【高考讲坛】2016届高考数学一轮复习 第3章 第3节 两角和与差、二倍角的三角函数课后限时自测 理 苏教版


【高考讲坛】 2016 届高考数学一轮复习 第 3 章 第 3 节 两角和与差、 二倍角的三角函数课后限时自测 理 苏教版
[A 级 基础达标练] 一、填空题 π? 3 ? π ? ? 1.已知 α ∈?- ,0?,cos α = ,则 sin?α + ?=_______. 6? 5 ? 2 ? ? 3 4 ? π ? 2 [解析] ∵α ∈?- ,0?,cos α = ,∴sin α =- 1-cos α =- , 5 5 ? 2 ? π? π π ? ∴sin?α + ?=sin α cos +cos α sin 6? 6 6 ? 3 3 1 3-4 3 ? 4? =?- ?? + ? = . 10 ? 5? 2 5 2 [答案] 3-4 3 10

2.cos 20°sin 40°+sin 20°sin 50°=________. [解析] 原式=cos 20°cos 50°+sin 20°sin 50°=cos(50°-20°)=cos 30° = 3 . 2 [答案] 3 2 α 3 = ,则 cos α =________. 2 3

3.(2013?江西高考改编)若 sin [解析] cos α =1-2sin [答案] 1 3
2

α 2 1 ? 3?2 =1-2?? ? =1- = . 2 3 3 3 ? ?

3 3 ?π ? α +β ∈?3π ,2π ?, 4. 已知 sin(α -β )= , sin(α +β )=- , α -β ∈? ,π ?, ? 2 ? 5 5 ?2 ? ? ? 则 cos 2β =________. [解析] 由 sin(α - β ) = 3 ?π ? , α - β ∈ ? ,π ? , 得 cos(α - β ) = - 5 ?2 ?

4 2 1-sin ?α -β ?=- , 5

1

3 ?3π ? 得 cos (α +β )= 1-sin2?α +β ?= 由 sin(α +β )=- , α +β ∈? ,2π ?, 5 ? 2 ?

? 3?2 4 1-?- ? = . ? 5? 5
所 以 cos 2β = cos[(α + β ) - (α - β )] = cos(α + β )cos(α - β ) + sin(α + β )sin(α -β ) 4 ? 4? ? 3? 3 = ??- ?+?- ?? =-1. 5 ? 5? ? 5? 5 [答案] -1 2cos 10°-sin 20° 5.(2014?江苏泰州模拟)求值: =________. cos 20° 2cos?30°-20°?-sin 20° [解析] 原式= = cos 20° 2?cos 30°cos 20°+sin 30°sin 20°?-sin 20° cos 20° = ? 3cos 20°+sin 20°?-sin 20° 3cos 20° = = 3. cos 20° cos 20° 3 5 3 ,cos B= ,则 cos C 的值为________. 13 5

[答案]

6.在△ABC 中,若 sin A=

3 4 5 [解析] 由 cos B= ,得 sin B= ,而 sin A= ,∴sin A<sin B, 5 5 13 ∴A<B,∴A 为锐角,∴cos A= 1-sin A= ∴cos C=cos[π -(A+B)]=-cos (A+B) =-cos Acos B+sin Asin B 12 3 5 4 16 =- ? + ? =- . 13 5 13 5 65 16 [答案] - 65 7.(2013?浙江高考改编)已知 α ∈R,sin α +2cos α = 10 ,则 tan 2α =________. 2
2

? 5 ?2 12 1-? ? = , ?13? 13

5 2 2 2 [解析] 把条件中的式子两边平方, 得 sin α +4sin α cos α +4cos α = , 即 3cos α 2 3 3cos α +4sin α cos α 3 3+4tan α 3 2 +4sin α cos α = ,所以 = ,所以 = ,即 3tan α 2 2 2 2 cos α +sin α 2 1+tan α 2 1 2tan α 3 -8tan α -3=0,解得 tan α =3 或 tan α =- ,所以 tan 2α = =- . 2 3 1-tan α 4
2
2

3 [答案] - 4 π 8.(2014?徐州质检)在△ABC 中,已知 C= ,向量 m=(sin A,1),n=(1,cos B)且 6

m⊥n,则 A=________.
π [解析] 由 m⊥n,得 m?n=0,即 sin A+cos B=0,又 C= ,A+B+C=π , 6 5π ?5π -A?=0, ∴B= -A,∴sin A+cos ? ? 6 ? 6 ? ∴sin A- 即 tan A= [答案] π 6 3 1 cos A+ sin A=0, 2 2 3 π ,∴A= . 3 6

二、解答题 9.(2014?江苏调研)已知 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ). π (1)若 α -β = ,求 a?b 的值; 6 4 π (2)若 a?b= ,α = ,求 tan(α +β )的值. 5 8 π [解] (1)由 a=(cos α ,sin α ),b=(cos β ,sin β ),α -β = ,得 6

a?b=cos α cos β +sin α sin β =cos(α -β )=cos
(2)由(1)知 a?b=cos(α -β ), 4 4 若 a?b= ,则 cos(α -β )= , 5 5 3 3 ∴sin(α -β )=± ,∴tan(α -β )=± , 5 4 ∵α = tan

π 3 = . 6 2

π ?π ? , ∴ tan(α + β ) = tan[2α - (α - β )] = tan ? -?α -β ?? = 8 ?4 ?

π -tan?α -β ? 4 1-tan?α -β ? = , π 1+tan?α -β ? 1+tan tan?α -β ? 4

3

3 1- 4 1 3 当 tan(α -β )= 时,tan(α +β )= = ; 4 3 7 1+ 4 3 1+ 4 3 当 tan(α -β )=- 时,tan(α +β )= =7. 4 3 1- 4 1 综上,tan(α +β )= 或 7. 7 10.已知 f(x)=- 3sin x+sin xcos x, (1)求 f?
2

?25π ?的值; ? ? 6 ?

3 ?α ? 1 (2)设 α ∈(0,π ),f? ?= - ,求 sin α 的值. ?2? 4 2 [解] f(x)=- 3sin x+sin xcos x=- 3? =-
2

1-cos 2x 1 + sin 2x 2 2

π? 3 1 3 3 ? + sin 2x+ cos 2x=- +sin?2x+ ?, 3? 2 2 2 2 ?

(1)f? + 3 =0. 2

?25π ?=- 3+sin?25π +π ?=- 3+sin?8π +2π ?=- 3+sin 2π =- 3 ? ? 3 ? 3? 3 ? 2 2 2 3 2 ? 6 ? ? ? ? ?

π? 1 3 3 ?α ? ? (2)f? ?=- +sin?α + ?= - , 3? 4 2 2 ?2? ? π? 1 ? ∴sin?α + ?= . 3? 4 ? π? 1 1 π ?π 4π ? ? ∵α ∈(0,π ),∴α + ∈? , ?,又 0<sin?α + ?= < , 3 ? 3? 4 2 3 ?3 ? π ?5π 4π ? , ?. ∴α + ∈? 3 ? 3 ? 6 π? ? ∴cos?α + ?=- 3? ? π? 2? 1-sin ?α + ?=- 3? ? 15 ?1?2 1-? ? =- , 4 ?4?

π π? π? π? π π ? ? ? ∴sin α =sin?α + - ?=sin?α + ?cos -cos ?α + ?sin 3 3? 3? 3? 3 3 ? ? ? 1 1 15 3 1+3 5 = ? + ? = . 4 2 4 2 8

4

[B 级 一、填空题

能力提升练]

1+sin β ? π? ? π? 1.(2014?课标全国卷Ⅰ改编)设 α ∈?0, ?,β ∈?0, ?,且 tan α = , 2? 2? cos β ? ? 则 2α -β =________. 1+sin β sin α 1+sin β [解析] 由 tan α = ,得 = , cos β cos α cos β 即 sin α cos β =cos α +cos α sin β , ∴sin(α -β )=cos α =sin?

?π -α ?. ? ?2 ?

? π? ? π? ∵α ∈?0, ?,β ∈?0, ?, 2? 2? ? ? ? π π? π ? π? ∴α -β ∈?- , ?, -α ∈?0, ?, 2? ? 2 2? 2 ?
π ?π ? ∴由 sin(α -β )=sin? -α ?,得 α -β = -α , 2 2 ? ? π ∴2α -β = . 2 [答案] π 2

2.(2013?课标全国卷Ⅰ)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ =________. [解析] y=sin x-2cos x= 5? 设 1 2 =cos α , =sin α , 5 5

? 1 sin x- 2 cos x? ?, 5 ? 5 ?

则 y= 5(sin xcos α -cos xsin α )= 5sin(x-α ). ∵x∈R,∴x-α ∈R,∴ymax= 5. 又∵x=θ 时,f(x)取得最大值, ∴f(θ )=sin θ -2cos θ = 5. 又 sin θ +cos θ =1, 1 sin θ = , ? ? 5 ∴? 2 cos θ =- , ? ? 5
2 2

2 5 即 cos θ =- . 5

5

2 5 [答案] - 5 二、解答题 1 ? ? ? π? ? π? 2 3.已知函数 f(x)=?1+ sin x+msin?x+ ?sin?x- ?, ? 4? ? 4? ? tan x? ?

?π 3π ? (1)当 m=0 时,求 f(x)在区间? , ?上的取值范围; 4 ? ?8
3 (2)当 tan α =2 时,f(α )= ,求 m 的值. 5 1 ? ? [解] (1)当 m=0 时,f(x)=?1+ ?sin2x=sin2x+sin xcos x ? tan x? = = 1-cos 2x sin 2x 1 1 + = (sin 2x-cos 2x)+ 2 2 2 2 π? 1 2 ? sin?2x- ?+ , 4? 2 2 ?

π ? 5π ? ?π 3π ? ∵x∈? , ?,∴2x- ∈?0, ?, 4 ? 4 ? 4 ? ?8 π? ? 2 ? ? ∴sin?2x- ?∈?- ,1?, 4? ? 2 ? ? 从而 f(x)= π ? 1 ? 1+ 2? 2 ? sin ?2x- ?+ ∈?0, ?. 4? 2 ? 2 ? 2 ?

m?cos
(2)f(x)=sin x+sin xcos x+ = 1-cos 2x sin 2x m + - cos 2x 2 2 2
2

? ?

π -cos 2x? ? 2 ? 2

1 1 = [sin 2x-(1+m)cos 2x]+ , 2 2 由 tan α =2,得 sin 2α =
2 2

2sin α cos α 2tan α 2?2 4 = = 2 2 2 2= , sin α +cos α 1+tan α 1+2 5
2 2

cos α -sin α 1-tan α 1-2 3 cos 2α = 2 = 2 = 2 =- , 2 sin α +cos α tan α +1 2 +1 5 1 1 ∴f(α )= [sin 2α -(1+m)cos 2α ]+ 2 2 1?4 ? 3?? 1 3 = ? -?1+m???- ??+ = . 2?5 ? 5?? 2 5 解得 m=-2.

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