四川省成都外国语学校2015届高三11月月考 数学文 Word版含答案


成都外国语学校 2015 届 11 月文科数学试题
一、选择题(本大题 10 个小题,每题 5 分,共 50 分,请将答案涂在答题卷上) 1.已知 i 为虚数单位, a ? R ,若 的模等于( A. 2 ) B. 3 C. 11 D. 6 )

2?i 为纯虚数,则复数 z ? (2a ? 1) ? 2i a?i

开始 输入 x

2.如图所示的程序框图的输入值 x ?? ?1,3? ,则输出值 y 的取值范围为( A. ?1, 2? B. ? 0, 2? C. ?0,1? D. ? ?1, 2? 3.某几何体正视图与侧视图相同,其正视图与俯视图如图所示,且图中的 四边形都是边长为 2 的正方形,正视图中两条虚线互相垂直,则该几何体 的体积是( ) A.

x ? 0?




y ? log 2 ( x ? 1) y ? 2? x ? 1
输出

y

结束

20 3

B.6

C.4

D.

4 3

4.下列命题正确的个数是( ) ①“在三角形 ABC 中,若 sin A ? sin B ,则 A ? B ”的逆命题是真命题; ②命题 p : x ? 2 或 y ? 3 ,命题 q : x ? y ? 5 则 p 是 q 的必要不充分条件; ③“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x3 ? x2 ? 1 ? 0 ”; ④从匀速传递的产品生产流水线上, 质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行 某项指标检测,这样的抽样是系统抽样; A.1 B.2 C.3 D.4 5.已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a1 ? a3 ? A. 4
n ?1

5 5 S , a2 ? a4 ? ,则 n ? ( 2 4 an



B. 4 ? 1
n

6.若函数 f ( x ) ? sin(? x ? 值是 ( A. ) B.1

?
3

C. 2

n ?1

D. 2 ? 1
n

) 的图像向右平移

? 个单位后图像关于 y 轴对称,则 ? 的最小正 3

5 2 ? x ? 2 y ? 1 ? 0, 7.已知实数 x, y 满足 ? 则 z ? 2 x ? y 的最大值为( ?| x | ? y ? 1 ? 0

1 2

C.2

D.

)

A.4

B.6

C.8
0

D.10

8.已知菱形 ABCD 的边长为 4, ?ABC ? 150 ,若在菱形内任取一点,则该点到菱形的四个 顶点的距离大于 1 的概率( ) A.

? 4

B. 1 ?
3

? 4
2

C.

? 8

D. 1 ?

? 8

9. 已知函数 f ( x) ? x ? px ? qx 与 x 轴相切于 x0 ( x0 ? 0) 点,且极小值为 ?4 ,则 p ? q ? ( ) A.12 B.15 C.13 D.16 x ? 0 10.已知 R 上的连续函数 g(x)满足:①当 时, g '( x) ? 0 恒成立( g '( x ) 为函数 g ( x) 的导函 数);②对任意的 x ? R 都有 g ( x) ? g (? x) ,又函数 f ( x ) 满足:对任意的 x ? R ,都有

f ( 3 ? x) ? f ( x ? 3) 成立。当 x ?[? 3, 3] 时, f ( x) ? x3 ? 3x 。若关于 x 的不等式 3 ) g[ f ( x)] ? g (a2 ? a ? 2) 对 x ? [? 3, ? 2 3] 恒成立,则 a 的取值范围是( 2
-1-

A. a ? R

B. 0 ? a ? 1

C. ?

1 3 3 1 3 3 ? ?a?? ? 2 4 2 4

D. a ? 0 或 a ? 1

二.填空题(本大题 5 个小题,每题 5 分,共 25 分,请把答案填在答题卷上) 11.已知函数 f ( x) ? ln x ,则 f ( x) ? 1 的解集为 12.某中学为了解学生数学课程的学习情况,在 3 000 名学生中 随机抽取 200 名,并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩, 得到了样本的频率 分布直方图(如图).根据频率分布直方图推 测, 这 3 000 名学生在该次数学考试中成绩小于 60 分的学生数 是________. 13.在直角坐标系 xOy 中,已知任意角 ? 以坐标原点 O 为顶点,以 x 轴的非负半轴为始边, 若其终边经过点 P( x0 , y0 ) ,且 | OP | ? r (r ?0) ,定义: si cos ? ? “ ? 的 正 余 弦 函 数 ” , 若 si cos ? ? 0 , 则
E D C

y0 ? x0 ,称“ sicos ? ”为 r

s i ? n ?( 2? _________ ) 3

?

.
P A

14.如图,四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形,延长 CD 至 E ,使 得 DE ? 2CD 。动点 P 从点 A 出发,沿正方形的边按逆时针方向 运动一周回到 A 点, AP ? ? AB ? ? AE . 则 ? ? ? 的取值范围为

B

________. 15.在实数集 R 中,我们定义的大小关系“>”为全体实数排了一个“序”.类似的,我们在平 面向量集 D= a a ? ? x, y ? , x ? R, y ? R 上也可以定义一个称“序”的关系,记为“ ?? ”. 定义如下:对于任意两个向量 a1 =(x1,y1 ),a 2 =(x2 ,y2 ) , “ a1 >> a 2 ”当且仅当“ x1 ? x2 ” 或“ x1 ? x2且y1 ? y2 ” 。按上述定义的关系“ ?? ” ,给出如下四个命题: ①若 e1 ? (1,0), e2 ? (0,1),0 ? (0,0) ,则 e1 >> e2 >> 0 ; ② 若 a1 >> a 2 ,a 2 >> a 3 ,则 a1 >> a 3 ; ③ 若 a1 >> a 2 ,则对于任意 a ? D,a1 +a >> a 2 +a ; ④ 对于任意向量 a >> 0,0 = (0,0) ,若 a1 >> a 2 ,则 a ? a1 > a ? a 2 。 其中真命题的序号为__________ 三.解答题(本大题 6 个小题,共 75 分,请把答案填在答题卷上) 16. (12 分) 集合 A ? { y | y ? sin x ? cos( x ?

?

?

?

若命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B ,且 p 是 q 必要不充分条件,求实数 m 的取值范围。

6

) ? m, x ? R} ,B ? {y | y ? ? x2 ? 2x, x ?[1,2]} ,

-2-

B 两个小岛相距 10 km ,船 O 将保持观望 A 岛和 B 岛所成的视角 17.(12 分)如图,海上有 A , 为 60 ? ,现从船 O 上派下一只小艇沿 BO 方向驶至 C 处进行作业,且 OC ? BO .设 AC ? x km 。

10 3 km ,求出 x 的取值; 3 (2)用 x 分别表示 OA2 ? OB 2 和 OA ? OB ,并求出 x 的取值范围.
(1)若 AO=

D
A
60 ?

C

O

B

-3-

0 18. (12 分) 在四棱锥 P ? ABCD 中, AD // BC ,?ABC ? ?APB ? 90 , 点 M 是线段 AB

上的一点,且 PM ? CD , AB ? BC ? 2 PB ? 2 AD ? 4 BM . (1)证明:面 PAB ? 面 ABCD ; (2)求直线 CM 与平面 PCD 所成角的正弦值.

P M

A
D

B

C

19. (12 分)新一届中央领导集体非常重视勤俭节约,从“光盘行动”到“节约办春晚” 。到 饭店吃饭是吃光盘子或时打包带走,称为“光盘族” ,否则称为“非光盘族”.政治课上政治老 师选派几位同学组成研究性小组,从某社区[25,55]岁的人群中随机抽取 n 人进行了一次调查, 得到如下统计表: 组数 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 第6组 分组 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55) 频数 50 100 150 200 a 200 频率 0.05 0.10 0.15 0.20 b 0.20 光盘族占本组比例 30% 30% 40% 50% 65% 60%

(1)求 a , b 的值,并估计本社区[25,55)岁的人群中“光盘族”所占比例; (2)从年龄段在[35,45)的“光盘族”中采用分层抽样方法抽取 8 人参加节约粮食 宣传活动,并从这 8 人中选取 2 人作为领队.求选取的 2 名领队分别来自[35,40)与[40,45) 两个年龄段的概率。

-4-

20.(13 分)已知数列 ?a n ? 中, a1 ? 1, 且点 P(an , an?1 )(n ? N * ) 在直线 x ? y ? 1 ? 0 上。 (1)求数列 ?a n ? 的通项公式; (2) 若函数 值; (3)设 bn ?

f ( n) ?

1 1 1 1 ? ? ? ... ? (n ? N *, n ? 2) ,求函数 f (n) 的最小 n ? a1 n ? a2 n ? a3 n ? an

1 , S n 表示数列 ?bn ?的前项和.试求出关于 n 的整式 g ?n ? ,使得 an S1 ? S 2 ? S 3 ? ? ? S n ?1 ? ?S n ? 1? ? g ?n ? 对于一切不小于 2 的自然数 n 恒成立.(不用证

明)

-5-

21. (14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? ln x, g ( x) ? e x . (I)当 a ? 0 时,求 f ( x) 的单调区间

x?m 有解,求实数 m 的取值菹围; x (Ⅲ ) 定 义 : 对 于 函 数 y ? F ( x) 和 y ? G ( x ) 在 其 公 共 定 义 域 内 的 任 意 实 数 x0 , 称
(Ⅱ )若不等式 g ( x) ?

F ( x0 ) ? G ( x0 ) 的 值 为 两 函 数 在 x0 处 的 差 值 。 证 明 : 当 a ? 0 时 , 函 数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 在其公共定义域内的所有差值都大干 2。

-6-

成都外国语学校 2015 级 11 月月考文科数学试题 参考答案
一、选择题 1 题号 D 答案 二、填空题 11、 (??, ?e) 三、解答题 16、解: y ? sin x ? cos( x ? ) ? m ? sin x ? 2 B 3 A 4 C 5 D 6 D 7 C 8 D 9 B 10 D

(e, ??) ;12、600;13、

1 ;14、 [0, 4] ;15、①②③ 2

? 3 1 3 3 cos x ? sin x ? m ? sin x ? cos x ? m 6 2 2 2 2 ? ? 3 sin( x ? ) ? m ? [m ? 3, m ? 3] --------------------------5 6
-------------------------6 ------------------8 -----10 ------------12

分 故 A ? [m ? 3, m ? 3] 分

y ? ? x2 ? 2x 在 x ? [1, 2] 为减函数,故 B ? [0,1] ,
分 又命题 p : x ? A ,命题 q : x ? B , p 是 q 必要不充分条件,故 B ? A 分

?m ? 3 ? 0 且 m ? 3 ? 1,从而 1 ? 3 ? m ? 3
分 17、解:(1)

(2)在 ?OAC 中, ?AOC ? 120? , AC ? x , 由余弦定理得, OA2 ? OC 2 ? 2OA ? OC ? cos120? ? x 2 , 又 OC ? BO , 所以 OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos120? ? x 2 ① , ……7 分 在 ?OAB 中, AB ? 10 , ?AOB ? 60? 由余弦定理得, OA2 ? OB 2 ? 2OA ? OB ? cos60? ? 100 ② , ………9 分 2 x ? 100 ① +② 得 OA2 ? OB 2 ? , 2 x 2 ? 100 ① -② 得 4OA ? OB ? cos60? ? x 2 ? 100 ,即 OA ? OB ? , …………10 分 2 x 2 ? 100 x 2 ? 100 ≥ 2? 又 OA2 ? OB2 ≥2OA ? OB ,所以 ,即 x 2 ≤300 , 2 2 x 2 ? 100 > 0 ,即 x 2 >100 , 所以 10<x≤10 3 又 OA ? OB ? ………………………12 分 2 18.解: (1)由 AB ? 2 PB ? 4 BM ,得 PM ? AB , 又 因 为 PM ? CD , 且 AB ? CD , 所 以 PM ? 面 ABCD , ?4 分 且 PM ? 面 PAB .所以,面 PAB ? 面 ABCD 。 ??6 分 (2)过点 M 作 MH ? CD ,连结 HP , 因为 PM ? CD ,且 PM ? MH ? M , -7P

10 21 3

N

A

M

B

D

H

C

所以 CD ? 平面 PMH ,又由 CD ? 平面 PCD , 所以平面 PMH ? 平面 PCD ,平面 PMH ? 平面 PCD ? PH ,过点 M 作 MN ? PH , 即有 MN ? 平面 PCD ,所以 ?MCN 为直线 CM 与平面 PCD 所成角. ??9 分

17 3 7 5 t , PM ? t , MH ? t, 2 10 2 MN 7 51 4 5 7 3 ∴ PH ? ,即直线 CM 与平面 PCD t ,MN ? t ,从而 sin ?MCN ? ? 5 16 CM 136
在 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 设 AB ? 2t , 则 CM ? 所 成 角 的 正 弦 值 ?12 分 为

7 51 . 136
19.解: (1) n ?

50 ? 1000 0.05

?????1 分 ??2 分 ??3 分

b ? 1 ? (0.20 ? 0.20 ? 0.15 ? 0.10 ? 0.05) ? 0.30
? a ? 1000 ? 0.30 ? 300
样本中的“光盘族”人数为:

50 ? 0.30 ? 100 ? 0.30 ? 150 ? 0.40 ? 200 ? 0.50 ? 300 ? 0.65 ? 200 ? 0.60 ? 520 ?
5分 样本中的“光盘族”所占的比例为:

520 ? 52% 1000

??6 分

(2) 年龄段在 [35, 40) 的 “光盘族” 的人数为 150 ? 0.40 ? 60 人, 年龄段在 [40, 45) 的 “光 盘族”人数为 200 ? 0.50 ? 100 人,采用分层抽样方法抽取 8 人中 [35, 40) 的“光盘族”有 3 人,在 [40, 45) 的有 5 人,记 [35, 40) 中的 3 人为 A1 , A2 , A3 , [40, 45) 的 5 人记为

B1 , B2 , B3 , B4 , B5 ,则选取 2 人做领队有:
( A1 , A2 ), ( A1 , A3 ), ( A1 , B1 ), ( A1 , B2 ), ( A1 , B3 ), ( A1 , B4 ), ( A1 , B5 ) ( A2 , A3 ), ( A2 , B1 ), ( A2 , B2 ), ( A2 , B3 ), ( A2 , B4 ), ( A2 , B5 ) ( A3 , B1 ), ( A3 , B2 ), ( A3 , B3 ), ( A3 , B4 ), ( A3 , B5 ) ( B1 , B2 ), ( B1 , B3 ), ( B1 , B4 ), ( B1 , B5 ) ( B2 , B3 ), ( B2 , B4 ), ( B2 , B5 ) ( B3 , B4 ), ( B3 , B5 ) ( B4 , B5 )

共 28 种

?10 分

其中分别来自 [35, 40) 与 [40, 45) 两个年龄段的有:

( A1 , B1 ),( A1, B2 ),( A1, B3 ),( A1, B4 ),( A1, B5 ), ( A2 , B1 ),( A2 , B2 ),( A2 , B3 ),( A2 , B4 ),( A2 , B5 ),( A3 , B1),( A3 , B2 ),( A3 , B3 ),( A3, B4 ),( A3, B5 ) 共
15 种??11 分 所以分别来自 [35, 40) 与 [40, 45) 两个年龄段的概率 -8-

15 28

?12 分

20、

解:() 1 点P(an , an ?1 )在直线x ? y ? 1 ? 0上,即an ?1 ? an ? 1, 且a1 ? 1 ? 数列?an ? 是以1为首项, 1为公差的等差数列。 ? an ? 1 ? (n ? 1) ?1 ? n(n ? 2), a1 ? 1也满足 ? an ? n.
(2)

7 12

(3) bn ?

1 1 1 1 1 ? Sn ? 1 ? ? ? ? ,? Sn ? Sn ?1 ? (n ? 2), n 2 3 n n 即nSn ? (n ? 1) S n ?1 ? S n ?1 ? 1,? (n ? 1) S n ?1 ? (n ? 2) S n ? 2 ? S n ? 2 ? 1, ? S n ?1 ? n ? 1, ? S n ?1 ? nS n ? n ? ( S n ? 1) ? n(n ? 2) ? g (n) ? n.

,S 2 ? S1 ? S1 ? 1,

? nSn ? S1 ? S1 ? S 2 ? ? S1 ? S 2 ?

故存在关于n的整式g (n) ? n,使等式对于一切不小于2的自然数n恒成立
法二:先由 n=2,n=3 的情况,猜想出 g(n)=n,再用数学归纳法证明。 21、

-9-

所有:高考资源网(www.ks5u.com)

- 10 -


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