高考中有关圆锥曲线焦点弦问题的一种统一解法


● 宋  波  高 中关锥 线点 问的种 一法 考 有 圆 曲 焦 弦 题 一 统 解  经过圆锥 曲线焦点被 圆锥曲线截得 的线  段 叫焦 点 弦. 是 一 个 非 常 重 要 的 几 何 量 , 它 是  各类 考试 的重点 和 热 点. 面 介 绍 有关 圆锥 曲  下 线焦 点 弦 问题 的一 种统 一 解 法 , 后 用 高考 题  然 举例 说 明.   c: x =   =   = 1朋 I   P   1 一 c s 5。     o4     3+2 Y 4 .   例 3 ( 0 9年 全 国卷 Ⅱ 理 )已知双 曲线    20 一   定理 : 经过 横 向 型 圆锥 曲线 的焦点 F作 倾  = 1( >0 b>0 口 , )的右 焦点 为 F,   斜角为 的直线 , 交圆锥曲线于A、  两点 , 离  若 心率 是 e焦 点 到 相应 准 线 的距 离 为 P, 焦 半  , 则 径 r 2=     , 过 F且斜 率 为  的 直线 交 c于 , 两点 , ,   若A   :4F   离心 率.  B, 求   , 点 弦长 I BI=r +r   焦     A - z= 解: 因为k= a0 √ , t = 3即 = 0,  F = n 6。 A I   又I 4 赢 I所以l _   l ,  二竺 —   ecos U 。   o    =i eo O  解得  . cs 。, _ O l +  1 一 ec s ‘ 2o    定 理可 利用 直 线 的 参 数方 程 去进 行 证 明 ,   也可 以用极 坐标 法 去证 明 , 可 以利 用 圆锥 曲  还 线统 一 定 义 和 几 何 性 质 去证 明 , 法 很 多 , 证 这  里就 不 一一 赘述 了.   + ‘   例 4 ( 0 0年 全 国卷 Ⅱ)已知 椭 圆 C:   21   掌握 了上 述 解 法 , 类 问题 在 高 考 中 , 此 不  论是 选 择 、 空题 , 是 解 答 题 都 能 化难 为 易 , 填 还   迎 刃而 解.   吾 1 >> 的心为 , 焦  =( 6 )离率 过 点 口 。 右 解: 因为 I F I   耶 I      =3l A , F且 斜 率为 k k>0 ( )的直 线与 C交 于 A, 日两  点,   :3 , k   若 赢 求 的值. 所以—   1一   例 1 ( 0 7年 重庆 )经过 双 曲线  一y    20 2 = 4的右 焦点 F作倾 斜 角为 15 的直 线 , 0。 交双  一 =—   l L c 伽   1+   cs 。  ,   曲线 P Q两 点 , l F 1 I Q l的值. 、 求 尸  . F       解: 因为 a=b:2 C=2 2 e=√ ,   , 4, 2e p= 口  =2 则   , ? F  =   I QI   解 得 cs = , . t 0= . 0    则 1 a }= n     。  l 十 e cos J t l 一 ecos   例 5 (0 0 全 国卷 I)已知 F是 椭 圆 C   2 1年   的一 个焦 点 , B是短 轴 的 一个 端 点 , 线段 日 ,的  一 一 1 一 ec s0 — 1 — 2 o 2 0   0  c s 1 5。 一 ( : 一 望)   :   一   3 ‘   延

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