2018版高考数学一轮复习第三章导数及其应用3.1导数的概念及运算理


第三章 导数及其应用 3.1 导数的概念及运算 理

1.导数与导函数的概念 (1)一般地,函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是Δ lim x→0 Δy f?x0+Δ x?-f?x0? =lim , Δ x Δ x→0 Δx Δy =lim Δ x Δ x→0

我们称它为函数 y=f(x)在 x=x0 处的导数, 记作 f ? ? x0 ? 或y? |x=x0 , 即 f′(x0)=Δ lim x→0

f?x0+Δ x?-f?x0? . Δx
(2)如果函数 y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个 新函数,这个函数称为函数 y=f(x)在开区间内的导函数.记作 f′(x)或 y′. 2.导数的几何意义 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数的几何意义, 就是曲线 y=f(x)在点 P(x0, f(x0))处的切线的斜 率 k,即 k=f′(x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数

f(x)=c(c 为常数) f(x)=xα (α ∈Q*) f(x)=sin x f(x)=cos x f(x)=ex f(x)=ax(a>0,a≠1) f(x)=ln x f(x)=logax(a>0,a≠1)

f′(x)=0 f′(x)=α xα -1 f′(x)=cos x f′(x)=-sin x f′(x)=ex f′(x)=axln a f′(x)= x f′(x)= xln a
1 1

1

4.导数的运算法则 若 f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)[

f?x? f′?x?g?x?-f?x?g′?x? ]′= (g(x)≠0). 2 g?x? [g?x?]

5.复合函数的导数 复合函数 y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为 yx′=yu′·ux′, 即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积. 【知识拓展】 1.奇函数的导数是偶函数,偶函数的导数是奇函数,周期函数的导数还是周期函数. 2.[ 1

f?x?

f′?x? ]′=- 2(f(x)≠0). [f?x?]

3.[af(x)+bg(x)]′=af′(x)+bg′(x). 4.函数 y=f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势, 其正负号反映了变化的方向, 其大小|f′(x)|反映了变化的快慢,|f′(x)|越大,曲线在这点处的切线越“陡”.

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f′(x0)是函数 y=f(x)在 x=x0 附近的平均变化率.( × (2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同.( × ) )

(3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点.( √ ) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线.( × (5)函数 f(x)=sin(-x)的导数是 f′(x)=cos x.( × ) )

1.(教材改编)若 f(x)=x·e ,则 f′(1)等于( A.0 B.e C.2e D.e 答案 C 解析 f′(x)=e +x·e ,∴f′(1)=2e.
x x
2

x

)

2.如图所示为函数 y=f(x),y=g(x)的导函数的图象,那么 y=f(x),y=g(x)的图象可能 是( )

2

答案 D 解析 由 y=f′(x)的图象知 y=f′(x)在(0,+∞)上单调递减,说明函数 y=f(x)的切线 的斜率在(0,+∞)上也单调递减,故可排除 A,C. 又由图象知 y=f′(x)与 y=g′(x)的图象在 x=x0 处相交,说明 y=f(x)与 y=g(x)的图象 在 x=x0 处的切线的斜率相同,故可排除 B.故选 D. 1 2 3 2 3.某质点的位移函数是 s(t)=2t - gt (g=10 m/s ),则当 t=2 s 时,它的加速度是( 2 A.14 m/s C.10 m/s 答案 A 解析 由 v(t)=s′(t)=6t -gt,
2 2

)

B.4 m/s

2

2

D.-4 m/s

2

a(t)=v′(t)=12t-g,
当 t=2 时,a(2)=v′(2)=12×2-10=14. π π 4.设函数 f(x)的导数为 f′(x),且 f(x)=f′( )sin x+cos x,则 f′( )= 2 4 答案 - 2 π 解析 因为 f(x)=f′( )sin x+cos x, 2 π 所以 f′(x)=f′( )cos x-sin x, 2 π π π π 所以 f′( )=f′( )cos -sin , 2 2 2 2 π 即 f′( )=-1,所以 f(x)=-sin x+cos x. 2 .

f′(x)=-cos x-sin x.
π π π 故 f′( )=-cos -sin =- 2. 4 4 4 5.曲线 y=-5e +3 在点(0,-2)处的切线方程是 答案 5x+y+2=0 解析 因为 y′|x=0=-5e =-5,
3
0

x



所以曲线在点(0,-2)处的切线方程为 y-(-2)=-5(x-0),即 5x+y+2=0.

题型一 导数的计算 例 1 求下列函数的导数. 1 cos x 2 (1)y=x sin x;(2)y=ln x+ ;(3)y= x ; x e π (4)y=sin(2x+ );(5)y=ln(2x-5). 3 解 (1)y′=(x )′·sin x+x ·(sin x)′ =2xsin x+x cos x. 1 1 (2)y′=(ln x+ )′=(ln x)′+( )′
2 2 2

x

x

1 1 = - 2.

x x

cos x (3)y′=( x )′ e = ?cos x?′·e -cos x?e ?′ x 2 ?e ?
x x

sin x+cos x =- . x e π (4)设 u=2x+ ,则 y=sin u, 3 π 则 y′=(sin u)′·u′=cos(2x+ )·2 3 π ∴y′=2cos(2x+ ). 3 (5)令 u=2x-5,则 y=ln u, 1 2 则 y′=(ln u)′·u′= ·2= , 2x-5 2x-5 2 即 y′= . 2x-5 思维升华 (1)求导之前,应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简,然后求导,这样 可以减少运算量,提高运算速度,减少差错;遇到函数的商的形式时,如能化简则化简,这 样可避免使用商的求导法则,减少运算量.(2)复合函数求导时,先确定复合关系,由外向内 逐层求导,必要时可换元. (1)f(x)=x(2 016+ln x),若 f′(x0)=2 017,则 x0 等于( )
4

A.e

2

B.1 D.e
4 2

C.ln 2

(2)若函数 f(x)=ax +bx +c 满足 f′(1)=2,则 f′(-1)等于( A.-1 C.2 答案 (1)B (2)B B.-2 D.0

)

1 解析 (1)f′(x)=2 016+ln x+x× =2 017+ln x,故由 f′(x0)=2 017,得 2 017+ln

x

x0=2 017,则 ln x0=0,解得 x0=1.
(2)f′(x)=4ax +2bx, ∵f′(x)为奇函数且 f′(1)=2, ∴f′(-1)=-2. 题型二 导数的几何意义 命题点 1 求切线方程 例 2 (1)(2016·全国丙卷)已知 f(x)为偶函数,当 x<0 时,f(x)=ln(-x)+3x,则曲线 y =f(x)在点(1,-3)处的切线方程是 .
3

(2)已知函数 f(x)=xln x,若直线 l 过点(0,-1),并且与曲线 y=f(x)相切,则直线 l 的 方程为( ) B.x-y-1=0 D.x-y+1=0

A.x+y-1=0 C.x+y+1=0 答案 (1)2x+y+1=0 (2)B

解析 (1)设 x>0, 则-x<0, f(-x)=ln x-3x, 又 f(x)为偶函数, f(x)=ln x-3x, f′(x) 1 = -3,f′(1)=-2,切线方程为 y=-2x-1,即 2x+y+1=0.

x

(2)∵点(0,-1)不在曲线 f(x)=xln x 上, ∴设切点为(x0,y0). 又∵f′(x)=1+ln x,∴? 解得 x0=1,y0=0. ∴切点为(1,0),∴f′(1)=1+ln 1=1. ∴直线 l 的方程为 y=x-1,即 x-y-1=0.故选 B. 命题点 2 求参数的值 例 3 (1)(2016·泉州模拟)函数 y=e 的切线方程为 y=mx,则 m=
x

? ?y0=x0ln

x0, x0?x0,

?y0+1=?1+ln ?

.

1 2 7 (2)已知 f(x)=ln x,g(x)= x +mx+ (m<0),直线 l 与函数 f(x),g(x)的图象都相切,与 2 2
5

f(x)图象的切点为(1,f(1)),则 m 等于(
A.-1 B.-3 C.-4 D.-2 答案 (1)e (2)D

)

解析 (1)设切点坐标为 P(x0,y0),由 y′=e , 得 y? |x=x0 =e 0,
x

x

从而切线方程为 y-e 0=e 0 ( x-x0 ), 又切线过定点(0,0),从而 -e 0=e 0 (-x0 ), 解得 x0=1,则 m=e. 1 (2)∵f′(x)= ,
x x

x

x

x

∴直线 l 的斜率 k=f′(1)=1. 又 f(1)=0,∴切线 l 的方程为 y=x-1.

g′(x)=x+m,
设直线 l 与 g(x)的图象的切点为(x0,y0), 1 2 7 则有 x0+m=1,y0=x0-1,y0= x0+mx0+ ,m<0, 2 2 于是解得 m=-2.故选 D. 命题点 3 导数与函数图象的关系 例 4 如图,点 A(2,1),B(3,0),E(x,0)(x≥0),过点 E 作 OB 的垂线 l.记△AOB 在直线 l 左侧部分的面积为 S,则函数 S=f(x)的图象为下图中的( )

答案 D 解析 函数的定义域为[0,+∞),当 x∈[0,2]时,在单位长度变化量 Δ x 内面积变化量 Δ S 大于 0 且越来越大,即斜率 f′(x)在[0,2]内大于 0 且越来越大,因此,函数 S=f(x)的图象

6

是上升的且图象是下凸的; 当 x∈(2,3)时, 在单位长度变化量 Δ x 内面积变化量 Δ S 大于 0 且越来越小, 即斜率 f′(x) 在(2,3)内大于 0 且越来越小,因此,函数 S=f(x)的图象是上升的且图象是上凸的; 当 x∈[3,+∞)时,在单位长度变化量 Δ x 内面积变化量 Δ S 为 0,即斜率 f′(x)在[3,+ ∞)内为常数 0,此时,函数图象为平行于 x 轴的射线. 思维升华 导数的几何意义是切点处切线的斜率,应用时主要体现在以下几个方面: (1)已知切点 A(x0,f(x0))求斜率 k,即求该点处的导数值:k=f′(x0). (2)已知斜率 k,求切点 A(x1,f(x1)),即解方程 f′(x1)=k. (3)若求过点 P(x0,y0)的切线方程,可设切点为(x1,y1),由? 求解即可. (4)函数图象在每一点处的切线斜率的变化情况反映函数图象在相应点处的变化情况, 由切线 的倾斜程度可以判断出函数图象升降的快慢.
? ?y1=f?x1?, ?y0-y1=f′?x1??x0-x1? ?

x 1 (1)(2017·郑州月考)已知曲线 y= -3ln x 的一条切线的斜率为 ,则切点的 4 2
横坐标为( )

2

1 A.3 B.2 C.1 D. 2 1+cos x π (2)(2016·昆明模拟)设曲线 y= 在点( ,1)处的切线与直线 x-ay+1=0 平行, sin x 2 则实数 a 等于( )

1 A.-1 B. C.-2 D.2 2 答案 (1)A (2)A 解析 (1)设切点的横坐标为 x0,

x 1 ∵曲线 y= -3ln x 的一条切线的斜率为 , 4 2 x 3 x0 3 1 ∴y′= - ,即 - = , 2 x 2 x0 2
解得 x0=3 或 x0=-2(舍去,不符合题意), 即切点的横坐标为 3. -1-cos x (2)∵y′= ,? y? | π =- 1. 2 sin x x=
2

2

1 由条件知 =-1,∴a=-1.

a

7

3.求曲线的切线方程

典例 若存在过点 O(0,0)的直线 l 与曲线 y=x -3x +2x 和 y=x +a 都相切,求 a 的值.

3

2

2

8

错解展示

现场纠错 解 易知点 O(0,0)在曲线 y=x -3x +2x 上. (1)当 O(0,0)是切点时, 由 y′=3x -6x+2,得 y′|x=0=2, 即直线 l 的斜率为 2,故直线 l 的方程为 y=2x. 由?
? ?y=2x, ?y=x +a, ?
2 2 3 2

得 x -2x+a=0,

2

依题意 Δ =4-4a=0,得 a=1. (2)当 O(0,0)不是切点时,设直线 l 与曲线 y=x -3x +2x 相切于点 P(x0,y0), 则 y0=x0-3x0+2x0, k=y? |x=x0 =3x0-6x0+2,①
3 2 2 3 2

又 k= =x0-3x0+2,② 3 1 联立①②,得 x0= (x0=0 舍去),所以 k=- , 2 4 1 故直线 l 的方程为 y=- x. 4 1 ? ?y=- x, 4 由? 2 ? ?y=x +a, 1 2 得 x + x+a=0, 4

y0 x0

2

1 1 依题意,Δ = -4a=0,得 a= . 16 64 1 综上,a=1 或 a= . 64 纠错心得 求曲线过一点的切线方程,要考虑已知点是切点和已知点不是切点两种情况.

9

1.若 f(x)=2xf′(1)+x ,则 f′(0)等于( A.2 B.0 C.-2 D.-4 答案 D 解析 f′(x)=2f′(1)+2x,

2

)

令 x=1,则 f′(1)=2f′(1)+2,得 f′(1)=-2, 所以 f′(0)=2f′(1)+0=-4. 1 3 2 2.一质点沿直线运动,如果由始点起经过 t 秒后的位移为 s= t -3t +8t,那么速度为零 3 的时刻是( A.1 秒 C.4 秒末 答案 D 解析 s′(t)=t -6t+8,由导数的定义知 v=s′(t), 令 s′(t)=0,得 t=2 或 4, 即 2 秒末和 4 秒末的速度为零. 3.若直线 y=x 是曲线 y=x -3x +px 的切线,则实数 p 的值为( 13 A.1 B.2 C. 4 答案 D 解析 ∵y′=3x -6x+p,设切点为 P(x0,y0),
? ?3x0-6x0+p=1, ∴? 3 2 ?x0-3x0+px0=x0, ?
2 2 3 2 2

) B.1 秒末和 2 秒末 D.2 秒末和 4 秒末

)

13 D.1 或 4

? ?x0=0, 解得? ?p=1 ?

3 ? ?x =2, 或? 13 ? ?p= 4 .
0

4.(2017·郑州质检)已知 y=f(x)是可导函数,如图,直线 y=kx+2 是曲线 y=f(x)在 x=3 处的切线,令 g(x)=xf(x),g′(x)是 g(x)的导函数,则 g′(3)等于( )

10

A.-1 B.0 C.2 D.4 答案 B 1 1 解析 由题图可知曲线 y=f(x)在 x=3 处切线的斜率等于- ,∴f′(3)=- . 3 3 ∵g(x)=xf(x),∴g′(x)=f(x)+xf′(x), ∴g′(3)=f(3)+3f′(3), 又由题图可知 f(3)=1, 1 ∴g′(3)=1+3×(- )=0. 3 5.已知曲线 y=ln x 的切线过原点,则此切线的斜率为( 1 A.e B.-e C. e 答案 C 1 解析 y=ln x 的定义域为(0,+∞),且 y′= , 1 D.- e )

x

设切点为(x0,ln x0),则 y? |x=x0 = 1 切线方程为 y-ln x0= (x-x0),

1 , x0

x0

因为切线过点(0,0),所以-ln x0=-1, 1 解得 x0=e,故此切线的斜率为 . e 1 6.已知函数 f(x)= x+1,g(x)=aln x,若在 x= 处函数 f(x)与 g(x)的图象的切线平行, 4 则实数 a 的值为( A. 1 1 B. 4 2 )

C.1 D.4

答案 A 解析 由题意可知 f ?( x) ?

1 ?1 a x 2 , g′(x)= , x 2
1

1 ? a 1 1 1 由 f′( )=g′( ),得 × ( ) 2 = , 4 4 2 1 4 4
1 1 可得 a= ,经检验,a= 满足题意. 4 4 7.已知函数 f(x)=ax +x+1 的图象在点(1,f(1))处的切线过点(2,7),则 a= 答案 1
11
3

.

解析 f′(x)=3ax +1,f′(1)=1+3a,f(1)=a+2. 所以函数在(1,f(1))处的切线方程为 y-(a+2)=(1+3a)(x-1). 将(2,7)代入切线方程,得 7-(a+2)=1+3a, 解得 a=1. 8 .(2016·邯郸模拟 )曲线 y = log2x 在点 (1,0) 处的切线与坐标轴所围成三角形的面积等 于 答案 . 1 2ln 2 1

2

解析 y′=

xln 2

1 ,∴k= , ln 2

1 ∴切线方程为 y= (x-1). ln 2 1 1 1 ∴三角形面积 S= ×1× = . 2 ln 2 2ln 2 1 2 9.若函数 f(x)= x -ax+ln x 存在垂直于 y 轴的切线,则实数 a 的取值范围是 2 答案 [2,+∞) 1 2 解析 ∵f(x)= x -ax+ln x,定义域为(0,+∞), 2 1 ∴f′(x)=x-a+ . .

x

∵f(x)存在垂直于 y 轴的切线,∴f′(x)存在零点, 1 1 即 x+ -a=0 有解,∴a=x+ ≥2.

x

x

*10.已知曲线 f(x)=x

n+1

(n∈N )与直线 x=1 交于点 P, 设曲线 y=f(x)在点 P 处的切线与 x .

*

轴交点的横坐标为 xn,则 log2 016x1+log2 016x2+?+log2 016x2 015 的值为 答案 -1 解析 f′(x)=(n+1)x ,k=f′(1)=n+1, 点 P(1,1)处的切线方程为 y-1=(n+1)(x-1), 令 y=0,得 x=1- ∴x1·x2·?·x2 015 1 2 3 2 014 2 015 1 = × × ×?× × = , 2 3 4 2 015 2 016 2 016 则 log2 016x1+log2 016x2+?+log2 016x2 015 =log2 016(x1x2?x2 015)=-1. 1 n n = ,即 xn= , n+1 n+1 n+1
n

12

1 3 4 11.已知曲线 y= x + . 3 3 (1)求曲线在点 P(2,4)处的切线方程; (2)求曲线过点 P(2,4)的切线方程. 1 3 4 2 解 (1)∵P(2,4)在曲线 y= x + 上,y′=x , 3 3 ∴在点 P(2,4)处的切线的斜率为 y′|x=2=4. ∴曲线在点 P(2,4)处的切线方程为 y-4=4(x-2), 即 4x-y-4=0. 1 3 4 1 3 4 (2)设曲线 y= x + 与过点 P(2,4)的切线相切于点 A(x0, x0+ ), 则切线的斜率为 y? |x=x0 = 3 3 3 3

x2 0.
1 3 4 2 ∴切线方程为 y-( x0+ )=x0(x-x0), 3 3 2 3 4 2 即 y=x0·x- x0+ . 3 3 2 3 4 2 ∵点 P(2,4)在切线上,∴4=2x0- x0+ , 3 3 即 x0-3x0+4=0, ∴x0+x0-4x0+4=0, ∴x0(x0+1)-4(x0+1)(x0-1)=0, ∴(x0+1)(x0-2) =0, 解得 x0=-1 或 x0=2, 故所求的切线方程为 x-y+2=0 或 4x-y-4=0. 1 3 2 12.已知函数 f(x)= x -2x +3x(x∈R)的图象为曲线 C. 3 (1)求过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围; (2)若在曲线 C 上存在两条相互垂直的切线, 求其中一条切线与曲线 C 的切点的横坐标的取值 范围. 解 (1)由题意得 f′(x)=x -4x+3, 则 f′(x)=(x-2) -1≥-1, 即过曲线 C 上任意一点切线斜率的取值范围是[-1,+∞). (2)设曲线 C 的其中一条切线的斜率为 k, 则由(2)中条件并结合(1)中结论可知,
2 2 2 2 3 2 2 3 2

13

k≥-1, ? ? ? 1 - ≥-1, ? ? k
解得-1≤k<0 或 k≥1, 故由-1≤x -4x+3<0 或 x -4x+3≥1, 得 x∈(-∞,2- 2]∪(1,3)∪[2+ 2,+∞). *13.设函数 f(x)=ax- ,曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 7x-4y-12=0. (1)求 f(x)的解析式; (2)证明: 曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0 和直线 y=x 所围成的三角形的面积为 定值,并求此定值. 7 (1)解 方程 7x-4y-12=0 可化为 y= x-3. 4 1 b 当 x=2 时,y= .又 f′(x)=a+ 2, 2 x
2 2

b x

b 1 ? ?2a-2=2, 于是? b 7 ? ?a+4=4,

解得?

? ?a=1, ?b=3. ?

3 故 f(x)=x- .

x

3 (2)证明 设 P(x0,y0)为曲线上任一点,由 y′=1+ 2,知曲线在点 P(x0,y0)处的切线方程

x



y-y0=?1+ 2?(x-x0), ? x0?
3? ? 3? ? 即 y-?x0- ?=?1+ 2?(x-x0).

?

3?

?

x0? ?

x0?

6 令 x=0,得 y=- ,

x0

6? ? 从而得切线与直线 x=0 的交点坐标为?0,- ?. x

?

0

?

令 y=x,得 y=x=2x0, 从而得切线与直线 y=x 的交点坐标为(2x0,2x0). 1? 6 ? 所以点 P(x0,y0)处的切线与直线 x=0,y=x 所围成的三角形的面积为 S= ?- ?|2x0|=6. 2? x0? 故曲线 y=f(x)上任一点处的切线与直线 x=0, y=x 所围成的三角形的面积为定值且此定值 为 6.

14


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