极坐标与参数方程知识点解析


极坐标
知识要点: 1. 极坐标系的建立:在平面内取一个定点 O ,叫做极点;引一条射线 Ox ,叫做极轴;选定一个长度 单位和角度单位(通常取弧度)及它的正方向(通常取逆时针方向) 。 2. 极坐标系内一点的极坐标的规定:对于平面上任意一点 M ,用 ? 表示线段 OM 的长度,用 ? 表示 以射线 Ox 为始边,射线 OM 为终边所成的角, ? 叫做点 M 的极径, ? 叫做点 M 的极角,有序实数 对 ? ? ,? ? 叫做 M 的极坐标。 ①要素:极点、极轴、长度单位、角度单位和正方向; ②平面内点的极坐标用 ? ? ,? ? 表示,极点的极坐标为 ? 0,? ? , ? 可为任意值。 3.极坐标系下点与它的极坐标的对应情况: ① 给定 ? ? ,? ? ,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点 M 。 ② 给定平面上一点 M ,但却有无数个极坐标与之对应。原因在于:极角有无数个,其坐标为

? ?,? ? 2k? ? (k ? Z ) 。如果限定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ,那么除极点外,平面内的点就可以和极坐标一一
对应了。 4. 曲线的极坐标方程与极坐标方程的曲线: 一般地, 如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方 程f

? ?,? ? ? 0 的点在曲线上,那么这个方程成为这条曲线的极坐标方程,这条曲线成为这个极坐标方

程的曲线。 5. 极 坐 标 与 直 角 坐 标 的 互 化 : 设 点 M 的 直 角 坐 标 是 ? x, y ? , 极 坐 标 是

? ? ,? ? , 则

? 2 ? x 2 ? y ,2 t a n ? ?

y ? co ?s y , ? ? ? x ?? 0 ?x ? x

s?i n 。

互化公式的三个前提条件:限定 ? ? 0,0 ? ? ? 2? ① 极点与直角坐标系的原点重合; ② 极轴与直角坐标系的 x 轴的正半轴重合; ③ 两种坐标系的单位长度相同。 6. 圆的极坐标方程的表示方法: (1) 圆心在极点、半径为 r 的圆的极坐标方程: ? ? r ( r 为常数) (2) 圆 心 在 极 轴 上 且 过 极 点 的 半 径 为 a 的 圆 的 极 坐 标 方 程 : ? ? 2a cos ? 。
M

O

C(a,0)

A

1

(3) 圆心在点 ? 0,

? ?

??
2?

? ? 2a sin ? , ? ? ? 0, ? ? ? 处且过极点的圆的方程:

?

?

G M

7. 直线极坐标方程的表示方法: (1) 过极点且极角为 ? 的一条射线方程: ? ? ? ; (2) 过 点 A ? a,0? (a ? 0) 且 垂 直 于 极 轴 的 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 :
O

C(a,π/2)

? cos? ? a ;
(3) 设 点 P 的 极 坐 标 为 ? a, 0 ? , 则 过 点 P 且 与 极 轴 所 成 角 为 ? 的 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 :

? sin ?? ?? ? ? a sin ? ;
(4) 设 点 P 的 极 坐 标 为 ? ?1 ,?1 ? , 则 过 点 P 且 与 极 轴 所 成 角 为 ? 的 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 :

? sin ?? ?? ? ? ?1 sin ?? ??1 ?
8. 曲线极坐标方程的求法:可先写出曲线在直角坐标系中的方程,再通过 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? 将 直角坐标系中的方程化为极坐标方程。

参数方程
知识要点: 1. 参数方程的概念:一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标 ? x, y ? 都是某个参数

? ? x ? f ?t ? , 并且对于 t 的每一个允许值,有这个方程组所确定的点 M ? x, y ? 都在这条曲线上, t 的函数 ? y ? f t ? ? ? ?
那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程。 关于参数的注意事项: ① 参数方程中的参数可以是有物理意义,几何意义,也可以没有明显意义。 ② 同一曲线选取参数不同,曲线参数方程形式也不一样。 ③ 在实际问题中要确定参数的取值范围。 2. 参数方程化为普通方程:互化的前提是 x, y 关于 t 的表达式中的 t 的取值范围保持一致;互化的过 程实际是消参的过程。 方法:①代入法:利用解方程的技巧求出参数 t ,然后代入消去参数; ②三角法:利用三角恒等式消去参数。 ③整体消元法:根据参数方程本身的结构特征,从整体上消去。 3. 圆参数方程的表示方法: ① 圆心在原点,半径为 r 的圆的参数方程: ?

? x ? r cos ? , ? 为参数。 ? y ? r sin ?

2

② 圆心在 O1 ? a, b ? ,圆半径为 r 的圆的参数方程: ?

? x ? a ? r cos ? , ? 为参数。 ? y ? b ? r sin ?

4. 焦点在 x 轴上的椭圆

? x ? a cos ? x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程: ? , ? 为参数, ? ??0,2? ? 。 2 a b y ? b sin ? ? ? x ? b cos ? y 2 x2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的参数方程: ? , ? 为参数, ? ??0,2? ? 。 2 a b ? y ? a sin ?

5. 焦点在 y 轴上的椭圆

6. 经过点 M0 ? x0 , y0 ? ,倾斜角为 ? 的直线 l 的参数方程: ? 是: t 表示参数 t 对应的点 M 到定点 M 0 的距离。

? x ? x0 ? t cos ? , t 为参数, t 的几何意义 ? y ? y0 ? t sin ?

基础自查
1.以平面直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,两种坐标系中取相同的长 度单位。已知直线 l 的参数方程是 ? 圆 C 截得的弦长为( A. 14 B. 2 14 ) C. 2 D. 2 2 )

?x ? t ?1 ,t 为参数,圆 C 的极坐标方程是 ? ? 4cos ? ,则直线 l 被 ?y ? t ?3

2.在极坐标系中,圆 ? ? 2cos ? 的垂直于极轴的两条切线方程分别为( A. ? ? 0( ? ? R) 和 ? cos ? ? 2 C. ? ? B. ? ?

?
2

( ? ? R ) 和 ? cos? ? 2

?
2

( ? ? R ) 和 ? cos ? ? 1

D. ? ? 0( ? ? R) 和 ? cos ? ? 1

3. 若以直角坐标系的原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 则线段 y ? 1 ? x ? 0 ? x ? 1? 的 极坐标方程为( A. ? ? ) B. ? ?

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 2

1 ? ,0 ?? ? cos ? ? sin ? 4

C. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?

?
2

D. ? ? cos ? ? sin ? , 0 ? ? ?

?
4


4.极坐标方程 ? ? cos ? 和参数方程 ? A.圆、直线 B.直线、圆

? x ? ?1 ? t ( t 为参数)所表示的图形分别是( ? y ? 2 ? 3t
C.圆、圆 D.直线、直线

3

5.在极坐标系中,点 ? 2,

? ?

??

? 到直线 ? sin ? ? 2 的距离等于_______________。 6?
? ?

6.已知圆的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ,圆心为 C,点 P 的坐标为 ? 4,

??

? ,则 CP ? _________。 3?

7.已知直线 l 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t , t 为参数,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极 ?y ? 3? t

坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? sin 2? ? 4cos ? ? 0( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) ,则直线 l 与曲线 C 的公共 点的极径 ? ? ______________。 8.在极坐标系中,曲线 C1 和 C2 的方程分别为 ? sin
2

? ? cos? 和 ? sin ? ? 1 。以极点为平面直角坐标

系的原点, 极轴为 x 轴的正半轴, 建立平面直角坐标系, 则曲线 C1 和 C2 交点的直角坐标为____________.

?x ? t ? 9.已知曲线 C1 的参数方程是 ? 3t , t 为参数,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 ?y ? 3 ?
坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 ,则 C1 与 C2 交点的直角坐标为____________. 10.在平面直角坐标系 xOy 中,若直线 l : ?

?x ? t ? x ? 3cos ? ( t 为参数)过椭圆 C : ? ( ? 为参数)的 y ? t ? a y ? 2sin ? ? ?

右顶点,则常数 a 的值为___________________。 11.设曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? t ?y ? t
2

( t 为参数) ,若以直角坐标系的原点为极点, x 轴的正半轴为极轴
y
2

建立极坐标系,则曲线 C 的极坐标方程为______________。 12.如图,以过原点的直线的倾斜角 ? 为参数,则圆 x ? y ? x ? 0 的参数方程
2

P θ

为__________________. 13.将圆 x ? y ? 1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的 2 倍,得曲
2 2

O

x

线 C。 (1)写出 C 的参数方程; (2)设直线 l : 2 x ? y ? 2 ? 0 与 C 的交点为 P 1, P 2 ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐

l 标系,求过线段 PP 1 2 的中点且与 垂直的直线的极坐标方程。

4

14.已知曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? 4 ? 5cos t ( t 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴 ? y ? 5 ? 5sin t

建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? ? 2sin ? 。 (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程; (2)求 C1 与 C2 交点的极坐标( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) 。

15.已知曲线 C :

?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数) 。 4 9 ? y ? 2 ? 2t

(1)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A,求 PA 的最大值与最小值。

16.已知直线 l 的参数方程为 ?

? x ? a ? 2t ? x ? 4cos ? ( t 为参数) ,圆 C 的参数方程为 ? , ? 为参数。 y ? ? 4 t y ? 4sin ? ? ?

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点, ,求实数 a 的取值范围。

5

自我提高
1.直线 ? A. 2 2

?x ? 2 ? t ( t 为参数)交极坐标方程为 ? ? 4cos ? 的曲线于 A、B 两点,则 AB ? ( ?y ? 2 ? t
B.3 C.4 D.6 ) D. ? sin ? ? 2



2.下面直线中,平行于极轴且与圆 ? ? 2cos ? 相切的是( A. ? cos ? ? 1 B. ? sin ? ? 1 C. ? cos ? ? 2

1 ? x?t? ? ? t 3.已知在直角坐标系中曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数且 t ? 0 ) ,在以坐标原点为极点, 1 2 ?y ? t ? ? t2 ?

x 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中曲线 C2 的极坐标方程为 ? ?
直角坐标为_____________。 4.已知在平面直角坐标系 xOy 中圆 C 的参数方程为 ?

?
4

( ? ? R ) ,则曲线 C1 与 C2 交点的

? x ? 3 ? 3cos ? ? ( ? 为参数) ,以 Ox 为极轴建 ? ? y ? 1 ? 3sin ?

立极坐标系,直线极坐标方程为 ? cos ? ? ?

? ?

??

? ? 0 ,则直线截圆 C 所得弦长为________________。 6?

5.在平面直角坐标系下,已知曲线 C1 : ?

? x ? 2t ? 2a ? x ? 2cos ? ( t 为参数)和曲线 C2 : ? ( ? 为参 ? y ? ?t ? y ? 1 ? 2sin ?

数) ,若曲线 C1 , C2 有公共点,则实数 a 的取值范围为___________________。 6.在直角坐标平面内,以坐标原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,已知点 M 的极坐 标为 ? 4 2,

? ?

??

? ? x ? 1 ? 2 cos ? ( ? 为参数) ,则点 M 到曲线 C 上的点的距离 ? ,曲线 C 的参数方程为 ? 4? ? ? y ? 2 sin ?
?x ? t2 ?y ? t

的最小值为_________。 7. 在平面直角坐标系中, 已知曲线 C1 和曲线 C2 的参数方程分别为 ? ( ? 为参数) ,且 C1 和 C2 相交于 A、B,则 AB ? ______。 8.在极坐标系中,曲线 ? ? 4 cos ? ? ? ( t 为参数) 和?

? ? x ? 2 cos ? ? ? y ? 2 sin ?

? ?

??

?? ? ? 与直线 ? sin ? ? ? ? ? 1 的两个交点之间的距离为_______。 6? 3? ?
6

9. 已知直线 l : ?

? x ? 1 ? t cos ? ? x ? cos ? ( t 为参数) 与圆 C ? ( ? 为参数) 的位置关系不可能是_________。 ? y ? t sin ? ? y ? sin ?
? ?

10.在极坐标系中,圆 C 的圆心坐标为 C ? 2,

??

? ,半径为 2。以极点为原点,极轴为 x 轴的正半轴, 3?

? 3 x ? 1? t ? ? 2 ( t 为参数) 取相同的长度单位建立平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? 。 ?y ? 3 ? 1 t ? ? 2
(1)求圆 C 的极坐标方程; (2)设 l 与圆 C 的交点为 A、B, l 与 x 轴的交点 P,求 PA ? PB 。

11.在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ?

?x ? 2 ? t ( t 为参数) ,曲线 P 在以该直角坐标系的 ? y ? t ?1
2

原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标系下的方程为 ? ? 4? cos? ? 3 ? 0 。 (1)求曲线 C 的普通方程和曲线 P 的直角坐标方程; (2)设曲线 C 和曲线 P 的交点为 A、B,求 AB 。

12.在直角坐标系 xOy 中,已知点 P 0, 3 ,曲线 C 的参数方程为 ?

?

?

? ? x ? 5 cos ? ? ? y ? 15 sin ?

( ? 为参数) ,以

原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? ?

3

?? ? 2cos ? ? ? ? 6? ?



(1)判断点 P 与直线 l 的位置关系,说明理由; (2)设直线 l 与曲线 C 的两个交点为 A、B,求 PA PB 的值。
7

13.已知在直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ?

? ?x ? t ? 3 ( t 为参数) ,以直角坐标系 xOy 中的原 ? ? y ? 3t

点为极点, x 轴的非负半轴为极轴,圆 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 4? cos? ? 3 ? 0 。 (1)求 l 的普通方程及 C 的直角坐标方程; (2)P 为圆 C 上的点,求 P 到 l 的距离的取值范围。

14.已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点处,极轴与 x 轴的正半轴重合,直线 l 的参数方程为

? 3 x ? ?1 ? t ? ? 2 ( t 为参数) ,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? 。 ? 1 ?y ? t ? ? 2
(1)写出曲线 C 的直角坐标方程,并指明 C 是什么曲线; (2)设直线 l 与曲线 C 相交于 P、Q 两点,求 PQ 的值。

? ?x ? ? 15.已知直线 l 的参数方程是 ? ?y ? ? ?

2 t ?? ? 2 ( t 为参数) ,圆 C 的极坐标方程为 ? ? 2 cos ? ? ? ? 。 4? ? 2 t?4 2 2

(1)求圆心 C 的直角坐标; (2)由直线 l 上的点向圆 C 引切线,求切线长的最小值。

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