焦点弦的性质


探究抛物线焦点弦的性质
已知 AB 是抛物线 的焦点弦,且 A、B 两点的坐标分别为 ,点 F 是抛物线的焦点,求证:

(1)



(2)设θ 是直线 AB 的倾斜角,则



(3)



(4)

为定值;

(5)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。

证明: (1) 由已知得抛物线的焦点为

, 设直线 AB 的方程为



代入

,即

。(*)



是方程

的两根,故



因为

,所以







(2)由(*)



所以



因为θ 是直线 AB 的倾斜角,则



所以

(3)

(4)

因为



代入上式得

(常数)。

(5)设 AB 中点为

,分别过 A、B 作准线的垂线,垂足为 C、D,过 M

作准线的垂线,垂足为 N,则 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切。



本题灵活利用定义及焦点弦的性质, 给出了焦点弦的弦长公式及利用弦长公式解 决后面给出的问题,在避免讨论斜率 k 不存在的情况时,设出直线方程为 。 有兴趣的同学还可证明如下各题: (6) ;

(7)



(8)以 CD 为直径的圆切 AB 于 F,AB 的中垂线交 x 轴于 R,则 ① ② ; ;

③四边形 NFRM 为平行四边形; (9)MN 交抛物线与 S,则 。


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