考点19 抛物线


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考点 19
(A)1 (B)2 (C)4 (D)8

抛物线
).

1.(2010·四川高考文科·T3)抛物线 y 2 ? 8x 的的焦点到准线的距离是(

【命题立意】本题考查抛物线的焦点坐标及准线方程、抛物线标准方程及点到直线的距离公式. 【思路点拨】先求出焦点坐标和准线方程,再利用点到直线的距离公式求解. 【 规 范 解 答 】 选 C. 抛 物 线 的 焦 点 坐 标 为 F (2, 0) , 准 线 方 程 为 x ? ?2 , 焦 点 到 准 线 的 距 离 为

2 ? ? 2) 4 . ( ?
【方法技巧】抛物线标准方程 y 2 ? 2 px( p ? 0) 中 p 的几何意义就是焦点到准线的距离. ∴ y 2 ? 8x ? 2 ? 4 x ,∴焦点到准线的距离为 4. 2.(2010·上海高考理科·T3)动点 P 到点 F (2, 0) 的距离与它到直线 x ? 2 ? 0 的距离相等,则点 P 的 轨迹方程为 .

【命题立意】本题考查求满足条件的动点的轨迹方程的思路和方法. 【思路点拨】按求动点的轨迹方程的步骤进行.
2 2 【规范解答】设点 P 的坐标为(x,y) ,由题意可得 ( x ? 2) ? y ? x ? 2 ,化简得 y 2 ? 8 x ,

即为点 P 的轨迹方程. 【答案】 y 2 ? 8 x 【方法技巧】求动点的轨迹方程的步骤:

建系

设点

列式

化简

检验

3.(2010·全国高考卷Ⅱ文科·T15)已知抛物线 C:y =2px(p>0)的准线 l ,过 M(1,0)且斜率为 的直线与 l 相交于 A,与 C 的一个交点为 B,若 ,则 p=_________

2

【命题立意】本题考查直线与抛物线的位置关系及直线的斜率公式的运用。
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世纪金榜 圆你梦想 【思路点拨】利用 M 点为中点可以用 p 表示 A 、B 点的横坐标,把 B 点的横坐标代入抛物线 C:y =2px, 可以求得 B 点的纵坐标,又已知直线斜率解关于 p 的方程可以解决。
2

p p 【规范解答】A 点横坐标为- 2 ,则 B 点横坐标为 2 +2,代入抛物线 C:y2=2px 得 B 点纵坐标
4p ? p 2 ? 0 ? 3 p ? 2 ?1 , 2 得 p=2.



4 p ? p2

,由直线 MB 的斜率为

【答案】2 【方法技巧】直线与抛物线问题要结合图像的几何特征,抓住点的坐标关系,用所求的参数列出方程 (组) ,此题用 p 表示直线斜率,代入斜率公式计算. 4.(2010·重庆高考文科·T13)已知过抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A,B 两点, |AF|=2,则|BF|= .

【命题立意】 本小题考查抛物线的定义和性质及直线与抛物线的位置关系, 体现了数形结合的思想方法. 【思路点拨】设直线 AB 的方程,首先考虑斜率不存在的情形,再考虑斜率存在的情形. 【规范解答】抛物线 y ? 4 x 的焦点 F 的坐标是(1,0) ,则当直线 AB 的方程是 x ? 1 时, y ? 4 ,所以
2 2

y ? ?2 ,符合题意|AF|=2,此时有|BF|=2;当直线 AB 的斜率存在时,所得的|AF|的值大于 2 或
小于 2,不会等于 2. 【答案】2 5.(2010·重庆高考理科·T14)已知以 F 为焦点的抛物线 y ? 4 x 上的两点 A、B 满足 AF ? 3FB ,则
2

??? ?

??? ?

弦 AB 的中点到准线的距离为___________. 【命题立意】本题考查抛物线的定义和性质,考查向量的知识及应用,体现了转化的思想方法. 【思路点拨】易得抛物线的准线方程,根据抛物线定义将抛物线上的点到准线的距离转化为向量的模

??? ? ??? ? AF 和 FB ,再根据有关平面几何的性质求解. ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? AF ? 3 FB 【规范解答】 因为 AF ? 3FB ,所以弦 AB 是过焦点 F 的弦,且 ;
设点 A,B 到准线 x ? ?1 的距离分别是 点 A,B 的横坐标分别是 所以

d1 , d2 ,那么 d1 ? 3d2 ,

d1 ? 1 ? 3d2 ? 1 , d 2 ? 1,

yA2 ? 4(3d2 ?1) , yB 2 ? 4(d2 ?1) ,如图所示,
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所以

4(3d2 ? 1) ? 3 4(d2 ? 1)
d1 ?

,解得

d2 ?

4 3,

所以

12 3 ,根据梯形中位线的性质可得弦 AB

1 4 12 8 ( ? )? 2 3 3 3. 的中点到准线的距离为
8 【答案】 3
【方法技巧】本题是一道综合题,综合的知识点有(1)抛物线的定义、性质, (2)平面向量相等的性 质, (3)梯形中位线的性质, (4)相似三角形的性质;本题的关键是根据梯形中位线性质,把“弦 AB 的 中点到准线的距离”转化为抛物线上的点到准线的距离,再根据抛物线定义转化为到焦点 F 的距离. 6.(2010·湖北高考理科·T19)已知一条曲线 C 在 y 轴右边,C 上每一点到点 F(1,0)的距离减去它到 y 轴距离的差都是 1, (Ⅰ)求曲线 C 的方程; (Ⅱ)是否存在正数 m,对于过点 M(m,0)且与曲线 C 有两个交点 A,B 的任一直线,都有 FA ? FB ? 0 ? 若存在,求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 【命题立意】本小题主要考察直线与抛物线的位置关系、抛物线的性质等基本知识,同时也考察考生的推 理运算能力. 【思路点拨】 (Ⅰ)按求曲线方程的步骤求对应的曲线方程:设点,列式,化简即可; (Ⅱ)设出直线方 程及与曲线的交点,联立直线方程与曲线方程,通过根与系数的关系结合条件,利用“设而不求法”求解. 【规范解答】 (Ⅰ)设 P(

x, y )是曲线 C 上任意一点,那么点 P( x, y )满足:
( x ? 0)

(x ? 1) 2 ? y 2 ? x ? 1
化简得 y ? 4 x
2

( x ? 0)

(Ⅱ)设过点 M (m, 0)(m ? 0) 的直线 l 与曲线 C 的交点为 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 。 设 l 的方程为 x ? ty ? m ,由 ?

? x ? ty ? m ? y ? 4x
2

得 y ? 4ty ? 4m ? 0 , ? ? 16(t ? m)>0 .
2 2

于是 ?

? y1 ? y2 ? 4t ? y1 y2 ? ?4m


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世纪金榜 圆你梦想 又 FA ? ( x1 ?1, y1 ), FB ? ( x2 ?1, y2 )

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? FA ? FB<0 ? ( x1 ?1)( x2 ?1) ? y1 y2 ? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1? y1 y2<0
y2 又x? ,于是不等式②等价于 4
2 y12 y2 y2 y2 ? ? y1 y2 ? ( 1 ? 2 ) ? 1<0 4 4 4 4



( y1 y2 )2 1 ? ? y1 y2 ? ?( y1 ? y2 )2 ? 2 y1 y2 ? ? 1<0 ? 16 4?
< 由①式,不等式 ③ 等价于 m ? 6m ? 1 4t
2 2 2



对任意实数 t , 4t 的最小值为 0,所以不等式④对于一切 t 成立等价于

m2 ? 6m ? 1 ? 0 ,即 3 ? 2 2 ? m ? 3 ? 2 2 。
由此可知,存在正数 m ,对于过点 M (m, 0) ,且与曲线 C 有两个交点 A, B 的任一直线, 都有 FA ? FB <0 ,且 m 的取值范围是 (3 ? 2 2,3 ? 2 2) 【方法技巧】1、直线和圆锥曲线的交点个数问题求解时可以将直线和圆锥曲线的方程联立,转化为方程 根的个数问题(有些题目也可借用数形结合) 。其中一定要注意对 ? 的符号加以验证,必要时还须注意根 的范围。

??? ??? ? ?

??? ??? ? ? FA ? FB ? 0 的不等式一般都要借用数量积先进行转化,然后借用根与系数的关系进行处理。 2、形如
7.(2010·全国卷Ⅰ理科·T21)已知抛物线 C : y 2 ? 4x 的焦点为 F,过点 K (?1, 0) 的直线 l 与 C 相交于

A 、 B 两点,点 A 关于 x 轴的对称点为 D .
(Ⅰ)证明:点 F 在直线 BD 上; (Ⅱ)设 FA?FB ?

??? ??? ? ?

8 ,求 ?BDK 的内切圆 M 的方程 . 9

【命题立意】 “看似寻常却艰辛”.本小题为解析几何与平面向量综合的问题,主要考查抛物线的性质、直 线与圆的位置关系,直线与抛物线的位置关系、圆的几何性质与圆的方程的求解、平面向量的数量积等知 识,考查考生综合运用数学知识进行推理论证的能力、运算能力和解决问题的能力,同时考查了数形结合 思想、设而不求思想. 【思路点拨】本题可设过点 K (?1, 0) 的直线方程为 y ? k ( x ? 1) 但需要对 k 进行讨论,为了简化解答过程
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世纪金榜 圆你梦想 我们设直线方程为 x ? m y ? 1(m ? 0) ,将其代入到物线 C : y 2 ? 4x 化简求解. 【规范解答】设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ), D( x1 ,? y1 ) , l 的方程为 x ? my ? 1(m ? 0) . (I)
2 2 将 x ? m y ? 1 代入 y ? 4 x 并整理得 y ? 4my ? 4 ? 0 ,

从而 y1 ? y 2 ? 4m, y1 y 2 ? 4 .①

y ? y2 ?
直线 BD 的方程为

y 2 ? y1 ? ( x ? x2 ) x 2 ? x1 ,

y ? y2 ?
即 令 y ? 0 ,得

y2 4 ? (x ? 2 ) y 2 ? y1 4 .
x? y1 y 2 ?1 4 .

所以点 F (1,0) 在直线 BD 上.
1 (II)由(Ⅰ)知, x1 ? x2 ? (my ? 1) ? (my2 ? 1) ? 4m ? 2 , 2

x1 x2 ? (my1 ? 1)(my2 ? 1) ? 1 .
因为 FA ? ( x1 ? 1, y1 ), FB ? ( x2 ? 1, y2 ) ,

FA? FB ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? 4 ? 8 ? 4m2 ,
8 ? 4m 2 ?


4 8 m?? 3. 9 ,解得

所以 l 的方程为 3x ? 4 y ? 3 ? 0,3x ? 4 y ? 3 ? 0 .

又由(Ⅰ)知

y 2 ? y1 ? ? (4m) 2 ? 4 ? 4 ? ?

4 7 3 ,

4 3 ?? y ? y1 7, 故直线 BD 的斜率 2
因而直线 BD 的方程为 3x ? 7 y ? 3 ? 0,3x ? 7 y ? 3 ? 0 . 因 为 KF 为 ? BKD 平 分 线 , 故 可 设 圆 心 M (t ,0)(?1 ? t ? 1) , M (t ,0) 到 l 及 BD 的 距 离 分 别 为

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3t ? 1 3t ? 1 , 5 4 . 3t ? 1


5

?

3t ? 1 4


t?

1 9 ,或 t ? 9 (舍去),

1 4 (x ? )2 ? y 2 ? 9 9. 故圆 M 的方程为

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