2016高考


高考调研

新课标版 ·数学(文) ·高三总复习

第十章

算法及概率、统计

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第十章

算法及概率、统计

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第2课时

随机事件的概率

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算法及概率、统计

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1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解 概率的意义,了解频率与概率区别.

2.了解两个互斥事件的概率加法公式.
请注意 1.多以选择题或填空题的形式直接考查互斥事件的概率

及运算,而随机事件的有关概念和频率很少直接考查.
2.互斥事件、对立事件发生的概率问题有时也会出现在 解答题中,多为应用问题.
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算法及概率、统计

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课 前 自 助 餐

受人以渔

自助餐

题 组 层 级 快 练

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课前自助餐

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1.随机事件及其概率 (1)必然事件: 在一定条件下必然要发生的事件



(2)不可能事件: 在一定条件下不可能发生的事件



在一定条件下可能发生也可能不发生的事件. (3)随机事件:______________________________________

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(4) 事件 A 发生的概率:在大量重复进行同一试验时,事 频率 m 总是接近于某个常数,在它附近摆动,这时 件A发生的 n 把这个 常数 叫做事件A的概率,记作P(A). 2.事件的关系与运算
(1)一般地,对于事件A与事件B,如果事件A发生,事件B 一定 发生,这时称事件 B包含事件 A(或称A 包含于事件B), 记作 B?A (或 A?B ).

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(2)若 B?A ,且 A?B ,则称事件A与事件B相等,记作 A=B. (3)若某事件发生当且仅当事件A发生 或 事件 B 发生,则 称此事件为事件A与事件B的并事件(或 和事件 ) , 记 作 A∪B(或AB). (4)若某事件发生当且仅当事件A发生 且 事 件 B 发 生 , 则 称此事件为事件A事件B的交事件(或 积事件 ),记作 A∩B . (5)若A∩B为不可能事件,(A∩B=?),则称事件A与事件B 互 斥 , 其 含 义 是 : 事件A与事件B在任一次试验中不会同时发生 . _________________________________________
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(6) 若 A∩B 为不可能事件, A∪B 为必然事件,则称事件 A 与事件B 互为对立 , 其 含 义 是 : ___________________________________________ 事件 A与事件B在任一次试验中有且仅有一个发生 . 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围为 0≤P(A)≤1 . (2)必然事件的概率为 1 . (3)不可能事件的概率为__. 0 (4)互斥事件概率的加法公式: 若事件A与事件B互斥,则P(A∪B)=___________ P(A)+P(B) . 特 别 地 , 若 事 件 B 与 事 件 A 互 为 对 立 事 件 , 则 P(A) = 1-P(B) . __________
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1.判断下面结论是否正确(打“√”或“×”).
(1)事件发生频率与概率是相同的. (2)随机事件和随机试验是一回事. (3)在大量重复试验中,概率是频率的稳定值. (4)两个事件的和事件是指两个事件都得发生.

(5)若随机事件A发生的概率为P(A),则0≤P(A)≤1.
(6)6张券中只有一张有奖,若甲、乙先后各抽取一张,则 甲中奖的概率小于乙中奖的概率. 答案 (1)× (2)×
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(3)√ (4)×
第十章

(5)√ (6)×
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2 .某人在打靶时,连续射击 2 次,事件“至少有 1 次中 靶”的互斥事件是( A.至多有1次中靶 B.2次都中 C.2次都不中靶 D.只有1次中靶 答案 C )

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3.从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件, 下列事件是互斥事件但不是对立事件的是( A.恰好有1件次品和恰好有2件次品 B.至少有1件次品和全是次品 )

C.至少有1件正品和至少有1件次品
D.至少有1件次品和全是正品 答案 A 解析 依据互斥和对立事件的定义知,B,C都不是互斥 事件;D不但是互斥事件而且是对立事件;只有A是互斥事件

但不是对立事件.
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4. 掷 一 枚 均 匀 的 硬 币 两 次 , 事 件 一 次 反 面 朝 上 ; 事 件 确 的 是 ( )

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M: 一 次 正 面 朝 上 ,

N: 至 少 一 次 正 面 朝 上 , 则 下 列 结 果 正

1 1 A.P(M)=3,P(N)=2 1 1 B.P(M)= ,P(N)= 2 2 1 3 C.P(M)=3,P(N)=4 1 3 D.P(M)=2,P(N)=4
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答案 D
解析 Ω={(正,正),(正,反),(反,正),(反, 反)},M={(正,反),(反,正)},N={(正,正),(正, 1 3 反),(反,正)},故P(M)=2,P(N)=4.

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5. 抛 掷 一 粒 骰 子 , 观 察 掷 出 的 点 数 , 设 事 件 奇 数 点 , 事 件

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A为 出 现

1 1 B为 出 现 2点 , 已 知 P(A)= ,P(B)= , 则 出 现 2 6 ________.

奇 数 点 或 2点 的 概 率 之 和 为 2 答案 3 解 析 出 现 奇 数 点 或

2点 的 事 件 为

A∪B,

且A,B为 互 斥 事 件 ,

∴P(A∪B)=P(A)+P(B).

1 1 2 ∴P(A∪B)=2+6=3.
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6.将一骰子连续抛掷三次,它落地时向上的点数依次成 等差数列的概率为________.

1 答案 12
解析
列的有: (1)当公差d=0时,1,1,1;2,2,2;?,共6个.

基本事件有 6×6×6 = 216 个,点数依次成等差数

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( 2 ) 当 公 差 d=1时 , 1,2,3;2,3,4;3,4,5;4,5,6,共4 个.同理公差d=-1时,也有4个. (3)当公差d=2时,1,3,5;2,4,6,共2个.同理公差d= -2时,也有2个. 6+4×2+2×2 1 ∴P= =12. 6×6×6

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授人以渔

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题型一 例1

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随机事件及概率

某市地铁全线共有四个车站,甲、乙两个同时在地

铁第1号车站(首车站)乘车.假设每人自第2号车站开始,在每 个车站下车是等可能的.约定用有序数对 (x , y)表示“甲在x 号车站下车,乙在y号车站下车”.

(1)用有序数对把甲、乙两人下车的所有可能的结果列举
出来; (2)求甲、乙两人同在第3号车站下车的概率;

(3)求甲、乙两人同在第4号车站下车的概率.
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【解析】

(1)用有序数对(x,y)表示甲在x号车站下车,

乙在 y 号车站下车,则甲下车的站号记为 2,3,4 共 3种结果,乙 下车的站号也是2,3,4共3种结果.甲、乙两个下车的所有可能 结 果 有 9 种 , 分 别 为 : (2,2) , (2,3) , (2,4) , (3,2) , (3,3) , (3,4)(4,2),(4,3),(4,4).

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( 2 ) 设 甲 、 乙 两 人 同 时 在 第 1 P(A)=9. ( 3 ) 设 甲 、 乙 两 人 同 在 1 = . 9

3号 车 站 下 车 的 事 件 为

A, 则

4号 车 站 下 车 的 事 件 为

B, 则 P(B)

1 1 【答案】 (1)略 (2)9 (3)9

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探究1

解决这类问题的方法是弄清随机试验的意义和每

个事件的含义.判断一个事件是必然事件、不可能事件、随 机事件的依据是在一定的条件下,所要求的结果是否一定出

现、不可能出现或可能出现、可能不出现.随机事件发生的
概率等于事件发生所包含的结果数与该试验包含的所有结果 数的比.

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思考题1

同时掷两颗骰子一次,

(1)“点数之和是13”是什么事件?其概率是多少? (2)“点数之和在2~13范围之内”是什么事件?其概率是

多少?
(3)“点数之和是7”是什么事件?其概率是多少? 【思路】 依定义及概率公式解答.

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【 解 析 】 ( 1 ) 由 于 点 数 最 大 是

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6, 和 最 大 是

12,不可能

得13,因此此事件是不可能事件,其概率为0. (2)由于点数之和最小是2,最大是12,在2~13范围之 内,它是必然事件,其概率为1. (3)由(2)知,和是7是有可能的,此事件是随机事件,事 件“点数和为7”包含的基本事件有{1,6},{2,5},{3,4}, 6 1 {4,3},{5,2},{6,1}共6个,因此P= =6. 6×6 【答案】 (1)不可能事件,0 (2)必然事件,1

1 (3)随机事件,6
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题型二 例2

随机事件的关系

某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅,记事件A为

“只订甲报”,事件B为“至少订一种报纸”,事件C为“至 多订一种报纸”,事件D为“不订甲报”,事件E为“一种报 纸也不订”.判断下列事件是不是互斥事件;如果是,再判

断它们是不是对立事件:
(1)A与C; (2)B与E; (3)B与C; (4)C与E.

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【解析】
是互斥事件.

(1) 由于事件 C“ 至多订一种报纸 ” 中包括

“只订甲报”,即事件A与事件C有可能同时发生,故A与C不

(2) 事件 B“ 至少订一种报纸 ” 与事件 E“ 一种报纸也不
订”是不可能同时发生的,故事件B与E是互斥事件;由于事 件B发生会导致事件E一定不发生,且事件E发生会导致事件B 一定不发生,故B与E还是对立事件.

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(3) 事件 B“ 至少订一种报纸 ” 中有这些可能: “ 只订甲
报纸”“只订乙报纸”“订甲、乙两种报纸”,事件C“至多 订一种报纸 ”中有这些可能: “ 一种报纸也不订 ”“ 只订甲 报纸”“只订乙报纸”,由于这两个事件可能同时发生,故B 与C不是互斥事件.

(4)由(3)的分析,事件E“一种报纸也不订”是事件C的一
种可能,即事件C与事件E有可能同时发生,故C与E不是互斥 事件. 【答案】 互斥
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(1)不互斥

(2)互斥还对立

(3)不互斥

(4)不

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探究2

对互斥事件要把握住不同时发生,而对于对立事

件除不能同时发生外,其并事件应为必然事件,这些也可类

比集合进行理解,具体应用时,可把所有试验结果写出来,
看所求事件包含哪几个试验结果,从而断定所给事件的关 系.

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思考题2

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(1) 对飞机连续射击两次,每次发射一枚

炮弹.设A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C ={恰有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},其中彼 此互斥的事件是________,互为对立事件的是________. 【解析】 设 I 为对飞机连续射击两次所发生的所有情

况,因为A∩B=?,A∩C=?,B∩C=?,B∩D=?.
故A与B,A与C,B与C,B与D为彼此互斥事件,而B∩D =?,B∪D=I,故B与D互为对立事件. 【答案】 A与B,A与C,B与C,B与D,B与D

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(2) 在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A , B , C , D 的 概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( )

A.A+B与C是互斥事件,也是对立事件
B.A+B与D是互斥事件,也是对立事件 C.A+C与B+D是互斥事件,但不是对立事件 D.A与B+C+D是互斥事件,也是对立事件

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由于A,B,C,D彼此互斥,且A+B+C+D

是一个必然事件,故其事件间的关系可由如图所示的韦恩图 表示,由图可知,任何一个事件与其余3个事件的和事件必然 是对立事件同,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和 事件也是对立事件.

【答案】 D
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题型三 例3 下:

随机事件的频率与概率

如图所示, A 地到火车站共有两条路径 L1 和 L2 ,现

随机抽取 100位从A地到达火车站的人进行调查,调查结果如

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所用时间(分钟) 选择L1的人数

10~20 6

20~30 30~40 40~50 50~60 12 18 12 12

选择L2的人数

0

4

16

16

4

(1)试估计40分钟不能赶到火车站的概率; (2) 分别求通过路径L1 和 L2 所用时间落在上表中各时间段 内的频率, (3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火 车站,为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站,试通过 计算说明,他们应如何选择各自的路径.
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【解析】

(1)由已民知共调查了100人,其中40分钟内不

能赶到火车站有12+12+16+4=44人.

∴用频率估计相应的概率为0.44.
(2) 选择 L1 的有 60 人,选择 L2 的有 40 人,故由调查结果得 频率为 所用时间(分钟) 选择L1的频率 选择L2的频率 10~20 20~30 30~40 40~50 50~60 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2 0 0.1 0.4 0.4 0.1

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(3)A1 , A2 分别表示甲选择 L1 和 L2 时,在 40 分钟内赶到火 车站; B1 , B2 分别表示乙选择 L1 和 L2 时,在 50 分钟内赶到火车 站.由(2)和P(A1)=0.1+0.2+0.3=0.6,

P(A2)=0.1+0.4=0.5,P(A1)>P(A2),
∴甲应选择L1; P(B1)=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8, P(B2)=0.1+0.4+0.4=0.9,P(B2)>P(B1), ∴乙应选择L2.

【答案】 (1)0.44 (2)略 (3)甲应选择L1,乙应选择L2
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探究3

频率是个不确定的数,在一定程度上频率可以反

映事件发生可能性的大小,但无法从根本上刻画事件发生的 可能性大小,通过大量重复试验可以发现,随着试验次数的

增多,事件发生的频率就会稳定于某个固定的值,这个值就
是概率.

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思考题3

某种产品的质量以其质量指标值衡量,

质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102

的产品为优质品,现用两种新配方 ( 分别称为 A 配方和 B 配方)
做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量 指标值,得到下面试验结果: A配方的频数分布表 指标值分值 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) 8 20 42 22 频数 [106,110] 8

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B配方的频数分布表 指标值 分值
频数

[90,94)
4

[94,98)
12

[98,102) [102,106) [106,110]
42 32 10

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( 1 ) 分 别 估 计 用

A配 方 , B配 方 生 产 的 产 品 的 优 质 品 率 ; y(单 位 : 元 )与 其

( 2 ) 已 知 用 B配 方 生 成 的 一 件 产 品 的 利 润

质 量 指 标 值

t的 关 系 式 为

9 4 , ?-2,t< ? 1 0 2 , y= ?2,94≤t< ?4,t≥102. ? 0的 概 率 , 并 求 用

估 计 用 B配 方 B配 方 生 产 的

生 产 的 一 件 产 品 的 利 润 大 于 上 述 100件 产 品 平 均 一 件 的 利 润 .

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【 解 析 】 质 品 的 频 率 为 ( 1 ) 由 试 验 结 果 知 , 用

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A配 方 生 产 的 产 品 中 优

22+8 100 =0.3,所以用A配方生产的产品的优质

品率的估计值为0.3. 由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为 32+10 =0.42,所以用B配方生产的产品的优质品率的估计 100 值为0.42.

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(2)由条件知,用B配方生产的一种产品的利润大于0, 需其质量指标值t≥94,由试验结果知,质量指标值t≥94的 频率为0.96,所以用B配方生产的一件产品的利润大于0的概 1 率估计值为0.96.用B配方生产的产品平均一件的利润为 100 ×[4×(-2)+54×2+42×4]=2.68元.
【答案】 率约为0.42 (2)2.68元
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(1)用A配方优质品率约为0.3,用B配方优质品

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题型四 例4

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互斥与对立概念的初步应用

(1)某医院一天派出医生下乡医疗,派出医生人数及

其概率如下: 医生人数 概率 0 0.1 1 0.16 2 0.3 3 0.2 4 0.2 5人及以上 0.04

求:①派出医生至多是2人的概率; ②派出医生至少是2人的概率.

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【解析】

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记事件A:“不派出医生”,事件B:“派出1

名医生”,事件C:“派出2名医生”,事件D:“派出3名医 生”,事件E:“派出4名医生”,事件F:“派出不少于5名 医生”. ∵事件A,B,C,D,E,F彼此互斥,

且P(A)=0.1,P(B)=0.16,P(C)=0.3,
P(D)=0.2,P(E)=0.2,P(F)=0.04. ①“派出医生至多2人”的概率为 P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.1+0.16+0.3=0.56.

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②方法一:“派出医生至少2人”的概率为 P(C∪D∪E∪F) = P(C) + P(D) + P(E) + P(F) = 0.3 + 0.2 + 0.2+0.04=0.74. 方法二: “ 派出医生至少 2 人 ” 与“ 派出医生至多 1人 ”

是对立事件,
“派出医生至多1人”的概率 P=P(A)+P(B)=0.1+0.16=0.26, 所以“派出医生至少2人”的概率 P0=1-P=1-0.26=0.74.

【答案】 ①0.56 ②0.74
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(2)一盒中装有大小和质地均相同的12个小球,其中5个红 球,4个黑球,2个白球,1个绿球.从中随机取出1球,求: ①取出的小球是红球或黑球的概率; ②取出的小球是红球或黑球或白球的概率. 【解析】 方法一:①从 12 个球中任取 1 球是红球有5 种

取法,是黑球有4种取法,是红球或黑球共有5+4=9种不同
取法,而任取1球共有12种取法.

9 3 ∴任取1球是红球或黑球的概率为P1=12=4.

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②从12个球中任取1球是红球有5种取法,是黑球有4种 取法,是白球有2种取法. 5+4+2 从而任取1球是红球或黑球或白球的概率为P2= 12 11 =12. 方法二:记事件A={任取1球为红球};B={任取1球为 黑球};C={任取1球为白球};D={任取1球为绿球}, 5 1 1 1 则P(A)=12,P(B)=3,P(C)=6,P(D)=12.
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①取 出 1球 为 红 球 或 黑 球 的 概 率 为 5 1 3 P1=P(A)+P(B)=12+3=4.

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②取出1球为红球或黑球或白球的概率为 5 1 1 11 P2=P(A)+P(B)+P(C)=12+3+6=12. 1 11 或P2=1-P(D)=1- = . 12 12 3 11 【答案】 ①4 ②12

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探究4 行计算.

(1)解决此类问题,首先要结合互斥事件和对立事

件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件,再选择公式进
(2)求较复杂互斥事件的概率一般有两种方法:直接法和

间接法.
特别是在解决至多、至少的有关问题时,常考虑应用对 立事件的概率公式.

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思考题4 (1)两个实习生每人加工一个零件,加工为
2 3 一等品的概率分别为 和 ,两个零件是否加工为一等品相互 3 4 独立,则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________.

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【 解 析 】

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两 个 零 件 中 恰 有 一 个 一 等 品 这 一 事 件 分 为 2 3 ×(1 (1 2 + 12

两 类 , 一 类 是 甲 生 产 一 等 品 乙 生 产 非 一 等 品 , 概 率 为 3 2 - )= ; 一 类 是 甲 生 产 非 一 等 品 乙 生 产 一 等 品 , 概 率 为 4 12 2 3 3 - )× = , 故 两 个 零 件 中 恰 有 一 个 一 等 品 的 概 率 为 3 4 12 3 5 = . 12 12

5 【答案】 12
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第十章

算法及概率、统计

高考调研

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(2)某射手在一次射击训练中,射中10环,9环,8环,7环 的概率分别为 0.21,0.23,0.25,0.28 ,计算这个射手在一次射击

中:
①射中10环或7环的概率; ②不够7环的概率. 【解析】 ①记 “射中10 环”为事件A,“射中7 环”为 事件B,由于在一次射击中,A与 B不可能同时发生,故A与 B 是为斥事件,“射中10环或7环”的事件为A∪B.故P(A∪B)= P(A)+P(B)=0.21+0.28=0.49.∴射中10环或7环的概率为0.49.

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算法及概率、统计

高考调研

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②不够7环从正面考虑有以下几种情况:射中6环,5 环,4环,3环,2环,1环,0环.但由于这些概率都未知, 故不能直接求解,可考虑从反面入手.由于此二事件必有 一个发生,故是对立事件.设“不够7环”为事件E,则事 件 E 为“射中7环或8环或9环或10环”.由(1)知“射中7

环”“射中8环”等彼此互斥.∴P( E )=0.21+0.23+0.25+ 0.28=0.97,从而P(E)=1-0.97=0.03.∴不够7环的概率为 0.03.

【答案】 ①0.49 ②0.03
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算法及概率、统计

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1.必然事件、不可能事件、随机事件是在一定条件下发 生的,当条件变化时,事件的性质也发生变化. 2.必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情 况,因此,任何事件发生的概率都满足:0≤P(A)≤1.

3.正确区别互斥事件与对立事件的关系:对立事件是互
斥事件,是互斥中的特殊情况,但互斥事件不一定是对立事 件,“互斥”是“对立”的必要而不充分条件.

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算法及概率、统计

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4.从集合的角度看,几个事件彼此互斥,是指由各个 事件所含的结果组成集合的彼此互不相交,事件A的对立事 件 A 所含的结果组成 的 集 合 , 是 全 集 中 由 事 件 组成集合的补集. 5.求某些较复杂的概率问题时,通常有两种方法:一 是将其分解为若干个彼此互斥的事件的和,然后利用概率 加法公式求其值;二是求此事件A的对立事件 A 的概率,然 后利用P(A)=1-P( A )可得解. A所含的结果

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自助餐

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1 .已知甲: A1 , A2 是互斥事件;乙: A1 , A2 是对立事
件,那么( ) A.甲是乙的充分但不必要条件 B.甲是乙的必要但不充分条件 C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件
答案 B 解析 对立事件是一种特殊的互斥事件.

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2.将一个骰子抛掷一次,设事件A表示向上的一面出现 的点数不超过3,事件B表示向上的一面出现的点数不小于4, 事件C表示向上的一面出现奇数点,则( ) A.A与B是对立事件 B.A与B是互斥而非对立事件 C.B与C是互斥而非对立事件 D.B与C是对立事件 答案 A 解析 由题意知,事件 A 包含的基本事件为向上点数为 1,2,3,事件B包含的基本事件为向上的点数为4,5,6.事件C包含 的点数为1,3,5.A与B是对立事件,故选A.
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算法及概率、统计

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3.(2015· 西安五校)在5张电话卡中,有3张移动卡和2张 联通卡,从中任取2张,如果事件“2张全是移动卡”的概 3 7 率是 ,那么概率是 的事件是( 10 10 A.至多一张移动卡 C.都不是移动卡
答案 A 解析 不全是移动卡.

)

B.恰有一张移动卡 D.至少有一张移动卡

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4.口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球,从中 摸 出 1 个 球 , 摸 出 红 球 的 概 率 为 0.42 , 摸 出 白 球 的 概 率 是 0.28,若红球有21个,则黑球有________个.

答案 15
解析 1-0.42-0.28=0.30,21÷0.42=50,50×0.30=15.

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5 .某服务电话,打进的电话响第 1 声时被接的概率是 0.1 ;响第 2 声时被接的概率是 0.2 ;响第 3 声时被接的概率是 0.3;响第4声时被接的概率是0.35. (1)打进的电话在响5声之前被接的概率是多少? (2)打进的电话响4声而不被接的概率是多少?

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算法及概率、统计

高考调研 答案 (1)0.95 (2)0.05
解析

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(1)设事件“电话响第k声被接”为Ak(k∈N*)那么事

件 Ak 彼此互斥,设 “ 打进的电话在响 5 声之前被接 ” 为事件

A ,根据互斥事件概率加法公式,得 P(A1 + A2 + A3 + A4) =
P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A4)=0.1+0.2+0.3+0.35=0.95. (2)事件“打进电话响4声而不被接”是事件,是“打进电 话在响5声之前被接 ”的对立事件,记为A;根据对立事件的 概率公式,得P()=1-P(A)=1-0.95=0.05.

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题组层级快练

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第十章

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