等差数列教案1




题:3.1 等差数列(一)

教学目的:1.明确等差数列的定义,掌握等差数列的通项公式; 2.会解决知 道 an , a1 , d , n 中的三个,求另外一个的问题 教学重点:等差数列的概念,等差数列的通项公式 教学难点:等差数列的性质 内容分析: 本节是等差数列这一部分,在讲等差数列的概念时,突出了它与一次函数 的联系,这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质:从 图象上看,为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上,为什么两 项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程: 一、复习引入: 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法—— 列举法、通项公式、递推公式、图象法和前 n 项和公式..这些方法从不同的角 度反映数列的特点 下面我们看这样一些例子
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1. 小明觉得自己英语成绩很差, 目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5 个 他
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决定从今天起每天背记 10 个单词,那么从今天开始,他的单词量逐日增加,依 次为:5,15,25,35,? (问:多少天后他的单词量达到 3000?) 2.小芳觉得自己英语成绩很棒,她目前的单词量多达 3000 她打算从今天起
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不再背单词了,结果不知不觉地每天忘掉 5 个单词,那么从今天开始,她的单 词量逐日递减,依次为:3000,2995,2990,2985,? (问:多少天后她那 3000 个单词全部忘光?) 从上面两例中,我们分别得到两个数列 ① 5,15,25,35,? 和 ② 3000,2995,2990,2980,?

请同学们仔细观察一下,看看以上两个数列有什么共同特征?? · 共同特征: 从第二项起, 每一项与它前面一项的差等于同一个常数 (即等差) ; (误:每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项) ,我们给具有 这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课: 1.等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等 于同一个常数, 这个数列就叫做等差数列, 这个常数就叫做等差数列的公差 (常 用字母“d”表示)
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⑴.公差 d 一定是由后项减前项所得,而不能用前项减后项来求; ⑵.对于数列{ an },若 an - a n ?1 =d (与 n 无关的数或字母),n≥2,n∈N ,则 此数列是等差数列,d 为公差
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?

2.等差数列的通项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d 【或 an ? am ? (n ? m)d 】 若一等差数列 ?an ? 的首项是 a1 ,公差是 d,求其通项公式, 根据其定义可得: a2 ? a1 ? d 即: a2 ? a1 ? d

a3 ? a2 ? d 即: a3 ? a2 ? d ? a1 ? 2d
a4 ? a3 ? d 即: a4 ? a3 ? d ? a1 ? 3d
?? 由此归纳等差数列的通项公式可得: an ? a1 ? (n ? 1)d 已知一数列为等差数列,则只要知其首项 a1 和公差 d,便可求得其通项 an 练习:开始的题目:讲解过程(略) 分析:当 d ? 0 ,为递增数列 当 d ? 0 ,为递减数列 当 d ? 0 ,为常数列
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3.等差中项:如果,在 与 中间插入一个数 A,使 ,A, 成等差数列数列,

那么 A 应满足什么条件? 答:因为 a,A,b 组成了一个等差数列,那么由定义可以知道:A-a=b-A 所 以就有 由三个数 a,A,b 组成的等差数列可以看成最简单的等



差数列,这时,A 叫做 a 与 b 的等差中项。 不难发现,在一个等差数列中,从第 2 项起,每一项(有穷数列的末项除 外)都是它的前一项与后一项的等差中项。 如数列:1,3,5,7,9,11,13?中 5 是 3 和 7 的等差中项,1 和 9 的 等差中项。9 是 7 和 11 的等差中项,5 和 13 的等差中项。 4.第二通项公式 : 由上述关系还可得: am ? a1 ? (m ? 1)d 即: a1 ? am ? (m ? 1)d 则: an ? a1 ? (n ? 1)d = am ? (m ? 1)d ? (n ? 1)d ? am ? (n ? m)d 即的第二通项公式

an ? am ? (n ? m)d

∴ d=

am ? an m?n

如: a5 ? a4 ? d ? a3 ? 2d ? a2 ? 3d ? a1 ? 4d 三、例题讲解 例 1 ⑴求等差数列 8,5,2?的第 20 项 ⑵ -401 是不是等差数列-5,-9,-13?的项?如果是,是第几项? 解:⑴由 a1 ? 8, d ? 5 ? 8 ? 2 ? 5 ? ?3 n=20,得 a20 ? 8 ? (20 ? 1) ? (?3) ? ?49 ⑵由 a1 ? ?5, d ? ?9 ? (?5) ? ?4 得数列通项公式为: an ? ?5 ? 4(n ? 1)

由题意可知, 本题是要回答是否存在正整数 n, 使得 ? 401? ?5 ? 4(n ? 1) 成 立解之得 n=100,即-401 是这个数列的第 100 项
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例 2 在等差数列 ?an ? 中,已知 a5 ? 10 , a12 ? 31,求 a1 , d , a20 , an 解法一:∵ a5 ? 10 , a12 ? 31,则

?a1 ? 4d ? 10 ? ?a1 ? ?2 ? ? ?d ? 3 ?a1 ? 11d ? 31
a20 ? a1 ? 19d ? 55

∴ an ? a1 ? (n ? 1)d ? 3n ? 5

解法二:∵ a12 ? a5 ? 7d ? 31 ? 10 ? 7d ? d ? 3 ∴ a20 ? a12 ? 8d ? 55 小结:第二通项公式

an ? a12 ? (n ? 12)d ? 3n ? 5

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an ? am ? (n ? m)d

例 3 已知数列{ an }的通项公式 an ? pn ? q ,其中 p 、 q 是常数,那么这个数 列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么? 分析: 由等差数列的定义, 要判定 ?an ? 是不是等差数列, 只要看 an ? an?1(n ≥2)是不是一个与 n 无关的常数
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解:当 n≥2 时, (取数列 ?an ? 中的任意相邻两项 a n ?1 与 an (n≥2) )

an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p(n ? 1) ? q] ? pn ? q ? ( pn ? p ? q) ? p 为常数
∴{ an }是等差数列,首项 a1 ? p ? q ,公差为 p
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注:①若 p=0,则{ an }是公差为 0 的等差数列,即为常数列 q,q,q,… ②若 p≠0, 则{ an }是关于 n 的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一 次函数 y=px+q 的图象上,一次项的系数是公差,直线在 y 轴上的截距为 q. ③数列{ an }为等差数列的充要条件是其通项 an =pn+q (p、 是常数) 称其为 q
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第 3 通项公式 ④判断数列是否是等差数列的方法是否满足 3 个通项公式中的一个
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例 4 将一个等差数列的通项公式输入计算器数列 un 中,设数列的第 s 项和第 t

u s ? ut 的值,你能发现什么结论?并证明你的结论 s?t u ? ut 解:通过计算发现 s 的值恒等于公差 s?t
项分别为 us 和 u t ,计算 证明:设等差数列{ un }的首项为 u 1 ,末项为 un ,公差为 d,

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?u s ? u1 ? ( s ? 1)d ? ?u t ? u1 ? (t ? 1)d

(1) (2)
? u s ? ut ?d s ?t

⑴-⑵得 us ? ut ? (s ? t )d

小结:①这就是第二通项公式的变形,②几何特征,直线的斜率 例 5 梯子最高一级宽 33cm,最低一级宽为 110cm,中间还有 10 级,各级的宽 度成等差数列,计算中间各级的宽度
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解:设 ?an ? 表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列, 由已知条件,可知: a1 =33,

a12 =110,n=12
解得: d ? 7

∴ a12 ? a1 ? (12 ? 1)d ,即 10=33+11 d

因此, a2 ? 33 ? 7 ? 40, a3 ? 40 ? 7 ? 47, a4 ? 54, a5 ? 61 ,

a6 ? 68, a7 ? 75, a8 ? 82, a9 ? 89, a10 ? 96, a11 ? 103 ,
答: 梯子中间各级的宽度从上到下依次是 40cm, 47cm, 54cm, 61cm, 68cm, 75cm,82cm,89cm,96cm,103cm. 四、练习: 1.(1)求等差数列 3,7,11,??的第 4 项与第 10 项.

分析:根据所给数列的前 3 项求得首项和公差,写出该数列的通项公式, 从而求出所求项. 解:根据题意可知: a1 =3,d=7-3=4. ∴该数列的通项公式为: an =3+(n-1)×4,即 an =4n-1(n≥1,n∈N*) ∴ a4 =4×4-1=15, a10 =4×10-1=39. 评述:关键是求出通项公式. (2)求等差数列 10,8,6,??的第 20 项. 解:根据题意可知: a1 =10,d=8-10=-2. ∴该数列的通项公式为: an =10+(n-1)×(-2),即: an =-2n+12, ∴ a 20 =-2×20+12=-28. 评述:要注意解题步骤的规范性与准确性. (3)100 是不是等差数列 2,9,16,??的项?如果是,是第几项?如果 不是,说明理由. 分析:要想判断一数是否为某一数列的其中一项,则关键是要看是否存在 一正整数 n 值,使得 an 等于这一数. 解:根据题意可得: a1 =2,d=9-2=7. ∴此数列通项公式为: an =2+(n-1)×7=7n-5. 令 7n-5=100,解得:n=15, ∴100 是这个数列的第 15 项. (4) -20 是不是等差数列 0, -3 如果不是,说明理由. 解:由题意可知: a1 =0,d=-3

1 , -7, ??的项?如果是, 是第几项? 2

1 2

∴此数列的通项公式为: an =- 令-

7 7 n+ , 2 2

7 7 47 n+ =-20,解得 n= 2 2 7 7 7 因为- n+ =-20 没有正整数解,所以-20 不是这个数列的项. 2 2
2.在等差数列{ an }中, (1)已知 a4 =10, a7 =19,求 a1 与 d; (2)已知 a3 =9, a9 =3,求 a12 .

?a1 ? 3d ? 10 解: (1)由题意得: ? , ?a1 ? 6d ? 19
(2)解法一:由题意可得: ?

?a1 ? 1 解之得: ? . ?d ? 3

?a1 ? 2d ? 9 ?a1 ? 11 , 解之得 ? ?d ? ?1 ?a1 ? 8d ? 3

∴该数列的通项公式为: an =11+(n-1)×(-1)=12-n,∴ a12 =0 解法二:由已知得: a9 = a3 +6d,即:3=9+6d,∴d=-1 又∵ a12 = a9 +3d,∴ a12 =3+3×(-1)=0. Ⅳ.课时小结 五、小结 通过本节学习,首先要理解与掌握等差数列的定义及数学
?

表达式: an - a n ?1 =d , (n≥2,n∈N ).其次,要会推导等差数列的通 项公式: an ? a1 ? (n ? 1)d ,并掌握其基本应用.最后,还要注意一重要 关系式: an ? am ? (n ? m)d 和 an =pn+q (p、q 是常数)的理解与应用.


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