2014高三数学总复习10-5古典概型与几何概型 71张(人教A版)


第十章

统计与概率

第十章
第五节 古典概型与几何概型

基础梳理导学

3

考点典例讲练

思想方法技巧

4

课堂巩固训练

5

课后强化作业

基础梳理导学

重点难点

引领方向

重点:古典概型及几何概型的定义、概率计算及应用. m 难点: 1.古典概型 P(A)= n 中, 与 m 的求法及“事件” n 等可能性的判断. 2.将实际概率问题归结为几何概型.

夯实基础 稳固根基 1.等可能基本事件的特点 (1)基本事件是不能再分的事件,任何事件(不包括不可能 事件)都可以表示成基本事件的和. (2)任何两个基本事件是互斥的. (3)每个基本事件的发生都是等可能的.

2.古典概型 (1)满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概 型: ①有限性:在一次试验中,所有可能出现的基本事件只 有有限个; ②等可能性:每个基本事件的发生都是等可能的. (2)如果一次试验的等可能基本事件共有 n 个, 随机事件 A m 包含了其中的 m 个,那么事件 A 发生的概率为 P(A)= n .

3.几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件的区域 A 的几 何度量(长度、 面积或体积)成 正比, 而与 A 的位置和形状无关, 则称这样的概率模型为几何概率模型. 几何概型的概率 构成事件A的区域长度?面积或体积? P(A)= . 试验的全部结果所构成区域长度?面积或体积?

疑难误区 点拨警示 1.弄清楚“互斥事件”与“等可能事件”的差异 “互斥事件”和“等可能事件”是意思不同的两个概念. 在一次试验中,由于某种对称性条件,使得若干个随机事件 中每一事件产生的可能性是完全相同的,则称这些事件为等 可能事件,而互斥事件是指不可能同时发生的两个或多个事 件. 有些等可能事件可能也是互斥事件, 有些互斥事件也可能 是等可能事件. 例如:①粉笔盒有 8 支红粉笔,6 支绿粉笔, 4 支黄粉笔,现从中任取 1 支. “抽得红粉笔”,“抽得绿粉

笔”,“抽得黄粉笔”,它们是彼此互斥事件,不是等可能 事件. ②李明从分别标有 1,2,?,10 标号的同样的小球中, 任取一球,“取得 1 号球”,“取得 2 号球”,?,“取得 10 号球”. 它们是彼此互斥事件, 又是等可能事件. ③一周七 天中,“周一晴天”,“周二晴天”,?,“周六晴天”, “星期天晴天”. 它们是等可能事件,不是彼此互斥事件.

2.“概率为 0 的事件”与“不可能事件”是两个不同的 概念,应区别. 3.计算古典概型和几何概型时,一定要先进行事件等可 能性的判断,防止因基本事件发生的可能性不相等而致误. 4.抽样问题要区分有无放回抽样,是否与顺序有关.

5.理清基本事件关系,正确使用互斥、对立事件概率公 式 在公式 P(A∪B)=P(A)+P(B)中, 前提条件是 A 与 B 互斥, 如果 A 与 B 不互斥, 则应为 P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B). 6.古典概型中的基本事件数是有限的,几何概型中的基 本事件数是无限的.

思想方法技巧

一、解答概率初步题解题要点 1.求解古典概型概率,首先要找准基本事件,判断的标 准就是有限性和等可能性.基本事件空间中基本事件的计算 方法和事件 A 中包含的基本事件计算方法必须保持一致,计 数时可以采取一一列举的方法,也可以采用模型化方法或用 计数原理求,并辅以必要的文字说明. 2.注意事件是否互斥;遇到“至多”、“至少”等事件 时,注意对立事件概率公式的应用.

二、模型化方法 将实际问题转化为对应的概率模型是重要的基本功,要 通过练习学会选择恰当的数学模型(如编号、用平面直角坐标 系中的点及平面区域表示等)来实现实际问题向数学问题的转 化.

[例]

一排有 5 个凳子,两人各随机就座,则每人两侧都

有空凳的概率为________.

解析:把两个坐了人的凳子记作 1,三个未坐人的凳子记 作 0,则问题转化为将三个 0 和两个 1 排一列,1 不相邻且不 在两头的概率问题.所有排法种数共有 10 种,符合条件的只 1 有 1 种,故所求概率为 P=10.

1 答案:10

考点典例讲练

古典概型

[例 1] 为了对某课题进行研究, 用分层抽样方法从三所 高校 A、B、C 的相关人员中,抽取若干人组成研究小组,有 关数据见下表(单位:人). 高校 A B C 相关人数 18 36 54 抽取人数 x 2 y

(1)求 x,y; (2)若从高校 B,C 抽取的人中选 2 人作专题发言,求这 2 人都来自高校 C 的概率. 分析:(1)依分层抽样的定义知,各个个体被抽到的机会 均等,可求 x、y; (2)将 B、C 高校抽取的人编号,可列举试验“从中任选 两人”所包含的所有基本事件,及事件“这 2 人都来自高校 C”所包含的基本事件,由古典概型可求概率.

x 2 y 解析:(1)由题意可得, = = ,所以 x=1,y=3. 18 36 54 (2)记从高校 B 抽取的 2 人为 b1,b2,从高校 C 抽取的 3 人为 c1,c2,c3,则从高校 B,C 抽取的 5 人中选 2 人作专题 发言的基本事件有 (b1,b2),(b1,c1),(b1,c2),(b1,c3),(b2,c1),(b2,c2), (b2,c3),(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共 10 种.

设选中的 2 人都来自高校 C 的事件为 X,则 X 包含的基 3 本事件有(c1,c2),(c1,c3),(c2,c3)共 3 种.因此 P(X)=10. 3 故选中的 2 人都来自高校 C 的概率为 . 10

(文)(2011· 银川二模)将一骰子抛掷两次,所得向上的点数 2 3 分别为 m 和 n,则函数 y= mx -nx+1 在[1,+∞)上为增函 3 数的概率是( 1 A. 2 3 C.4 ) 5 B. 6 2 D.3

2 3 解析:由题可知,函数 y= mx -nx+1 在[1,+∞)上单 3 调递增,所以 y′=2mx2-n≥0 在[1,+∞)上恒成立,所以 2m≥n,则不满足条件的(m,n)有(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,5),(2,6)共 6 种情况,所以满足条件的共有 30 种情况,则 2 3 30 函数 y= mx -nx+1 在[1,+∞)上单调递增的概率为 P= 3 36 5 =6,故选 B.
答案:B

(理)(2011· 韶关模拟)盒子内装有 10 张卡片, 分别写有 1~ 10 的 10 个整数,从盒子中任取 1 张卡片,记下它的读数 x, 然后放回盒子内,第二次再从盒子中任取 1 张卡片,记下它 的读数 y.试求: (1)x+y 是 10 的倍数的概率; (2)xy 是 3 的倍数的概率.

解析:先后取两次卡片,每次都有 1~10 这 10 个结果, 故形成的数对(x,y)共有 100 个. (1)x+y 是 10 的倍数的数对包括以下 10 个:(1,9),(9,1), (2,8),(8,2),(3,7),(7,3),(4,6),(6,4),(5,5),(10,10). 10 故“x+y 是 10 的倍数”的概率为 P1= =0.1. 100

(2)xy 是 3 的倍数,只要 x 是 3 的倍数,或 y 是 3 的倍数, 由于 x 是 3 的倍数且 y 不是 3 的倍数的数对的个数为 21 个, 而 x 不是 3 的倍数且 y 是 3 的倍数的数对的个数也为 21 个, x 是 3 的倍数且 y 也是 3 的倍数的数对的个数为 9 个. 故 xy 是 3 的倍数的数对的个数为 21+21+9=51(个). 51 故 xy 是 3 的倍数的概率为 P2=100=0.51.

几何概型

[例 2]

(文)已知函数 f(x)=ax2-bx-1,其中 a∈(0,2],

b∈(0,2],则此函数在区间[1,+∞)上为增函数的概率为 ________.

分析:由函数 f(x)=ax2-bx-1 在[1,+∞)上为增函数可 b 知,其对称轴 x=2a ≤1,问题转化为对任意 0<a≤2,0<b≤2, b 满足 ≤1 的概率,可借助平面直角坐标系用几何概型来解 2a 决,f(x)为增函数,还可以由导数得 f ′(x)=2ax-b≥0 在[1, +∞)上恒成立得到 a,b 满足的关系式.

解析:

b 函数 f(x)=ax -bx-1 在[ ,+∞)上为增函数,据已知 2a
2

b 条 件 可 知 , 2a ≤1 , ∴ b≤2a , 如 图 可 知 , 所 求 概 率 P = 1 2×?1+2?×2 3 =4. 2×2
3 答案: 4

(理)(2011· 东北三校二模)已知实数 a,b 满足-1≤a≤1, 1 3 -1≤b≤1, 则函数 y=3x -ax2+bx+5 有极值的概率为( 1 A. 4 2 C.3 1 B. 2 3 D.4 )

1 3 分析:三次函数 y= x -ax2+bx+5 有极值?y′=0 有 3 两不等实根,这样可得到 a、b 满足的“关系式”,问题转化 为任取 a∈[-1,1],b∈[-1,1],求满足此“关系式”的概率, 这是几何概型问题.

解析:

y′=x2-2ax+b,当方程 x2-2ax+b=0 有两个不同实 1 3 根,即 a >b 时,函数 y=3x -ax2+bx+5 有极值点,如图,
2

阴影部分面积为

?1 a2da=2+ a3|1 = ,所以函数 2+? 3 -1 3 ?-1

1

8

1 3 y= x 3

8 S阴影 3 2 2 -ax +bx+5 有极值的概率为 P= = = ,故选 C. S正方形ABCD 4 3 答案:C

(文)(2012· 东北三省四市联考)在棱长为 2 的正方体内随机 取一点,取到的点到正方体中心的距离大于 1 的概率为 ________.

解析:依题意得,该正方体的体积为 23=8.在棱长为 2 的正方体内随机取一点, 取到的点到正方体中心的距离大于 1 的点是位于以正方体的中心为球心、 为半径的球的外部的点 1 (注意到该球恰好是该正方体的内切球).因此,所求的概率等 4 8- π×13 3 π 于 =1- . 8 6
π 答案:1- 6

(理)(2012· 昆明第一中学测试)设曲线 y= x,直线 x=1,
?0≤x≤1, ? ? ? ?,向区 x 轴所围成的平面区域为 M,Ω=??x,y?? ?0≤y≤1. ? ? ?

域 Ω 内随机投一点 A,则点 A 落在 M 内的概率为________.

解析:区域 Ω 的面积 S=1,区域 M 的面积 S1=?1 xdx= ? ?
?

0

2 1 2 2 3x |0=3,故所求概率 P=3.
3 2

2 答案: 3

有无放回取样的概率计算问题

[例 3]

一个盒子里装有完全相同的十个小球, 分别标上

1,2,3,?,10 这 10 个数字,今随机地取两个小球,如果 (1)小球是不放回的; (2)小球是有放回的. 求两个小球上的数字为相邻整数的概率. 分析:小球放回与不放回时基本事件的总数是不同的.

解析:(文)随机选取两个小球,记事件 A 为“两个小球上 的数字为相邻整数”.可能结果为(1,2),(2,1),(2,3),(3,2), (3,4),(4,3),?,(9,10),(10,9)共 18 种. (1)如果小球是不放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则 x 有 10 种可能, 有 9 种可能, y 共有可能结果 10×9=90 种. 因 18 1 此,事件 A 的概率是90=5.

(2)如果小球是有放回的,按抽取顺序记录结果(x,y),则 x 有 10 种可能,y 有 10 种可能,共有可能结果 10×10=100 18 9 种,因此,事件 A 的概率是 = . 100 50 (理)(1)小球不放回时,有取法 C2 种,其中小球上数字为 10 9 1 相邻整数的有 9 种,∴所求概率为 P1= 2 = . C10 5 (2)小球放回时,有取法 102=100 种,其中小球上数字为 18 9 相邻整数的有 18 种,故所求概率 P2= = . 100 50

已知集合 A={-1,1,2,3}. (1)在集合 A 中任取两个元素 a,b,方程 ax2+by2=1 表 示焦点在 x 轴上的椭圆的概率为________; (2)设 a∈A,b∈A,则点 P(a,b)落在圆 x2+y2=8 外的概 率为________.

解析:(1)从集合 A 中任取两个元素 a、b,用(a,b)表示 方程 ax2+by2=1 的系数,则基本事件空间 Ω={(-1,1),(- 1,2),(-1,3),(1,-1),(1,2),(1,3),(2,-1), (2,1),(2,3), (3,-1),(3,1),(3,2)},其中共有 12 个基本事件,事件 A= “方程 ax2+by2=1 表示焦点在 x 轴上的椭圆”,则 A 中的基 本事件应满足 b>a>0,∴A={(1,2),(1,3),(2,3)},∴所求概 3 1 率 P=12=4.

(2)∵a∈A,b∈A,∴基本事件共 4×4=16 个,点 P 落 在圆外应满足 a2+b2>8,∴这样的点 P 有(-1,3),(3,-1), 7 (1,3),(3,1),(2,3),(3,2),(3,3),∴所求事件 P= . 16

1 7 答案:(1)4 (2)16

概率的实际应用

[例 4]

某商场为吸引顾客消费,推出一项优惠活动.活

动规则如下: 消费每满 100 元可以转动如图所示的圆盘一次, 其中 O 为圆心,且标有 20 元、10 元、0 元的三部分区域面 积相等,假定指针停在任一位置都是等可能的.当指针停在 某区域时,返相应金额的优惠券.(例如:某顾客消费了 218 元,第一次转动获得了 20 元,第二次获得了 10 元,则其共 获得了 30 元优惠券.)顾客甲和乙都到商场进行了消费,并 按照规则参与了活动.

(1)若顾客甲消费了 128 元,求他获得优惠券金额大于 0 元的概率? (2)若顾客乙消费了 280 元,求他总共获得优惠券金额不 低于 20 元的概率?

解析:(1)设“甲获得优惠券”为事件 A, 因为假定指针停在任一位置都是等可能的,而题中所给 的三部分的面积相等, 1 所以指针停在 20 元,10 元,0 元区域内的概率都是3. 顾客甲获得优惠券,是指指针停在 20 元或 10 元区域, 1 1 2 根据互斥事件的概率,有 P(A)=3+3=3, 2 所以,顾客甲获得优惠券金额大于 0 元的概率是 . 3

(2)设“乙获得优惠券金额不低于 20 元”为事件 B, 因为顾客乙转动了转盘两次,设乙第一次转动转盘获得 优惠券金额为 x 元, 第二次获得优惠券金额为 y 元, 则基本事 件构成的集合为: Ω={(20,20), (20,10), (20,0), (10,20), (10,10), (10,0),(0,20),(0,10),(0,0)} 即 Ω 中共有 9 个基本事件. 而乙获得优惠券金额不低于 20 元,是指 x+y≥20,

所以事件 B 中包含的基本事件有 6 个, 所以乙获得优惠券金额不低于 20 元的概率为 6 2 P(B)= = . 9 3 2 答:甲获得优惠券金额大于 0 元的概率为3,乙获得优惠 2 券金额不低于 20 元的概率为 . 3

以下做法对甲、乙两人来说,公平吗? (1)一场球赛前,裁判拿出一个均匀塑料圆盘,一面红圈, 一面绿圈,然后随意指定一名运动员猜裁判抛出的是哪面朝 上,猜对他发球,否则对方发球. (2)抛掷一颗骰子向上一面是奇数甲胜,偶数乙胜. (3)抛掷两颗骰子,号码相邻或相同甲胜,否则乙胜. (4)甲、乙各抛一颗骰子,谁的点子大谁胜,相同时,重 新再抛.

(5)一口袋内装有一红、两白大小均匀的三个小球,从中 任意摸出两球,同色甲胜,异色乙胜. (6)一口袋内装有两红、两白大小均匀的四个小球,从中 任意摸出 2 球,同色甲胜,异色乙胜.

(7)口袋内有 3 红、1 白共 4 个大小相同的球,取出 2 球, 同色甲胜,异色乙胜. (8)如图,正方形 ABCD 的内切圆为 O,向正方形所在平 面内随机投一点,落在正方形外或线上时重投,落在⊙O 内 部甲胜,落在阴影部分乙胜.

1 解析:(1)是公平的,甲、乙两人先发球的概率都是 . 2 3 1 (2)是公平的,设“奇数向上”为事件 A,则 P(A)=6=2. (3)抛掷两颗骰子,共有不同结果 36 种,事件 A=“号码 相同或相邻”含基本事件 6+10=16 个, 16 4 ∴P(A)= = ,故不公平,乙胜的机会大. 36 9

(4)公平,有多少种甲比乙点子大的情况,就有多少种甲 比乙点子小的情况. (5)不公平,同色只有 1 种可能,异色有两种可能,甲胜 1 的概率为3. (6)不公平,将红球、白球各编号红 1、红 2、白 1、白 2, 任取 2 球有不同取法 6 种,同色 2 种,异色 4 种,∴甲胜的 2 1 概率为 P= = . 6 3

(7)是公平的,红球编号 1、2、3,取出球同色有 3 种不同 1 取法,异色也有 3 种不同取法,概率都是2. (8)设圆半径为 1,则正方形边长为 2,∴S 圆=π,S 阴影=4 -π,显然 S 圆>S 阴影,故甲胜的机会大,不公平.

课堂巩固训练

一、选择题 1. (2011· 潍坊模拟)一只小蜜蜂在一个棱长为 3 的正方体 内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体 6 个面 的距离均大于 1, 称其为“安全飞行”, 则蜜蜂“安全飞行” 的概率为( )

1 A.8 1 C. 27

1 B.16 3 D. 8

[答案] C

[解析]

一个棱长为 3 的正方体由 27 个单位正方体组成,

由题意知,蜜蜂“安全飞行”的区域为 27 个单位正方体中最 1 中心的 1 个单位正方体区域,则所求概率 P= . 27

二、填空题 2.(2012· 浙江文,12)从边长为 1 的正方形的中心和顶点 2 这五个点中, 随机(等可能)取两点, 则该两点间的距离为 2 的 概率是________.
2 [答案] 5

[解析]

从五个点中随机取两点共 10 种取法. 由图可知两点间的 2 距离为 2 的是中心和四个顶点组成的 4 条线段,故概率为 P 4 2 =10=5,概率问题一定要弄明白概率模型.

三、解答题 3.(文)设平面向量 am=(m,1),bn=(2,n),其中 m,n∈ {1,2,3,4}. (1)请列出有序数组(m,n)的所有可能结果; (2)记“使得 am⊥(am-bn)成立的(m,n)”为事件 A,求事 件 A 发生的概率.

[解析]

(1)有序数组(m,n)的所有可能结果为: ,

(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(3,1)(3,2) (3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)共 16 个. (2)由 am⊥(am-bn)得 m2-2m+1-n=0, 即 n=(m-1)2

由于 m,n∈{1,2,3,4},故事件 A 包含的基本事件为 (2,1)(3,4),共 2 个.又基本事件的总数为 16,故所求的概率 2 1 为 P(A)=16=8.

(理)(2011· 海南五校联考)一汽车厂生产 A、 C 三类轿车, B、 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如下表 (单位:辆); 轿车 A 舒适型 标准型 100 300 轿车 B 150 450 轿车 C z 600

按类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取 50 辆,其中有 A 类轿车 10 辆. (1)求 z 的值; (2)用分层抽样的方法在 C 类轿车中抽取一个容量为 5 的 样本,将该样本看成一个总体,从中任取 2 辆,求至少有 1 辆舒适型轿车的概率.

[解析]

(1)解法 1:设该厂这个月共生产轿车 n 辆,

50 10 由题意得 = ,所以 n=2000, n 100+300 则 z=2000-(100+300+150+450+600)=400. 解法 2: 这个月该汽车厂共生产轿车(1600+z)辆, 其中 A 类轿车 400 辆, 50 10 由题意知, = ,∴z=400. 1600+z 400

(2)设所抽样本中有 a 辆舒适型轿车. 400 a 由题意 1000=5,∴a=2. 因此抽取的容量为 5 的样本中,有 2 辆舒适型轿车,3 辆 标准型轿车. 用 A1,A2 表示 2 辆舒适型轿车,用 B1,B2,B3 表示 3 辆 标准型轿车,用 E 表示事件“在该样本中任取 2 辆,其中至 少有 1 辆舒适型轿车”,

则基本事件空间包含的基本事件有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2, B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共 10 个, 事件 E 包含的基本事件有: (A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2, 7 B2),(A2,B3),共 7 个,故 P(E)= , 10 7 即所求概率为10.

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