圆锥曲线对偶的性质100条


椭圆与双曲线的对偶性质 100 条 杨志明 湖北省黄石二中 435003 椭
1. | PF1 | + | PF2 |= 2a 2.标准方程: 3.



x2 y2 + =1 a2 b2

| PF1 | = e <1 d1

4.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角. 5.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的外角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点. 6.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8.设 A1、A2 为椭圆的左、右顶点,则△PF1F2 在边 PF2(或 PF1)上的旁切圆,必与 A1A2 所在的直线切于 A2(或 A1).

x2 y2 + = 1 (a>b>o)的两个顶点为 A1 (? a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的直线 a2 b2 x2 y2 交椭圆于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 ? 2 = 1 . a b 2 2 xx y y x y 10.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1 上,则过 P0 的椭圆的切线方程是 02 + 02 = 1 . a b a b 2 2 x y 11.若 P0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 + 2 = 1 外 ,则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2,则 a b xx y y 切点弦 P1P2 的直线方程是 02 + 02 = 1 . a b 2 2 x y 12.AB 是椭圆 2 + 2 = 1 的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为 AB 的中点,则 a b 2 b kOM ? k AB = ? 2 . a x2 y2 13 . 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 2 + 2 = 1 内 , 则 被 Po 所 平 分 的 中 点 弦 的 方 程 是 a b 2 2 x0 x y0 y x0 y + 2 = 2 + 02 . 2 a b a b x2 y2 14 . 若 P0 ( x0 , y0 ) 在 椭 圆 2 + 2 = 1 内 , 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 a b 2 2 xx y y x y + 2 = 02 + 02 . 2 a b a b
9.椭圆

15 . 若 PQ 是 椭 圆

x2 y2 + =1 ( a > b > 0 ) 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 , 则 a2 b2

1 1 1 1 + 2 = 2 + 2 (r1 =| OP |, r2 =| OQ |) . 2 r1 r2 a b
16 . 若 椭 圆

x2 y2 + =1 ( a > b > 0 ) 上 中 心 张 直 角 的 弦 L 所 在 直 线 方 程 为 a2 b2
1 1 2 a 4 A2 + b 4 B 2 + 2 = A2 + B 2 ;(2) L = . a2 b a 2 A2 + b2 B 2
2 2 2 2 2 2 2 2

Ax + By = 1 ( AB ≠ 0) ,则(1)
2 2

a 2 ? b2 17.给定椭圆 C1 : b x + a y = a b (a>b>0), C2 : b x + a y = ( 2 ab)2 , 2 a +b 则 (i) 对 C1 上 任 意 给 定 的 点 P0 ( x0 , y0 ) , 它 的 任 一 直 角 弦 必 须 经 过 C2 上 一 定 点
M( (

a 2 ? b2 a 2 ? b2 x0 , ? 2 2 y0 ) . a 2 + b2 a +b ' ' ' ' (ii)对 C2 上任一点 P 0 ( x0 , y0 ) 在 C1 上存在唯一的点 M ' ,使得 M ' 的任一直角弦都经过 P0

点.

x2 y2 18.设 P0 ( x0 , y0 ) 为椭圆(或圆)C: 2 + 2 = 1 (a>0,. b>0)上一点,P1P2 为曲线 C 的 a b 动弦,且弦 P0P1, P0P2 斜率存在,记为 k1, k 2, 则直线 P1P2 通过定点 M ( mx0 , ? my0 ) (m ≠ 1) 的
充要条件是 k1 ? k2 = ?

1 + m b2 ? . 1? m a2

x2 y2 19. 过椭圆 2 + 2 = 1 (a>0, b>0)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直线交 a b b2 x 椭圆于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k BC = 2 0 (常数). a y0
20.椭圆

∠F1 PF2 = γ ,则椭圆的焦点角形的面积为
S ?F1PF2 = b 2 tan

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为椭圆上任意一点 a2 b2

a 2 2 γ b2 γ c ? b tan 2 , tan ) . 2 2 c 2 c 2 2 x y 21.若 P 为椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1, F 2 是焦点, a b a?c α β ∠PF1 F2 = α , ∠PF2 F1 = β ,则 = tan co t . a+c 2 2 2 2 x y 22.椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)的焦半径公式: a b | MF1 |= a + ex0 , | MF2 |= a ? ex0 ( F1 (?c, 0) , F2 (c, 0) M ( x0 , y0 ) ).

γ

, P(

23.若椭圆

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 a2 b2

0<e≤ 2 ? 1 时,可在椭圆上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中项.

x2 y2 24.P 为椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为椭圆内一定点,则 a b

2a ? | AF2 |≤| PA | + | PF1 |≤ 2a + | AF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线时,等号成立. x2 y2 + = 1 (a>b>0)上存在两点关于直线 l : y = k ( x ? x0 ) 对称的充要条 a2 b2 (a 2 ? b 2 ) 2 2 件是 x0 ≤ 2 . a + b2k 2
25.椭圆 26.过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 27. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点, 则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 28.P 是椭圆 ? 件是 e 2 =

? x = a cos ? (a>b>0)上一点,则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条 ? y = b sin ?

1 . 1 + sin 2 ?

x2 y2 x2 y2 29.设 A,B 为椭圆 2 + 2 = k (k > 0, k ≠ 1) 上两点,其直线 AB 与椭圆 2 + 2 = 1 相 a b a b 交于 P, Q ,则 AP = BQ .
30 . 在 椭 圆

x2 y2 + = 1 中 , 定 长 为 2m ( o < m ≤ a ) 的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为 a2 b2

x2 y2 + ) 2 2 a2 b2 ,其中 tan α = ? b x ,当 y = 0 时, α = 90 . m2 = cos2 α sin 2 α a2 y 2 + 2 a2 b x2 y2 31.设 S 为椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0)的通径,定长线段 L 的两端点 A,B 在椭圆上 a b 移 动 , 记 |AB|= l , M ( x0 , y0 ) 是 AB 中 点 , 则 当 l ≥ ΦS 时 , 有 1? (
( x0 ) max = a2 l 2 2 2 c a ? (c = a ?b , e = );当 l < ΦS 时,有 ( x0 )max = 4b2 ? l 2 , ( x0 )min = 0 . c 2e a 2b 2 2 x y 32 . 椭 圆 2 + 2 = 1 与 直 线 Ax + By + C = 0 有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 a b 2 2 2 2 2 A a +B b ≥C . ( x ? x0 ) 2 ( y ? y0 ) 2 33.椭圆 + = 1 与直线 Ax + By + C = 0 有公共点的充要条件是 a2 b2 A 2 a 2 + B 2 b 2 ≥ ( Ax0 + By0 + C ) 2 .
34.设椭圆

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为椭圆上 a2 b2 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ∠F1 PF2 = α , ∠PF1 F2 = β , ∠F1 F2 P = γ , 则 有 sin α c = = e. sin β + sin γ a 35.经过椭圆 b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2b 2 (a>b>0)的长轴的两端点 A1 和 A2 的切线,与椭
圆上任一点的切线相交于 P1 和 P2,则 | PA1 | ? | PA2 |= b .
2

36. 已知椭圆

x2 y2 + =1 (a>b>0)O 为坐标原点, Q 为椭圆上两动点, OP ⊥ OQ . , P、 且 a2 b2

1 1 1 1 4a 2b 2 2 2 (1) + = + ;(2)|OP| +|OQ| 的最大值为 2 ;(3) S ?OPQ 的最小 | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2 a + b2
a 2b 2 值是 2 . a + b2

37.MN 是经过椭圆 b x + a y = a b (a>b>0)过焦点的任一弦,若 AB 是经过椭
2 2 2 2 2 2 2

圆中心 O 且平行于 MN 的弦,则 | AB | = 2a | MN | . 38.MN 是经过椭圆 b x + a y = a b (a>b>0)焦点的任一弦,若过椭圆中心 O
2 2 2 2 2 2

的半弦 OP ⊥ MN ,则

2 1 1 1 + = 2+ 2. 2 a | MN | | OP | a b

x2 y2 39.设椭圆 2 + 2 = 1 (a>b>0),M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心,顶点外的 a b
任一点,过 M 引一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点,则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为对称轴上的 两顶点)的交点 N 在直线 l : x =

a2 b2 (或 y = )上. m m

40.设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点,A 为椭圆长轴上一个顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 41.过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2 为椭圆长轴上的顶点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y2 + = 1 ,则斜率为 k(k≠0)的平行弦的中点必在直线 l : y = kx 的共 a2 b2 b2 ' 轭直线 y = k ' x 上,而且 kk = ? 2 . a x2 y2 43. A、 C、 为椭圆 2 + 2 = 1 上四点,AB、 所在直线的倾斜角分别为 α , β , 设 B、 D CD a b | PA | ? | PB | b 2 cos 2 β + a 2 sin 2 β 直线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在椭圆上,则 = . | PC | ? | PD | b 2 cos 2 α + a 2 sin 2 α
42. 设椭圆方程

x2 y2 44.已知椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0),点 P 为其上一点 F1, F 2 为椭圆的焦点, ∠F1 PF2 a b 的外(内)角平分线为 l ,作 F1、F2 分别垂直 l 于 R、S,当 P 跑遍整个椭圆时,R、S 形成 的轨迹方程是 x 2 + y 2 = a 2 ( {b 2 y 2 + [( a ? ce)( x + c )]2 } ? ( x 2 + y 2 + cx ) 2 = [ce( x + c )]2 ). 45. 设△ABC 内接于椭圆 Γ , AB 为 Γ 的直径,l 为 AB 的共轭直径所在的直线,l 分 且 别交直线 AC、BC 于 E 和 F,又 D 为 l 上一点,则 CD 与椭圆 Γ 相切的充要条件是 D 为 EF
的中点.

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点,弦 a2 b2 | PF | e MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 = . | MN | 2
46.过椭圆

x2 y2 b 2 x1 47.设 A(x1 ,y1)是椭圆 2 + 2 = 1(a>b>0)上任一点,过 A 作一条斜率为 ? 2 a b a y1 的直线 L,又设 d 是原点到直线 L 的距离, r1 , r2 分别是 A 到椭圆两焦点的距离,则 r1r2 d = ab .

48.已知椭圆

x2 y2 x2 y2 + 2 = 1 ( a>b>0)和 2 + 2 = λ ( 0 < λ < 1 ) ,一直线顺次与 a2 b a b

它们相交于 A、B、C、D 四点,则│AB│=|CD│.

x2 y2 + = 1 ( a>b>0) ,A、B、是椭圆上的两点,线段 AB 的垂直平 a2 b2 a2 ? b2 a2 ? b2 分线与 x 轴相交于点 P ( x0 , 0) , 则 ? < x0 < . a a x2 y2 50.设 P 点是椭圆 2 + 2 = 1 ( a>b>0)上异于长轴端点的任一点,F1、F2 为其焦点 a b 2b 2 γ 2 记 ∠F1 PF2 = θ ,则(1) | PF1 || PF2 |= .(2) S ?PF1F2 = b tan . 1 + cos θ 2
49.已知椭圆 51.设过椭圆的长轴上一点 B(m,o)作直线与椭圆相交于 P、Q 两点,A 为椭圆长轴 的左顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于过 B 点的直线 MN: x = n 于 M,N 两点,则

∠MBN = 90 ?

a?m a2 = 2 . a + m b (n + a ) 2

x2 y2 + = 1( a>b>0)长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线,E、F 是 a2 b2 椭 圆 两 个 焦 点 , e 是 离 心 率 , 点 P ∈ L , 若 ∠EPF = α , 则 α 是 锐 角 且 sin α ≤ e 或 ab α ≤ arc sin e (当且仅当 | PH |= 时取等号). c 2 2 x y 53.L 是椭圆 2 + 2 = 1 ( a>b>0)的准线,A、B 是椭圆的长轴两顶点,点 P ∈ L , a b e 是离心率, ∠EPF = α ,H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距,则 α 是锐角且 sin α ≤ e 或 ab α ≤ arc sin e (当且仅当 | PH |= 时取等号). c 2 2 x y 54.L 是椭圆 2 + 2 = 1( a>b>0)的准线,E、F 是两个焦点,H 是 L 与 x 轴的交 a b 2 点 , 点 P ∈ L , ∠EPF = α , 离 心 率 为 e , 半 焦 距 为 c , 则 α 为 锐 角 且 sin α ≤ e 或 b 2 2 α ≤ arc sin e 2 (当且仅当 | PH |= a + c 时取等号). c x2 y2 55.已知椭圆 2 + 2 = 1( a>b>0) ,直线 L 通过其右焦点 F2,且与椭圆相交于 A、B a b (2a 2 ? b 2 )2 2 两点,将 A、B 与椭圆左焦点 F1 连结起来,则 b ≤| F1 A | ? | F1 B |≤ (当且仅当 a2
52.L 是经过椭圆 AB⊥x 轴时右边不等式取等号,当且仅当 A、F1、B 三点共线时左边不等式取等号).

x2 y2 + = 1 ( a>b>0)的长轴两端点,P 是椭圆上的一点, a2 b2 ∠PAB = α , ∠PBA = β , ∠BPA = γ , c 、 e 分 别 是 椭 圆 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有
56.设 A、B 是椭圆 (1) | PA |=

2ab 2 | cos α | 2a 2b 2 .(2) tan α tan β = 1 ? e 2 .(3) S ?PAB = 2 cot γ . a 2 ? c 2 co s 2 γ b ? a2

x2 y2 + = 1( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点) 、外 a2 b2 2 (1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两 部的两点,且 x A 、 xB 的横坐标 x A ? xB = a ,
57.设 A、B 是椭圆

点 , 则 ∠PBA = ∠QBA ; 2 ) 若 过 B 引 直 线 与 这 椭 圆 相 交 于 P 、 Q 两 点 , 则 (

∠PBA + ∠QBA = 180 .
58.设 A、B 是椭圆

x2 y2 + = 1( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点) ,外 a2 b2
2

部的两点, (1)若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点, (若 B P 交椭圆于两点,则 P、 Q 不关于 x 轴对称) ,且 ∠PBA = ∠QBA ,则点 A、B 的横坐标 xA 、 xB 满足 x A ? xB = a ; (2)若过 B 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点,且 ∠PBA + ∠QBA = 180 ,则点 A、B 的 横坐标满足 x A ? xB = a .
2

x2 y2 + = 1 的长轴的两个端点, ' 是与 AA' 垂直的弦, QQ 则直线 AQ a2 b2 x2 y2 ' ' 与 A Q 的交点 P 的轨迹是双曲线 2 ? 2 = 1 . a b 2 2 x y 60.过椭圆 2 + 2 = 1 ( a>b>0)的左焦点 F 作互相垂直的两条弦 AB、CD 则 a b 2 8ab 2(a 2 + b 2 ) ≤| AB | + | CD |≤ . a 2 + b2 a x2 y2 a?c (c 为半焦距)的动 61.到椭圆 2 + 2 = 1( a>b>0)两焦点的距离之比等于 a b b 点 M 的轨迹是姊妹圆 ( x ± a ) 2 + y 2 = b 2 .
59. A, A 是椭圆 设
'

x2 y2 a?c (c 为半焦距) 62.到椭圆 2 + 2 = 1( a>b>0)的长轴两端点的距离之比等于 a b b a 2 b 2 2 的动点 M 的轨迹是姊妹圆 ( x ± ) + y = ( ) . e e 2 2 x y a?c (c 为 63.到椭圆 2 + 2 = 1( a>b>0)的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 a b b a 2 b 2 2 半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆 ( x ± 2 ) + y = ( 2 ) (e 为离心率). e e 2 2 x y 64.已知 P 是椭圆 2 + 2 = 1 ( a>b>0)上一个动点, A' , A 是它长轴的两个端点, a b x 2 b2 y 2 且 AQ ⊥ AP , A'Q ⊥ A' P ,则 Q 点的轨迹方程是 2 + 4 = 1 . a a
65.椭圆的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴 之长的比例中项. 66.设椭圆 作斜率为 ?

x2 y2 + = 1 ( a>b>0)长轴的端点为 A, A' , P ( x1 , y1 ) 是椭圆上的点过 P a2 b2

b 2 x1 的直线 l ,过 A, A' 分别作垂直于长轴的直线交 l 于 M , M ' ,则 2 a y1

(1) | AM || A' M ' |= b 2 .(2)四边形 MAA' M ' 面积的最小值是 2ab .

x2 y2 67. 已知椭圆 2 + 2 = 1( a>b>0) 的右准线 l 与 x 轴相交于点 E , 过椭圆右焦点 F a b 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ⊥ x 轴,则直线 AC 经过线段 EF
的中点.

( x ? a)2 y 2 + 2 = 1 ( a>0,b>0)的两条互相垂直的弦,O 为坐标 a2 b 2ab 2 原点,则(1)直线 AB 必经过一个定点 ( 2 , 0) .(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一 a + b2 ab2 2 2 ab2 2 个交点 Q 的轨迹方程是 (x? 2 2 ) + y =( 2 2 ) (x≠ 0) . a +b a +b 2 2 ( x ? a) y 69. P ( m, n) 是椭圆 + 2 = 1 (a>b>0)上一个定点,P A、P B 是互相垂直 2 a b 2ab 2 + m(a 2 ? b 2 ) n(b 2 ? a 2 ) 的弦,则(1)直线 AB 必经过一个定点 ( , 2 ) .(2)以 P A、P B a2 + b2 a + b2
68.OA、OB 是椭圆 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是

(x ?

ab 2 + a 2 m 2 b2n a 2 [b 4 + n 2 (a 2 ? b 2 )] ) + ( y ? 2 2 )2 = ( x ≠ m 且 y ≠ n ). a 2 + b2 a +b (a 2 + b 2 ) 2 70.如果一个椭圆短半轴长为 b,焦点 F1、F2 到直线 L 的距离分别为 d1、d2,那么(1) d1d 2 = b 2 ,且 F1、F 2 在 L 同侧 ? 直线 L 和椭圆相切.(2) d1d 2 > b 2 ,且 F1、F2 在 L 同
2

侧 ? 直线 L 和椭圆相离, (3) d1d 2 < b ,或 F1、F2 在 L 异侧 ? 直线 L 和椭圆相交.

x2 y2 + = 1 (a>b>0)的长轴, N 是椭圆上的动点,过 N 的切线与 a2 b2 过 A、B 的切线交于 C 、 D 两点,则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 x 2 + 4a 2 y 2 = 1( y ≠ 0) .
71.AB 是椭圆 72 . 设 点 P ( x0 , y0 ) 为 椭 圆

x2 y2 + = 1 ( a > b > 0 ) 的 内 部 一 定 点 , AB 是 椭圆 a2 b2

x2 y2 + = 1 过定点 P ( x0 , y0 ) 的任一弦,当弦 AB 平行(或重合)于椭圆长轴所在直线时 a2 b2 a 2b 2 ? (a 2 y0 2 + b 2 x0 2 ) (| PA | ? | PB |)max = . 当 弦 AB 垂 直 于 长 轴 所 在 直 线 时 , b2 a 2b 2 ? (a 2 y0 2 + b 2 x0 2 ) (| PA | ? | PB |) min = . b2
73.椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74.椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75.椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 76.椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 77. 椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离 心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78.椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 79.椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 80.椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点 到同侧焦点的距离成比例. 81.椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点 与同侧焦点连线段成比例. 82. 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连 线必与另一焦半径所在直线平行. 83. 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足的 距离为椭圆长半轴的长. 84. 椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦

半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点. 85.椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的 比为定值 e. 86.椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87.椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88. 椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为 直径的圆必过两焦点.

x2 y2 89. 已知椭圆 2 + 2 = 1( a > 0, b > 0) (包括圆在内)上有一点 P ,过点 P 分别作直线 a b b b y = x 及 y = ? x 的平行线,与直线 OP 分别交于 R, Q , O 为原点,则:. a a 2 (2) | OQ |2 + | OR |2 = b 2 . (1) | OM | + | ON |2 = a 2 ; b b 90. 过 平 面 上 的 P 点 作 直 线 l1 : y = x 及 l2 : y = ? x 的 平 行 线 , 分 别 交 x 轴 于 a a 2 2 M , N , 交 y 轴 于 R, Q . ( 1 ) 若 | OM | + | ON | = a 2 , 则 P 的 轨 迹 方 程 是
x2 y2 + 2 = 1(a > 0, b > 0) .(2) 若 | OQ |2 + | OR |2 = b 2 , 则 P 的 轨 迹 方 程 是 2 a b 2 x y2 + = 1(a > 0, b > 0) . a2 b2 x2 y2 91. 点 P 为椭圆 2 + 2 = 1( a > 0, b > 0) (包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点, 过 a b b P 引 x 轴、 y 轴的平行线,交 y 轴、 x 轴于 M , N ,交直线 y = ? x 于 Q, R ,记 ?OMQ a ab 与 ?ONR 的面积为 S1 , S 2 ,则: S1 + S 2 = . 2 92. 点 P 为第一象限内一点,过 P 引 x 轴、 y 轴的平行线,交 y 轴、 x 轴于 M , N , b ab 交直线 y = ? x 于 Q, R ,记 ?OMQ 与 ?ONR 的面积为 S1 , S 2 ,已知 S1 + S 2 = ,则 P a 2 x2 y2 的轨迹方程是 2 + 2 = 1( a > 0, b > 0) . a b

双曲线
1. || PF1 | ? | PF2 ||= 2a 2.标准方程: 3.

x2 y2 ? =1 a2 b2

| PF1 | = e >1 d1

4.点 P 处的切线 PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角. 5.PT 平分△PF1F2 在点 P 处的内角,则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴为 直径的圆,除去长轴的两个端点. 6.以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7.以焦点半径 PF1 为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8.设 A1、A2 为双曲线的左、右顶点,则△PF1F2 在边 PF2(或 PF1)上的旁切圆,必与 A1A2 所在的直线切于 A2(或 A1).

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的两个顶点为 A1 (? a, 0) , A2 (a, 0) ,与 y 轴平行的 a2 b2 x2 y2 直线交双曲线于 P1、P2 时 A1P1 与 A2P2 交点的轨迹方程是 2 + 2 = 1 . a b 2 2 x y 10.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)上,则过 P0 的双曲线的切线方程是 a b x0 x y0 y ? 2 = 1. a2 b x2 y2 11.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)外 ,则过 Po 作双曲线的两条切线 a b xx y y 切点为 P1、P2,则切点弦 P1P2 的直线方程是 02 ? 02 = 1 . a b 2 2 x y 12.AB 是双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦,M 为 AB a b 2 b 的中点,则 kOM ? k AB = 2 . a x2 y2 13.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)内,则被 Po 所平分的中点弦的方 a b 2 2 xx y y x y 程是 02 ? 02 = 02 ? 02 . a b a b x2 y2 14.若 P0 ( x0 , y0 ) 在双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)内,则过 Po 的弦中点的轨迹方程 a b
9.双曲线



x 2 y 2 x0 x y0 y ? = 2 ? 2 . a2 b2 a b
15 . 若 PQ 是 双 曲 线

x2 y2 ? =1 ( b > a > 0 ) 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 , 则 a2 b2

1 1 1 1 + 2 = 2 ? 2 (r1 =| OP |, r2 =| OQ |) . 2 r1 r2 a b
16 . 若 双 曲 线

x2 y2 ? =1 (b>a >0)上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 a2 b2
1 1 2 a 4 A2 + b 4 B 2 ? 2 = A2 + B 2 ;(2) L = . a2 b | a 2 A2 ? b 2 B 2 |
2 2 2 2

Ax + By = 1 ( AB ≠ 0) ,则(1)

a 2 + b2 ab)2 , 2 2 a ?b 则 (i) 对 C1 上 任 意 给 定 的 点 P0 ( x0 , y0 ) , 它 的 任 一 直 角 弦 必 须 经 过 C2 上 一 定 点
17. 给定双曲线 C1 :b 2 x 2 ? a 2 y 2 = a 2b 2(a>b>0) C2 :b x ? a y = ( , M( (

a 2 + b2 a 2 + b2 x0 , ? 2 2 y0 ) . a 2 ? b2 a ?b ' ' ' ' (ii)对 C2 上任一点 P 0 ( x0 , y0 ) 在 C1 上存在唯一的点 M ' ,使得 M ' 的任一直角弦都经过 P0
18.设 P0 ( x0 , y0 ) 为双曲线

点.

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)上一点,P1P2 为曲线 C 的动弦,且 a2 b2 弦 P0P1, P0P2 斜率存在,记为 k1, k 2, 则直线 P1P2 通过定点 M ( mx0 , ? my0 ) (m ≠ 1) 的充要条 1 + m b2 ? . 1 ? m a2 x2 y2 19.过双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>o)上任一点 A( x0 , y0 ) 任意作两条倾斜角互补的直 a b b 2 x0 线交双曲线于 B,C 两点,则直线 BC 有定向且 k BC = ? 2 (常数). a y0
件是 k1 ? k2 =

x2 y2 20.双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>o)的左右焦点分别为 F1,F 2,点 P 为双曲线上任意 a b
一 点 ∠F1 PF2 = γ , 则 双 曲 线 的 焦 点 角 形 的 面 积 为 S ?F1PF2 = b co t
2

γ

2



a 2 γ b2 γ c + b 2 tan 2 , cot ) . c 2 c 2 2 x y2 21.若 P 为双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)右(或左)支上除顶点外的任一点,F1, F 2 a b c?a α β c?a β α 是焦点, ∠PF1 F2 = α , ∠PF2 F1 = β ,则 = tan co t (或 = tan co t ). c+a 2 2 c+a 2 2 2 2 x y 22.双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>o)的焦半径公式:( F1 ( ?c, 0) , F2 (c, 0) a b 当 M ( x0 , y0 ) 在右支上时, | MF1 |= ex0 + a , | MF2 |= ex0 ? a . 当 M ( x0 , y0 ) 在左支上时, | MF1 |= ?ex0 + a , | MF2 |= ?ex0 ? a . P(

23.若双曲线

x2 y2 ? = 1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为 L,则当 a2 b2

1<e≤ 2 + 1 时,可在双曲线上求一点 P,使得 PF1 是 P 到对应准线距离 d 与 PF2 的比例中 项.

x2 y2 24.P 为双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)上任一点,F1,F2 为二焦点,A 为双曲线内一定 a b 点,则 | AF2 | ?2a ≤| PA | + | PF1 | ,当且仅当 A, F2 , P 三点共线且 P 和 A, F2 在 y 轴同侧时,
等号成立.

x2 y2 ? = 1(a>0,b>0)上存在两点关于直线 l : y = k ( x ? x0 ) 对称的充要 a2 b2 (a 2 + b 2 ) 2 2 条件是 x0 > 2 . a ? b2k 2
25.双曲线 26.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线,与以长轴为直径的圆相交,则相应交点与 相应焦点的连线必与切线垂直. 27.过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点,则该点与焦点的连线必 与焦半径互相垂直.

? x = a sec ? (a>0,b>0)上一点,则点 P 对双曲线两焦点张直角的 ? y = b tan ? 1 充要条件是 e 2 = . 1 ? tan 2 ?
28.P 是双曲线 ? 29.设 A,B 为双曲线 双曲线

x2 y2 ? = k (a>0,b>0, k > 0, k ≠ 1 )上两点,其直线 AB 与 a2 b2

x2 y2 ? = 1 相交于 P, Q ,则 AP = BQ . a2 b2 x2 y2 30 . 在 双 曲 线 2 ? 2 = 1 中 , 定 长 为 2m ( m ) 0 ) 的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为 a b 2 2 x y 1? ( 2 ? 2 ) b2 x2 a b m2 = ,其中 tan α = ? 2 2 ,当 y = 0 时, α = 90 . cos2 α sin 2 α a y ? 2 2 a b x2 y2 31.设 S 为双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>o)的通径,定长线段 L 的两端点 A,B 在双曲 a b 线 上 移 动 , 记 |AB|= l , M ( x0 , y0 ) 是 AB 中 点 , 则 当 l ≥ ΦS 时 , 有 a2 l 2 2 2 c a + (c = a +b , e = );当 l < ΦS 时,有 ( x0 ) min = 4b 2 + l 2 . c 2e a 2b 2 2 x y 32.双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)与直线 Ax + By + C = 0 有公共点的充要条件是 a b 2 2 2 2 2 A a ?B b ≤C . ( x ? x0 ) 2 ( y ? y0 )2 33.双曲线 ? = 1 (a>0,b>0)与直线 Ax + By + C = 0 有公共点 a2 b2 2 2 2 2 2 的充要条件是 A a ? B b ≤ ( Ax0 + By0 + C ) . ( x0 ) min =

x2 y2 34.设双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P(异于长轴端点)为双 a b

曲 线 上 任 意 一 点 , 在 △ PF1F2 中 , 记 ∠F1 PF2 = α , ∠PF1 F2 = β , ∠F1 F2 P = γ , 则 有

sin α c = = e. ± (sin γ ? sin β ) a

x2 y2 35.经过双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的实轴的两端点 A1 和 A2 的切线,与双曲线 a b 2 上任一点的切线相交于 P1 和 P2,则 | PA1 | ? | PA2 |= b .
x2 y2 ? = 1 (b>a >0) 为坐标原点,P、Q 为双曲线上两动点, ,O a2 b2 1 1 1 1 4a 2b 2 2 2 且 OP ⊥ OQ .(1) + = ? ;(2)|OP| +|OQ| 的最小值为 2 ;(3) | OP |2 | OQ |2 a 2 b 2 b ? a2
36.已知双曲线

a 2b 2 S ?OPQ 的最小值是 2 . b ? a2 x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)过焦点的任一弦(交于两支),若 AB a2 b2 是经过双曲线中心 O 且平行于 MN 的弦,则 | AB |2 = 2a | MN | .
37.MN 是经过双曲线

x2 y2 38.MN 是经过双曲线 2 ? 2 = 1 (a>b>0)焦点的任一弦(交于同支),若过双曲线 a b 2 1 1 1 中心 O 的半弦 OP ⊥ MN ,则 ? = 2? 2. 2 a | MN | | OP | a b
39.设双曲线

x2 y2 ? = 1(a>0,b>0),M(m,o)为实轴所在直线上除中心,顶点外的任 a2 b2

一点,过 M 引一条直线与双曲线相交于 P、Q 两点,则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2 为两顶点)的

a2 交点 N 在直线 l : x = 上. m
40.设过双曲线焦点 F 作直线与双曲线相交 P、Q 两点,A 为双曲线长轴上一个顶点, 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点,则 MF⊥NF. 41.过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2 为双曲线实轴上的顶 点,A1P 和 A2Q 交于点 M,A2P 和 A1Q 交于点 N,则 MF⊥NF.

x2 y2 42. 设双曲线方程 2 ? 2 = 1 ,则斜率为 k(k≠0)的平行弦的中点必在直线 l : y = kx 的 a b b2 ' 共轭直线 y = k ' x 上,而且 kk = 2 . a x2 y2 43.设 A、B、C、D 为双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>o)上四点,AB、CD 所在直线的 a b 倾 斜 角 分 别 为 α , β , 直 线 AB 与 CD 相 交 于 P, 且 P 不 在 双 曲 线 上 , 则

| PA | ? | PB | b 2 cos 2 β ? a 2 sin 2 β = . | PC | ? | PD | b 2 cos 2 α ? a 2 sin 2 α
x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0),点 P 为其上一点 F1, F 2 为双曲线的焦点, a2 b2 ∠F1 PF2 的外(内)角平分线为 l ,作 F1、F2 分别垂直 l 于 R、S,当 P 跑遍整个双曲线时,
44.已知双曲线 R、S 形成的轨迹方程是

x 2 + y 2 = a 2 ( {a 3b( x ? c)[(a 2 + b 2 ) x ? b 2 c]}2 + [a 4 c 2 ( x ? c) y ]2 = (ab3c 2 y 2 ) 2 ).

45.设△ABC 三顶点分别在双曲线 Γ 上,且 AB 为 Γ 的直径, l 为 AB 的共轭直径所在 的直线, l 分别交直线 AC、BC 于 E 和 F,又 D 为 l 上一点,则 CD 与双曲线 Γ 相切的充要 条件是 D 为 EF 的中点.

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N a2 b2 | PF | e = . 两点,弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P,则 | MN | 2
46.过双曲线

x2 y2 b 2 x1 47. A 1 ,y1) 设 (x 是双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0) 上任一点, A 作一条斜率为 2 过 a b a y1 的直线 L,又设 d 是原点到直线 L 的距离, r1 , r2 分别是 A 到双曲线两焦点的距离,则 r1r2 d = ab .
48.已知双曲线

x2 y2 x2 y2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)和 2 ? 2 = λ ( 0 < λ < 1 ) ,一条直线顺 a2 b a b

次与它们相交于 A、B、C、D 四点,则│AB│=|CD│.

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0),A、B 是双曲线上的两点,线段 AB 的垂直 a2 b2 a2 + b2 a2 + b2 或 x0 ≤ ? . 平分线与 x 轴相交于点 P ( x0 , 0) , 则 x0 ≥ a a x2 y2 50.设 P 点是双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点,F1、F2 为其焦 a b 2b 2 γ 2 点记 ∠F1 PF2 = θ ,则(1) | PF1 || PF2 |= .(2) S ?PF1F2 = b cot . 1 ? cos θ 2
49.已知双曲线 51.设过双曲线的实轴上一点 B(m,o)作直线与双曲线相交于 P、Q 两点,A 为双曲 线实轴的左顶点,连结 AP 和 AQ 分别交相应于过 B 点的直线 MN: x = n 于 M,N 两点, 则 ∠MBN = 90 ?

a?m a2 =? 2 . a+m b (n + a ) 2

x2 y2 52.L 是经过双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)焦点 F 且与实轴垂直的直线,A、B 是 a b 1 双曲线实轴的两个焦点,e 是离心率,点 P ∈ L ,若 ∠EPF = α ,则 α 是锐角且 sin α ≤ 或 e 1 ab α ≤ arc sin (当且仅当 | PH |= 时取等号). e c 2 2 x y 53.L 是经过双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)的实轴顶点 A 且与 x 轴垂直的直线,E、 a b F 是双曲线的准线与 x 轴交点,点 P ∈ L ,e 是离心率, ∠EPF = α ,H 是 L 与 X 轴的交点 1 1 ab c 是半焦距,则 α 是锐角且 sin α ≤ 或 α ≤ arc sin (当且仅当 | PA |= 时取等号). e e c x2 y2 54.L 是双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)焦点 F1 且与 x 轴垂直的直线,E、F 是双曲 a b 线准线与 x 轴交点,H 是 L 与 x 轴的交点,点 P ∈ L , ∠EPF = α ,离心率为 e,半焦距为 1 1 b 2 2 c,则 α 为锐角且 sin α ≤ 2 或 α ≤ arc sin 2 (当且仅当 | PF1 |= a + c 时取等号). e e c

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0) ,直线 L 通过其右焦点 F2,且与双曲线右支交 a2 b2 (2a 2 + b 2 ) 2 于 A、B 两点,将 A、B 与双曲线左焦点 F1 连结起来,则 | F1 A | ? | F1 B |≥ (当 a2
55.已知双曲线 且仅当 AB⊥x 轴时取等号).

x2 y2 56.设 A、B 是双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)的长轴两端点,P 是双曲线上的一点, a b ∠PAB = α , ∠PBA = β , ∠BPA = γ , c 、 e 分 别 是 双 曲 线 的 半 焦 距 离 心 率 , 则 有
(1) | PA |=

2ab 2 | cos α | 2a 2b 2 2 .(2) tan α tan β = 1 ? e .(3) S ?PAB = 2 cot γ . | a 2 ? c 2 co s 2 γ | b + a2

x2 y2 57.设 A、B 是双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦 a b 2 (1)若过 A 点引直线与双曲线 点的区域) 、外部的两点,且 x A 、 xB 的横坐标 x A ? xB = a , 这一支相交于 P、Q 两点,则 ∠PBA = ∠QBA ; (2)若过 B 引直线与双曲线这一支相交于
P、Q 两点,则 ∠PBA + ∠QBA = 180 . 58.设 A、B 是双曲线

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦 a2 b2

点的区域) ,外部的两点, (1)若过 A 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点, (若 B P 交双曲线这一支于两点,则 P、Q 不关于 x 轴对称) ,且 ∠PBA = ∠QBA ,则点 A、B 的横 坐标 x A 、 xB 满足 x A ? xB = a ; (2)若过 B 点引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点,且
2

∠PBA + ∠QBA = 180 ,则点 A、B 的横坐标满足 xA ? xB = a 2 . x2 y2 ? 2 = 1 的实轴的两个端点,QQ ' 是与 AA' 垂直的弦,则直线 2 a b x2 y2 ' ' AQ 与 A Q 的交点 P 的轨迹是双曲线 2 + 2 = 1 . a b 2 2 x y 60.过双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的右焦点 F 作互相垂直的两条弦 AB、CD,则 a b 2 8ab ≤| AB | + | CD | . | a2 ? b2 |
59.设 A, A' 是双曲线

x2 y2 c?a ? 2 = 1(a>0,b>0)两焦点的距离之比等于 (c 为半焦距)的 2 a b b 动点 M 的轨迹是姊妹圆 ( x ± ec ) 2 + y 2 = (eb) 2 .
61.到双曲线

x2 y2 c?a 62.到双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)的实轴两端点的距离之比等于 (c 为半焦 a b b 距)的动点 M 的轨迹是姊妹圆 ( x ± a ) 2 + y 2 = b 2 . x2 y2 c?a ? 2 = 1(a>0,b>0)的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 (c 2 a b b b 2 2 2 为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆 ( x ± a ) + y = ( ) (e 为离心率). e 2 2 x y 64.已知 P 是双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)上一个动点, A' , A 是它实轴的两个端 a b
63.到双曲线

点,且 AQ ⊥ AP , A Q ⊥ A P ,则 Q 点的轨迹方程是
' '

x 2 b2 y 2 ? 4 = 1. a2 a

65.双曲线的一条直径(过中心的弦)的长,为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和实 轴之长的比例中项. 66.设双曲线 过 P 作斜率为

x2 y2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)实轴的端点为 A, A' , P( x1 , y1 ) 是双曲线上的点 2 a b

b 2 x1 ' ' 的直线 l ,过 A, A 分别作垂直于实轴的直线交 l 于 M , M ,则 a 2 y1
' ' 2 ' '

(1) | AM || A M |= b .(2)四边形 MAA M 面积的最小值是 2ab .

x2 y2 67.已知双曲线 2 ? 2 = 1 (a>0,b>0)的右准线 l 与 x 轴相交于点 E ,过双曲线右 a b 焦点 F 的直线与双曲线相交于 A、B 两点,点 C 在右准线 l 上,且 BC ⊥ x 轴,则直线 AC 经
过线段 EF 的中点.

( x ? a)2 y 2 68.OA、OB 是双曲线 ? 2 = 1 (a>0,b>0,且 a ≠ b )的两条互相垂直的弦, a2 b 2ab 2 , 0) .(2) 以 O A、O B 为直径的两 O 为坐标原点,则(1)直线 AB 必经过一个定点 ( 2 b ? a2 ab2 2 2 ab2 2 圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 (x? 2 2 ) + y =( 2 2 ) (x ≠ 0) . b ?a b ?a 2 2 ( x ? a) y 69. P ( m, n) 是双曲线 ? 2 = 1(a>0,b>0)上一个定点,P A、P B 是互相垂 2 a b 2ab 2 + m(b 2 ? a 2 ) n(a 2 + b 2 ) 直的弦,则(1)直线 AB 必经过一个定点 ( , 2 ) .(2)以 P A、P b2 ? a2 b ? a2
B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是

(x ?

ab 2 ? a 2 m 2 b 2 n 2 a 2 [b 4 + n 2 (a 2 + b 2 )] ) + (y ? 2 ) = ( x ≠ m 且 y ≠ n ). b2 ? a2 b ? a2 (b 2 ? a 2 ) 2 70. 如果一个双曲线虚半轴长为 b, 焦点 F1、 2 到直线 L 的距离分别为 d1、 2, F d 那么 (1) 2 d1d 2 = b ,且 F1、F 2 在 L 同侧 ? 直线 L 和双曲线相切,或 L 是双曲线的渐近线.(2)

2 d1d 2 > b 2 ,且 F1、F2 在 L 同侧 ? 直线 L 和双曲线相离, (3) d1d 2 < b ,或 F1、F2 在 L 异侧 ? 直线 L 和双曲线相交. x2 y2 71.AB 是双曲线 2 ? 2 = 1(a>0,b>0)的实轴, N 是双曲线上的动点,过 N 的切 a b 线与过 A、B 的切线交于 C 、 D 两点,则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 x 2 ? 4a 2 y 2 = 1( y ≠ 0) .

x2 y2 ? = 1 (a>0,b>0)的内部((含焦点的区域))一定 a2 b2 点,AB 是双曲线过定点 P ( x0 , y0 ) 的任一弦. (1) 如 a ≥ b , 则 当 弦 AB 垂 直 于 双 曲 线 实 轴 所 在 直 线 时 (b 2 x0 2 ? a 2 y0 2 ) ? a 2b 2 (| PA | ? | PB |) min = . a2 (2) 如 a < b , 则 当 弦 AB 平 行 ( 或 重 合 ) 于 双 曲 线 实 轴 所 在 直 线 时 , (b 2 x0 2 ? a 2 y0 2 ) ? a 2b 2 (| PA | ? | PB |) min = . b2
72.设点 P ( x0 , y0 ) 为双曲线

73.双曲线焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以双曲线实轴为直径的圆相外切. 74.双曲线焦三角形的内切圆必切长轴于非焦顶点同侧的实轴端点. 75.双曲线两焦点到双曲线焦三角形内切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 76.双曲线焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 77.双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离心率). 注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78.双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比 e. 79.双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项. 80.双曲线焦三角形中,双曲线中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及 外点到同侧焦点的距离成比例. 81.双曲线焦三角形中,半焦距、外点与双曲线中心连线段、内点与同侧焦点连线段、 外点与同侧焦点连线段成比例. 82. 双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂 足连线必与另一焦半径所在直线平行. 83. 双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点内角平分线引垂线,则双曲线中心与垂足 的距离为双曲线实半轴的长. 84. 双曲线焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的内角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧 焦半径为直径的圆和双曲线实轴为直径的圆的切点. 85.双曲线焦三角形中,非焦顶点的内角平分线与焦半径、实轴所在直线的夹角的余弦 的比为定值 e. 86.双曲线焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的外角平分线. 87.双曲线焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的内角平分线. 88. 双曲线焦三角形中,过非焦顶点的切线与双曲线实轴两端点处的切线相交,则以两交 点为直径的圆必过两焦点.

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) 上有一点 P ,过 P 分别引其渐近线的平行线, a2 b2 分别交 x 轴于 M , N ,交 y 轴于 R, Q , O 为原点,则: (1) | OM | ? | ON |= a 2 ; (2) | OQ | ? | OR |= b 2 . b b 90. 过 平 面 上 的 P 点 作 直 线 l1 : y = x 及 l2 : y = ? x 的 平 行 线 , 分 别 交 x 轴 于 a a M , N , 交 y 轴 于 R, Q . ( 1 ) 若 | OM | ? | ON |= a 2 , 则 P 的 轨 迹 方 程 是
89. 已知双曲线

x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) .(2) 若 | OQ | ? | OR |= b 2 , 则 P 的 轨 迹 方 程 是 a2 b2 x2 y2 ? = 1(a > 0, b > 0) . a2 b2 x2 y2 91. 点 P 为双曲线 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 在第一象限的弧上任意一点,过 P 引 x 轴、 a b b y 轴的平行线,交 y 轴、 x 轴于 M , N ,交直线 y = ? x 于 Q, R ,记 ?OMQ 与 ?ONR 的 a ab 面积为 S1 , S 2 ,则: | S1 ? S 2 |= . 2 92. 点 P 为第一象限内一点,过 P 引 x 轴、 y 轴的平行线,交 y 轴、 x 轴于 M , N , b ab 交直线 y = ? x 于 Q, R , ?OMQ 与 ?ONR 的面积为 S1 , S 2 , 记 已知 | S1 ? S 2 |= , P 则 a 2 x2 y2 y 2 x2 的轨迹方程是 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) 或 2 ? 2 = 1( a > 0, b > 0) . a b b a


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