2014-2015学年度高二第二学期期中考试(理科)数学试题(带答案)


2014-2015 学年高二第二学期期中考试 数学试卷(理)
说明:本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 4 页。全卷满分 150 分。考试时间 120 分钟。 注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。第Ⅰ卷 1 至 2 页, 第Ⅱ卷 3 至 4 页。 2. 答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。 3. 全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效。

第Ⅰ卷
一、选择题:该题共 12 个小题,每个小题有且只有一个选项是正确的,每题 5 分,共 60 分。 1.曲线 y=

x ?1 在点(0,一 1)处的切线与两坐标轴围成的封闭图形的面积为( ) x ?1 1 4 1 1 A. B.- C. D. 4 2 3 8


2. f ' ( x) 是 f ( x) 的导函数, f ' ( x) 的图象如右图所示,则 f ( x) 的图象只可能是(

A.
33

B. )

C.

D.

3. 2 除以 9 的余数是( A.8 B.4

C.2

D.1

4.将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱上的两个端点异色,若只有 4 种颜色 可供使用,则不同的染色方法总数有( A.48 种 B.72 种 C.96 种 ) D.108 种

5.某班班会准备从甲、乙等 7 名学生中选派 4 名学生发言,要求甲、乙两人至少有一人参加, 当甲乙同时参加时,他们两人的发言不能相邻,那么不同的发言顺序的种数为( A. 360 B. 520 C. 600 )

D. 720

6.某次联欢会要安排 3 个歌舞类节目, 2 个小品类节目和 1 个相声类节目的演出顺序,则同类 节目不相邻的排法种数是( A. 72 B. 120 ) C. 144 D. 168 )

7.设随机变量 ξ 服从正态分布 N(0,1),P(ξ >1)=p,则 P(-1<ξ <0)等于( A.

1 p 2

B.1-p

C.1-2p

D.

1 -p 2

8.从 1,2,3,…,9 这 9 个数中任取 5 个不同的数,则这 5 个数的中位数是 5 的概率等于 ( )

A.

5 7

B.

5 9

C.

2 7

D.

4 9

9.已知 与

之间的一组数据:



与 的线性回归方程

必过点 D.(1.5,5)

A.(2,2) B.(1,2) C.(1.5,0)

10.下面说法:①如果一组数据的众数是 5,那么这组数据中出现次数最多的数是 5; ②如果一组数据的平均数是 0,那么这组数据的中位数为 0; ③如果一组数据 1,2,x,4 的中位数是 3,那么 x=4; ④如果一组数据的平均数是正数,那么这组数据都是正数. 其中错误的个数是 A.1 B.2 C.3 ( )

D.4

11.已知 a,b ? R ,且 2 ? a i,

b ? i ( i 是虚数单位)是实系数一元二次方程 x 2 ? px ? q ? 0 的


两个根,那么 p,q 的值分别是( A. p ? 4, q ? 5 C. p ? ?4, q ? 5

B. p ? ?4, q ? 3 D. p ? 4, q ? 3

12. 实数 x、y 满足 3x2+2y2=6x,则 x2+y2 的最大值为( )
A、

7 2

B、4

C、

9 2

D、5

第Ⅱ卷
二、填空题:该题共 4 个小题,每题 5 分,共 20 分,请将答案规范书写在答题卡的相应位置。

1 2 13.设 a ? ?1 (3x2 ? 2 x)dx ,则二项式 (ax2 ? )6 展开式中的第 6 项的系数为 x

;

14.现从 8 名学生中选出 4 人去参加一项活动, 若甲、 乙两名同学不能同时入选, 则共有 不同的选派方案.(用数字作答)





15.(坐标系与参数方程选做题)在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴
? ? x ? t, 建立极坐标系.若曲线 C1 的参数方程为 ? ( t 为参数) ,曲线 C2 的极坐标方程为 2 ? ?y ? 1? t .

? sin ? ? ? cos? ? ?1 .则曲线 C1 与曲线 C2 的交点个数为________个.
16. 18.已知整数数对如下排列:(1,1), (1,2), (2,1), (1,3), (2,2), (3,1), (1,4), (2,3), (3,2), (4,1) ? ,按此规律, 则第 60 个数对为__________ 三、解答题:该题共 6 个小题,共 70 分,请将正确答案规范书写在答题卡的相应位置。 17、 (本小题满分 10 分) 极坐标系的极点为直角坐标系 xOy 的原点,极轴为 x 轴的正半轴,两种坐标系中的长度单位相 同, 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2(cos ? ? sin ? ) , 斜率为 3 的直线 l 交 y 轴于点 E (0,1) . (I)求 C 的直角坐标方程, l 的参数方程; (II)直线 l 与曲线 C 交于 A、B 两点,求|EA|+|EB |。 18. (本小题满分 12 分) 已知 (1 ? 2x)7 ? a0 ? a1x ? a2 x2 ? (1) a1 ? a2 ?

? a7 x7 ,求:

? a7 ;

(2) | a0 | ? | a1 | ?

? | a7 | .

19. (本小题满分 12 分) 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试,面试合格者可正式签约,甲表示只要面试合格

就签约.乙、丙则约定:两人面试都合格就一同签约,否则两人都不签约.设甲、乙、丙面试 合格的概率分别是

1 1 2 , , ,且面试是否合格互不影响.求: 2 2 3

(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率; (Ⅱ)签约人数 ? 的分布列和数学期望. 20. (本小题满分 12 分) (1)用二项式定理证明:32n-8n-1 能被 64 整除(n∈N*); (2)求 230-3 除以 7 的余数. 21. (本小题满分 12 分) 用 0,1,2,3,4,5 这六个数字,完成下面三个小题. (1)若数字允许重复,可以组成多少个不同的五位偶数; (2)若数字不允许重复,可以组成多少个能被 5 整除的且百位数字不是 3 的不同的五位数; (3)若直线方程 ax+by=0 中的 a、b 可以从已知的六个数字中任取 2 个不同的数字,则直 线方程表示的不同直线共有多少条? 22. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ( x ? 6x ? 3x ? t )e ( t ? R , e 为自然对数的底数)
3 2 x

(Ⅰ)若函数 y ? f ( x) 有三个极值点,求 t 的取值范围 (Ⅱ)若存在实数 t ? [0,2] ,使对任意的 x ? [1, m] ,不等式 f ( x) ? x 恒成立,求正整数 m 的最 大值

参考答案:
1.A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.D 8.C 9.D 10.B 11.C 12.B

13. ?24
17.

14.55 15.1

16. (5,7)

18、

19.解:用 A,B,C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知 A,B,C 相互独立,且 P(A) =P(B)=

1 2 , P(C)= 2 3

(Ⅰ)至少有 1 人面试合格的概率是

1 1 11 1 ? P( ABC ) ? 1 ? P( A) P( B) P(C ) ? 1 ? ( ) 2 ? ? . 2 3 12
(Ⅱ) ? 的可能取值为 0,1,2,3.

P(? ? 0) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC )
= P ( A) P ( B ) P (C ) ? P ( A) P ( B ) P (C ) ? P ( A) P ( B ) P (C ) = ( )2 ? ? ( )2 ?

1 2

1 3

1 2

2 1 21 1 ?( ) ? . 3 2 3 3

P(? ? 1) ? P( ABC ) ? P( ABC ) ? P( ABC )
= P ( A) P ( B ) P (C ) ? P ( A) P ( B ) P (C ) ? P ( A) P ( B ) P (C ) = ( )2 ?

1 2

2 1 2 1 1 2 1 1 ?( ) ? ?( ) ? ? . 3 2 3 2 3 3

1 2 1 P(? ? 2) ? P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? ( ) 2 ? ? . 2 3 6 1 P(? ? 3) ? P( ABC ) ? P( A) P( B) P(C ) ? . 6
所以 ? 的分布列是

?

0

1

2

3

P

1 3

1 3

1 6

1 6

1 1 1 1 7 ? 的期望 E? ? 0 ? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . 3 3 6 6 6
n 1 n 1 n 2 2 2 20.(1)证明 32n-8n-1=9n-8n-1=(8+1)n-8n-1=(C0 +C2 +…+Cn n8 +Cn8 n8 n 8 +
- - -

n 1 0 n 1 n 1 2 n 2 n 2 2 Cn 8+Cn +Cn 8 +…+Cn 8, n)-8n-1=Cn8 +Cn8
- - - -

每一项都是 64 的倍数, ∴32n-8n-1 能被 64 整除. (2)解
10 1 9 9 10 0 230-3=(23)10-3=810-3=(7+1)10-3=C0 107 +C107 +…+C107+C10 -3=7[C10

8 9 79+C1 107 +…+C10]-2.

∴230-3 除以 7 的余数为 5. 21.解 (1)5×6×6×6×3=3 240(个).
2 (2)当首位数字是 5,而末位数字是 0 时,有 A1 3A3=18(个); 3 当首位数字是 3,而末位数字是 0 或 5 时,有 A1 2A4=48(个); 1 1 2 当首位数字是 1 或 2 或 4,而末位数字是 0 或 5 时,有 A1 3A2A3A3=108(个);

故共有 18+48+108=174(个). (3)a,b 中有一个取 0 时,有 2 条;
2 a,b 都不取 0 时,有 A5 =20(条);

a=1,b=2 与 a=2,b=4 重复, a=2,b=1,与 a=4,b=2 重复. 故共有 2+20-2=20(条). 22、

?x 3 2 (II)不等式 f ( x) ? x ,即 ( x ? 6 x ? 3 x ? t )e ? x ,即 t ? xe ? x ? 6 x ? 3 x .

3

2

x

转化为存在实数 不等式 t ? xe
?x

t ? ? 0, 2?

,使对任意的

x ? ?1, m ?

,

? x3 ? 6 x 2 ? 3x 恒成立.
?x

即不等式 0 ? xe 即不等式 0 ? e 设 ? ( x) ? e
?x

? x3 ? 6 x 2 ? 3x 在 x ? ?1, m ? 上恒成立.

?x

? x 2 ? 6 x ? 3 在 x ? ?1, m ? 上恒成立

? x 2 ? 6 x ? 3 ,则 ? ?( x) ? ?e ? x ? 2 x ? 6 .
?x

? 设 r ( x ) ? ? ( x ) ? ?e
故 r ( x) 在区间

? 2 x ? 6 ,则 r ?( x) ? e ? x ? 2 ,因为 1 ? x ? m ,有 r ?( x) ? 0 .

?1, m? 上是减函数

又 r (1) ? 4 ? e

?1

? 0, r (2) ? 2 ? e ?2 ? 0, r (3) ? ?e ?3 ? 0


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