(人教专用)2014高考数学总复习 热点重点难点专题透析 专题2 第1课时三角函数的图象与性质练习题 理


(人教专用)2014 高考数学总复习 热点重点难点专题透析 专题 2 第 1 课时三角函数的图象与性质练习题 理

(本栏目内容,在学生用书中以独立形式分册装订!) 1.已知 sin α -cos α = 2,α ∈(0,π ),则 tan α =( A.-1 2 2 B.- 2 2 )

C.

D.1

π? 3π ? 解析: 由 sin α -cos α = 2sin?α - ?= 2,α ∈(0,π ),解得 α = ,所 4 4 ? ? 3π 以 tan α =tan =-1. 4 答案: A 2.(2013·广东卷)若函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0)的部分图象如图,则 ω =( )

A.5 C.3

B.4 D.2

π? T ? π π 解析: 设函数的最小正周期为 T,由函数图象可 知 =?x0+ ?-x0= ,所以 T= . 4? 2 ? 4 2 2π 又因为 T= ,可解得 ω =4. ω 答案: B 2π ? 2π ? ? ? 3. 设函数 f(x)=sin?ω x+ ?+sin?ω x- ?(ω >0)的最小正周期为 π , 则( 3 3 ? ? ? ? )

? π? A.f(x)在?0, ?上单调递减 2? ? ? π? C.f(x)在?0, ?上单调递增 2? ?

? π? B.f(x)在?0, ?上单调递增 4? ? ? π? D.f( x)在?0, ?上单调递减 4? ?

2π 2π 解析: 依题意得 f(x)=2sin ω xcos =-sin ω x, =π ,所以 ω =2,f(x) 3 ω

1

? π? =-sin 2x,易知该函数在?0, ?上单调递减. 4? ?
答案: D 4.三角形 ABC 是锐角三角形,若角 θ 终边上一点 P 的坐标为( sin A-cos B,cos A sin θ cos θ tan θ -sin C),则 + + 的值是( |sin θ | |cos θ | |tan θ | A.1 C.3 B.-1 D.4 )

解析: 因为三角形 ABC 是锐角三角形,所以 A+B>90°,即 A>90°-B,则 sin A> si n(90°-B)=cos B,sin A-cos B>0,同理 cos A-sin C<0,所以点 P 在第四象限, sin θ cos θ tan θ + + =-1+1-1=-1,故选 B. |sin θ | |cos θ | |tan θ | 答案: B 5. (2013·东北三校模拟)已知函数 y=Asin(ω x+φ )+k(A>0, ω >0)的最大值为 4, 最小值为 0,最小正周期为 的解析式为( ) π? ? B.y=2sin?2x+ ?+2 3? ? π? ? D.y=2sin?4x+ ?+2 6? ? π π ,直线 x= 是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件 2 3

π? ? A.y=4sin?4x+ ? 6? ? π? ? C.y=2sin?4x+ ?+2 3? ?

解析: 由函数 y=Asin(ω x+φ )+k 的最大值为 4,最小值为 0,可知 k=2,A=2, π 2π π π 由函数的最小正周期为 , 可知 = , 可得 ω =4, 由直线 x= 是其图象的一条对称轴, 2 ω 2 3 可知 4× π π 5π + φ = kπ + , k ∈ Z ,从而 φ = kπ - , k ∈ Z ,故满足题意的是 y = 3 2 6

π? ? 2sin?4x+ ?+2. 6? ? 答案: D π? ? 6. (2013·吉林长春市高中毕业班第一次调研测试)给定命题 p: 函数 y=sin?2x+ ?和 4? ? 3π ? π ? 函数 y=cos?2x- ?的图象关于原点对称;命题 q:当 x=kπ + (k∈Z)时,函数 y= 2 4 2 ? ? (sin 2x+cos 2x)取得极小值.下列说法正确的是( A.p∨q 是假命题 C.p∧q 是真命题 )

B.?p∧q 是假命题 D.?p∨q 是真命题

2

解析:

π ?? 3π ? π π? ?π ? ? ? 命 题 p 中 y = cos ?2x- ? = cos ?2x- - ? = cos ? -?2x- ?? = 4 ?? 4 ? 4 2? ? ? ?2 ?

π? π? ? ? sin?2x- ?与 y=sin?2x+ ?关于原点对称,故 p 为真命题;命题 q 中 y= 2(sin 2x+ 4 4? ? ? ? π? π π 3π ? cos 2x)=2sin?2x+ ?取极小值时,2x+ =2kπ - ,则 x=kπ - ,k∈Z,故 q 为 4? 4 2 8 ? 假命题,则?p∧q 为假命题,故选 B. 答案: B π? 4 ? 7.已知 cos?α - ?= ,则 cos(π -2α )= ________. 2? 5 ? π? 4 4 ? 解析: 由 cos?α - ?= ,得 sin α = , 2? 5 5 ? 7 2 ∴cos(π -2α )=-cos 2α =-(1-2sin α )= . 25 答案: 7 25

8.函数 y=sin(ω x+φ )(ω >0,0<φ <π )的最小正周期为 π ,且函数图象关于点

?-3π ,0?对称,则函数的解析式为________. ? 8 ? ? ?
2π ? 3π ? 解析: 由题意知最小正周期 T=π = ,∴ω =2,2×?- ?+φ =kπ ,∴φ =kπ ω ? 8 ? 3π ? 3π 3π ? + ,又 0<φ <π ,∴φ = ,∴y=sin?2x+ ?. 4 ? 4 4 ? 3 ? ? 答案: y=sin?2x+ π ? 4 ? ? 9.函数 y=tan ω x(ω >0)与直线 y=a 相交于 A、B 两点,且|AB|最小值为 π ,则函数

f(x)= 3sin ω x-cos ω x 的单调增区间是________.
解析: 由函数 y=tan ω x(ω >0)图象可知,函数的最小正周期为 π ,则 ω =1,

? π? 故 f(x)= 3sin ω x-cos ω x=2sin?x- ?的单调增区间满足: 6? ?
π π π π 2π 2kπ - ≤x- ≤2kπ + (k∈Z)? 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z). 2 6 2 3 3 π 2π ? ? 答案: ?2kπ - ,2kπ + ?(k∈Z) 3 3 ? ? π? ? 10.(2012·陕西卷)函数 f(x)=Asin?ω x- ?+1(A>0,ω >0)的最大值为 3,其图 6? ? π 象相邻两条对称轴之间的距离为 . 2

3

(1)求函数 f(x)的解析式;

? π ? ?α ? (2)设 α ∈?0, ?,f? ?=2,求 α 的值. 2? ? ?2?
解析: (1)∵函数 f(x)的最大值为 3, ∴A+1=3,即 A=2. π ∵函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 , 2 ∴最小正周期 T=π .∴ω =2. π? ? ∴函数 f(x)的解析式为 y=2sin?2x- ?+1. 6? ? π? ?α ? ? (2) ∵f? ?=2sin?α - ?+1=2, 2 6? ? ? ? π? 1 ? ∴sin?α - ?= . 6? 2 ? π π π π ∵0<α < ,∴- <α - < . 2 6 6 3 π π π ∴ α - = ,∴α = . 6 6 3

? π? 11.已知函数 f(x)=4cos x·sin?x+ ?+a 的最大值为 2. 6? ?
(1)求 a 的值及 f(x)的最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. 1 ? 3 ? ? π? 解析: (1)f(x)=4 cos x·sin?x+ ?+a=4cos x·? sin x+ cos x?+a=2 3sin 6? ? 2 ?2 ?

xcos x+2cos2x-1+1+a= 3sin 2x+cos 2x+1+a=2sin?2x+ ?+1+a. 6

? ?

π?

?

π? ? ∴当 sin?2x+ ?=1 时,f(x)取得最大值 2+1+a=3+a, 6? ? 又 f(x)的最大值为 2, ∴3+a=2,即 a=-1.

f(x)的最小正周期为 T=

2π =π . 2

π? ? (2)由(1),得 f(x)=2sin?2x+ ?, 6? ? π π π ∴- +2kπ ≤2x+ ≤ +2kπ ,k∈Z, 2 6 2 2π π 得- +2kπ ≤2x≤ +2kπ ,k∈Z. 3 3

4

π π ∴- +kπ ≤x≤ +kπ ,k∈Z. 3 6 π ? π ? ∴f(x)的单调递增区间为?- +kπ , +kπ ?,k∈Z. 3 6 ? ? 12.(2013·北京延庆二模)已知 a=(5 3cos x,cos x),b=(sin x,2cos x),设函数

f(x)=a·b+|b|2+ .

3 2

?π π ? (1)当∈? , ?时,求函数 f(x)的值域; ?6 2? ?π π ? ? π? (2 )当 x∈? , ?时,若 f(x)=8 ,求函数 f?x- ?的值; ?6 2? ? 12?
π (3)将函数 y=f(x)的图象向右平移 个单位后,再将得到的图象上各点的纵坐标向下 12 平移 5 个单位,得到函数 y=g(x)的图象,求函数 g(x)的表达式并判断奇偶性. 3 2 解析: (1)f(x)=a·b+|b| + 2 3 2 2 2 =5 3sin xcos x+2cos x+4cos x+sin x+ 2 5 2 =5 3sin xcos x+5cos x+ 2 = 5 1+cos 2x 5 3sin 2x+5× + 2 2 2

π? ? =5sin?2x+ ?+5. 6? ? 由 π π π π 7π ≤x≤ ,得 ≤2x+ ≤ , 6 2 2 6 6

π? 1 ? ∴- ≤sin?2x+ ?≤1, 6? 2 ? π π ?5 ? ∴当 ≤x≤ 时,函数 f(x)的值域为? ,10?. 2 6 2 ? ? π? ? (2)f(x)=5sin?2x+ ?+5=8, 6? ? π? 3 ? 则 sin?2x+ ?= , 6? 5 ? π? 4 ? 所以 cos?2x+ ?=- , 6? 5 ?

f?x- ?=5sin 2x+5 12

? ?

π?

?

5

π π? 3 3 ? =5sin?2x+ - ?+5= +7. 6 6? 2 ? π? ? (3)由题意知 f(x)=5sin?2x+ ?+5→g(x) 6? ?

? ? π? π? =5sin?2?x- ?+ ?+5-5=5sin 2x, ? ? 12? 6 ?
即 g(x)=5sin 2x,

g(-x)=5sin(-2x)=-5sin 2x=-g(x),
故 g(x)为奇函数.

6


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