤0; (4)s:至少有一个实数 x,使 x3+1=0. 解题导引 (1)全(特)称命题的否定与一般命题的否 定有着一定的区别,全(特)称命题的否定是将其全称量 词改为存在量词(或把存在量词改为全称量词),并把结 论否定;而一般命题的否定则是直接否定结论即可. (2)要判断“綈 p”命题的真假,可以直接判断,也 可以判断 p 的真假.因为 p 与綈 p 的真假相反且一定有 一个为真,一个为假. 1 解 (1)綈 p:?x∈R,x2-x+ <0,这是假命题, 4 1 1 因为?x∈R,x2-x+ =(x- )2≥0 恒成立,即 p 4 2 真,所以綈 p 假. (2)綈 q: 至少存在一个正方形不是矩形, 是假命题. (3)綈 r:?x∈R,x2+2x+2>0,是真命题,这是由 于?x∈R,x2+2x+2=(x+1)2+1≥1>0 成立. (4)綈 s:?x∈R,x3+1≠0,是假命题,这是由于 x=-1 时,x3+1=0. 变 式 迁 移 3 (2009· 天 津 ) 命 题 “ 存 在 x0 ∈ R,2x0≤0”的否定是( ) A.不存在 x0∈R,2x0>0 B.存在 x0∈R,2x0≥0 C.对任意的 x∈R,2x≤0 D.对任意的 x∈R,2x>0 答案 D 解析 本题考查全称命题与特称命题的否定.原命 题为特称命题,其否定应为全称命题,而“≤”的否定

探究点二

全(特)称命题及真假判断

例 2 判断下列命题的真假. 1 (1)?x∈R,都有 x2-x+1> . 2 (2)?α,β 使 cos(α-β)=cos α-cos β. (3)?x,y∈N,都有 x-y∈N. (4)?x0,y0∈Z,使得 2x0+y0=3. 解题导引 判定一个全(特)称命题的真假的方法: (1)全称命题是真命题, 必须确定对集合中的每一个 元素都成立,若是假命题,举反例即可. (2)特称命题是真命题,只要在限定集合中,至少找 到一个元素使得命题成立. 解 (1)真命题,

是“>”,所以其否定为“对任意的 x∈R,2x>0”.

求出含逻辑联结词的命题成立的条件.若直接求 p 成立 的条件困难, 可转化成求綈 p 成立的条件, 然后取补集. 【易错点剖析】 “p 且 q”为真是全真则真,要区别“p 或 q”为真 是一真则真, 命题 q 就是方程 x2+2ax+2-a=0 有实根, 所以 Δ≥0.不是找一个 x0 使方程成立.

转化与化归思想的应用
例 (12 分)已知命题 p: “?x∈[1,2], x2-a≥0”, 命题 q:“?x0∈R,x2 0+2ax0+2-a=0”,若命题“p 且 q”是真命题,求实数 a 的取值范围. 【答题模板】 解 由“p 且 q”是真命题, 则 p 为 真 命 题 , q 也 为 真 命 题 . [3 分] 若 p 为真命题,a≤x2 恒成立, ∵ x ∈ [1,2] , ∴ a≤1. [6 分] 若 q 为真命题, 即 x2+2ax+2-a=0 有实根, Δ=4a2-4(2-a)≥0, 即 a≥1 或 a≤ - 2 , [10 分] 综上,所求实数 a 的取值范围为 a≤-2 或 a=1. [12 分] 【突破思维障碍】 含有逻辑联结词的命题要先确定构成命题的(一个 或两个)命题的真假, 求出参数存在的条件, 命题 p 转化 为恒成立问题,命题 q 转化为方程有实根问题,最后再

1.逻辑联结词“或”“且”“非”的含义的理解. (1)“ 或 ” 与日常生活用语中的 “ 或 ” 意义有所不 同,日常用语“或”带有“不可兼有”的意思,如工作 或休息,而逻辑联结词 “ 或 ” 含有 “ 同时兼有 ” 的意 思,如 x<6 或 x>9. (2)命题“非 p”就是对命题“p”的否定, 即对命题结 论的否定;否命题是四种命题中的一种,是对原命题条 件和结论的同时否定. 2.判断复合命题的真假,要首先确定复合命题的 构成形式,再指出其中简单命题的真假,最后根据真值 表判断. 3. 全称命题“?x∈M, p(x)”的否定是一个特称命 题“?x∈M,綈 p(x)”, 特称命题“?x∈M,p(x)”的否定是一个全称命题 “?x∈M,綈 p(x)”.

(满分:75 分) 一、选择题(每小题 5 分,共 25 分) 1.(2011· 宣城模拟)已知命题 p:?x∈R,x2-3x+ 3≤0,则( ) A.綈 p:?x∈R,x -3x+3>0,且綈 p 为真命题
2

?a>0, ? 1 ∈R 恒成立,这时应有? 解得 a> .因此 3 ? Δ = 4 - 12 a <0 , ?

B.綈 p:?x∈R,x2-3x+3>0,且綈 p 为假命题 C.綈 p:?x∈R,x2-3x+3>0,且綈 p 为真命题 D.綈 p:?x∈R,x -3x+3>0,且綈 p 为假命题 答案 C
2

当命题 p 是假命题,即命题綈 p 是真命题时, 1 实数 a 的范围是 a≤ . 3 3.(2011· 龙岩月考)已知条件 p:|x+1|>2,条件 q: x>a,且綈 p 是綈 q 的充分不必要条件,则 a 的取值范 围是( ) A.a≥1 B.a≤1 C.a≥-3 D.a≤-3 答案 A 解析 綈 p 是綈 q 的充分不必要条件的等价命题 为 q 是 p 的充分不必要条件,即 q?p,而 p q,条件 p 化简为 x>1 或 x<-3,所以当 a≥1 时,q?p. 4.已知命题“?a,b∈R,如果 ab>0,则 a>0”, 则它的否命题是( ) A.?a,b∈R,如果 ab<0,则 a<0 B.?a,b∈R,如果 ab≤0,则 a≤0 C.?a,b∈R,如果 ab<0,则 a<0 D.?a,b∈R,如果 ab≤0,则 a≤0 答案 B 解析 ?a,b∈R 是大前堤,在否命题中也不变, 又因 ab>0,a>0 的否定分别为 ab≤0,a≤0,故选 B.

解析 命题 p 是一个特称命题,它的否定綈 p:对 所有的 x∈R, 都有 x2-3x+3>0 为真. 故答案为 C.命题 的否定要否定量词,即全称量词的否定为存在量词,存 在量词的否定为全称量词,而且要否定结论. 2.已知命题 p:?x∈R,ax2+2x+3>0,如果命题 綈 p 是真命题,那么实数 a 的取值范围是( 1 1 A.a< B.a≤ 3 3 1 1 C.0<a≤ D.a≥ 3 3 答案 B )

解析 ∵命题綈 p 是真命题,∴命题 p 是假命题, 而当命题 p 是真命题时,不等式 ax2+2x+3>0 对一切 x

5.(2011· 宁波调研)下列有关命题的说法正确的是 ) A.命题“若 x2=1,则 x=1”的否命题为“若 x2 =1,则 x≠1” B. “x=-1”是“x2-5x-6=0”的必要不充分条 件 C. 命题“?x∈R, 使得 x2+x+1<0”的否定是“? 2 x∈R,均有 x +x+1<0” D.命题“若 x=y,则 sin x=sin y”的逆否命题为 真命题 答案 D 二、填空题(每小题 4 分,共 12 分) 6. (2010· 安徽)命题“对?x∈R, |x-2|+|x-4|>3” 的否定是______________. 答案 ?x∈R,|x-2|+|x-4|≤3 + 7.已知命题 p:“?x∈R,?m∈R 使 4x-2x 1+ ( m=0”,若命题綈 p 是假命题,则实数 m 的取值范围 为__________. 答案 m≤1 解析 命题綈 p 是假命题,即命题 p 是真命题,也 + 就是关于 x 的方程 4x-2x 1+m=0 有 + + x 实数解, 即 m=-(4 -2x 1), 令 f(x)=-(4x-2x 1), 由于 f(x)=-(2x-1)2+1,所以当 x-Ray 时 f(x)≤1,因此实数 m 的取值范围是 m≤1. 8.(2010· 安徽)命题“存在 x∈R,使得 x2+2x+5 =0”的否定是 ______________________. 答案 对任意 x∈R,都有 x2+2x+5≠0 解析 因特称命题的否定是全称命题,所以得:对 任意 x∈R,都有 x2+2x+5≠0. 三、解答题(共 38 分) 9.(12 分)分别指出由下列命题构成的“p∨q”“p ∧q”“綈 p”形式的命题的真假. (1)p:4∈{2,3},q:2∈{2,3}; (2)p:1 是奇数,q:1 是质数; (3)p:0∈?,q:{x|x2-3x-5<0}?R; (4)p:5≤5,q:27 不是质数. 解 (1)∵p 是假命题,q 是真命题, ∴p∨q 为真命题,p∧q 为假命题, 綈 p 为真命题.(3 分) (2)∵1 是奇数, ∴p 是真命题. 又∵1 不是质数, ∴q 是假命题. 因此 p∨q 为真命题,p∧q 为假命题,綈 p 为假命 题.(6 分) (3)∵0 ? ?,∴p 为假命题. 3- 29 3+ 29 又∵x2-3x-5<0? <x< , 2 2 3- 29 3+ 29 ∴{x|x2-3x-5<0}={x| <x< }? R 成 2 2 立. ∴q 为真命题. ∴p∨q 为真命题, p∧q 为假命题, 綈 p 为真命题. (9

分) (4)显然 p:5≤5 为真命题,q:27 不是质数为真命 题, ∴p∨q 为真命题,p∧q 为真命题,綈 p 为假命题. (12 分) 10.(12 分)(2011· 锦州月考)命题 p:关于 x 的不等 2 式 x +2ax+4>0 对一切 x∈R 恒成立,q:函数 f(x)=(3 -2a)x 是增函数,若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求实数 a 的取值范围. 解 设 g(x)=x2+2ax+4, 由于关于 x 的不等式 x2+2ax+4>0 对一切 x∈R 恒 成立, 所以函数 g(x)的图象开口向上且与 x 轴没有交点, 故 Δ=4a2-16<0,∴-2<a<2.(4 分) 又∵函数 f(x)=(3-2a)x 是增函数, ∴3-2a>1,∴a<1.(6 分) 又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真 一假. ? ?-2<a<2, (1)若 p 真 q 假,则? ?a≥1, ? ∴1≤a<2;(8 分) (2)若 p 假 q 真, ?a≤-2,或a≥2, ? 则? ∴a≤-2.(10 分) ? ?a<1, 综上可知,所求实数 a 的取值范围为 1≤a<2,或 a≤-2.(12 分) 11.(14 分)已知 p:x2+mx+1=0 有两个不等的负 根,q:4x2+4(m-2)x+1=0 无实根.若 p 或 q 为真,p 且 q 为假,求 m 的取值范围. 解 p : x2 + mx + 1 = 0 有 两 个 不 等 的 负 根 ? ?Δ1=m2-4>0 ? ? ?m>2.(3 分) ? ?-m<0 q:4x2+4(m-2)x+1=0 无实根. ?Δ2=16(m-2)2-16<0?1<m<3,(6 分) 因为 p 或 q 为真,p 且 q 为假,所以 p 与 q 的真值 相反. ?m>2 ? ①当 p 真且 q 假时,有? ?m≤1或m≥3 ? ?m≥3;(10 分) ?m≤2 ? ②当 p 假且 q 真时,有? ?1<m≤2.(12 分) ?1<m<3 ? 综上可知,m 的取值范围为{m|1<m≤2 或 m≥3


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