黑龙江省大庆实验中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学文试题


大庆实验中学 2015—2016 学年度上学期期中考试

高二数学(文)试题
第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1、下列命题中的假命题是( ). A、 ?x0 ? R, lg x0 ? 0 B、 ?x0 ? R, tan x0 ? 0 C、 ?x ? R, x 3 ? 0 2、 “ p ? q 是假命题”是“ ? p 为真命题”的( A、充分不必要条件 C、充要条件 3、下面程序运行的结果是( ) D、 ?x ? R,2 x ? 0 ). B、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件
开始 输入 p

A=5 B=8 X=A A=B B=X+A PRINT A,B END

n ? 1,S ? 0
S?p
是 否

S = S + 3n n ? n ?1

输出 n ,S 结束

(第 3 题) A、5,8 B、8,5 C、 8,13

(第 6 题) D、5,13

4、一个均匀的正方体的玩具的各个面上分别标以数 1,2,3,4,5,6.将这个玩具向上抛掷 1 次。设事件 A 表示向上的一面出现奇数点,事件 B 表示向上的一面出现的点数不超过 3, 事件 C 表示向上的一面出现的点数不小于 4,则( A、A 与 B 是互斥而非对立事件 C、B 与 C 是互斥而非对立事件 ).

B、A 与 B 是对立事件 D、B 与 C 是对立事件

5、若在边长为 4 的等边三角形 OAB 的边 OB 上任取一点 P ,则使得 OA ? OP ? 6 的概率为 ( ). A、

??? ? ??? ?

3 4

B、错误!未找到引用源。

C、

1 3

D、错误!

未找到引用源。 6、某程序的框图如图所示, 执行该程序,若输入的 p 为 24 ,则输出的 n , S 的值分别为( A、 n ? 4, S ? 30 C、 n ? 4, S ? 45 B、 n ? 5, S ? 30 D、 n ? 5, S ? 45 ).

7、已知 x,y 取值如下表: x y 0 1 1 2 4 5 5 6 6 7 8 10.5 ).

^ 从所得的散点图分析可知:y 与 x 线性相关,且y=0.95x+a,则 a=( A、1.30 B、1.45
2

C、1.65
2

D、1.80

8、若 P 是以 F 1 ,F 2 为焦点的椭圆

???? ? ???? ? x y ? ? 1( a ? b ? 0) 上 的 一 点 , 且 PF ? PF 1 2 ?0, a 2 b2
). 1 C、 3 1 D、 2 ).
1 1 2 A 2 3 4 B

tan ?PF1 F2 ?
A、 5 3

1 ,则此椭圆的离心率为( 2
B、 2 3

9、圆 x2+y2-ax+2=0 与直线 l 相切于点 A(3,1),则直线 l 的方程为 ( A、 2 x ? y ? 5 ? 0 B、 x ? 2 y ? 1 ? 0

C、 x ? y ? 2 ? 0 D、 x ? y ? 4 ? 0 10、如图,在 A,B 两点间有 6 条网线并联,它们能通过的最大信息量分别为 1,1,2,2,3,4,现从中任取三条且使每条网线通过最大信息量,则选取的三条网线 由 A 到 B 可通过的信息总量为 6 时的概率是( ). A、

1 4

B、

1 3

C、

1 2

D、

2 3


2 11、若直线 y ? x ? b 与曲线 x ? 1 ? y 有且仅有一个公共点,则 b 的取值范围是(

A、 b ? 2

B、 ?1 ? b ? 1或b ? ? 2 )

C、 ?1 ? b ? 2 D、以上都错 12、在半径为 1 的圆周上随机选取三点,它们构成一个锐角三角形的概率是( A、

1 2

B、

1 3

C、

1 4

D、

1 5

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二.填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在题中横线上. 13、已知中心在原点的椭圆 C 的一个焦点为 F (0,1) ,离心率为

1 ,则椭圆 C 的标准方程为 2

14 、 若 命 题 “ ?a ? [2,4], 使 ax ? (a ? 3) x ? 3 ? 0 ” 是 真 命 题 , 则 实 数 x 的 取 值 范 围
2

是 . 15、设 m, n ? R ,若直线 l : mx ? ny ? 1 ? 0 与 x 轴相交于点 A,与 y 轴相交于点 B,且 l 与圆

x2 ? y 2 ? 4 相交所得弦的长为 2,O 为坐标原点,则 ?AOB 面积的最小值为________.
16、曲线 C 是平面内到定点 F (0,2) 和定直线: y ? ?2 的距离之和等于 6 的点的轨迹,给出下 列四个结论:①曲线 C 过坐标原点; ②曲线 C 关于 y 轴对称; ③若点 P ( x, y ) 在曲线 C,则

y ? 2;
④若点 P ( x, y ) 在曲线 C,则 PF 的最大值是 6. 其中,所有正确结论的序号是 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、(本小题满分 10 分) 已知 p : x ? .

3 7 ? , q : x2 ? 4x ? 4 ? m2 ? 0(m ? 0) ,若 ? p 是 ? q 2 2

的充分不必要条件,求实数 m 的取值范围。

18、(本小题满分 12 分) 已知某单位有 50 名职工,现要从中抽取 10 名职工,将全体职工随机 按 1~50 编号,并按编号顺序 平均分成 10 组,按各组内抽取的编号依次增加 5 进行系统抽 样. (1)若第 5 组抽出的号码为 22,写出所有被抽出职工的号码; (2)分别统计这 10 名职工的体重(单位:公斤),获得体重数据的茎叶图如图所示,从这 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤(≥73 公斤)的职工, 求体重为 76 公斤的职工被抽取 到的概率.

19、(本小题满分 12 分) 已知命题 p:幂函数 y=x1

-a

在(0,+∞)上是减函数;命题 q:?x∈

2 R,ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立. 如果 p ? q 为假命题, p ? q 为真命题, 求实数 a 的取值范围.

20、(本小题满分 12 分) 小波以游戏方式决定是去打球、唱歌还是去下棋.游戏规则为:以 O 为 起点,再从 A1,A2,A3,A4,A5,A6(如图)这 6 个点中任取两点分别为终点得到两个向量,记这两个 向量的数量积为 X,若 X>0 就去打球,若 X=0 就去唱歌,若 X<0 就去下棋.

(1)写出数量积 X 的所有可能取值; (2)分别求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率.

21、(本小题满分 12 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C: 率为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的离心 a 2 b2

3 ,以原点为圆心,椭圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x-y+2=0 相切. 2

(1)求椭圆 C 的方程; (2)已知点 P(0,1) , Q (0, 2) .设 M , N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点,直线 PM 与

QN 相交于点 T .求证:点 T 在椭圆 C 上.

22、(本小题满分 12 分) 已知 A(0,2) B(1, 3) , B 为点 B 关于 y 轴的对称点 (1)求 ?ABB 的外接圆方程
/

/

(2)过点 P(1, 2) 作 ?ABB 的外接圆的两条互相垂直的弦 AC,BD,求 AC ? BD 的最大值
/

大庆实验中学 2015—2016 学年度上学期期中考试

高二数学(文)参考答案
CA CDD
13.

BBADA BC
3 14. (??, ?1) ? ( , ??) 4

y 2 x2 ? ?1 4 3

15. 3

16. ②④

17. 若 p 为真,?| x ?

3 7 7 3 7 |? ? ? ? x ? ? ? ?2 ? x ? 5 ????????(3 分) 2 2 2 2 2

若 q 为真,则 [ x ? (2 ? m)][x ? (2 ? m)] ? 0

? m ? 0,? 2 ? m ? 2 ? m ????????????????????????(6 分)

? ?p 是 ?q 的充分不必要条件,??p ? ?q,? q ? p ????(8 分)

?2 ? m ? ?2 ? m ? ?3 ????????????????????????(10 分) ?? ?2 ? m ? 5
18. 解 (1)由题意,第 5 组抽出的号码为 22.

因为 k+5×(5-1)=22,所以第 1 组抽出的号码应该为 2,抽出的 10 名职工的号 码分别为 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)从 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工, 共有 10 种不同的取法: (73,76),(73,78),(73,79),(73,81),(76,78),(76,79),(76,81),(78,79),(78,81), (79,81). 记“体重为 76 公斤的职工被抽取”为事件 A,它包括的事件有(73,76),(76,78), (76,79),(76,81)共 4 个. 4 2 故所求概率为 P(A)=10=5.
19. 解

若命题 p 真,1-a<0?a>1,那么 p 假时,a≤1;

?a>0, 若命题 q 真,则? 2 或 a=0?0≤a<4, ?a -4a<0 那么 q 假时,a<0 或 a≥4. ∵p∧q 假,p∨q 真,∴命题 p 与 q 一真一假. ?a>1, 当命题 p 真 q 假时,? ?a≥4. ?a<0或a≥4 ?a≤1, 当命题 p 假 q 真时,? ?0≤a≤1. ?0≤a<4 ∴所求 a 的取值范围是[0,1]∪[4,+∞).
20. 解:(1)X 的所有可能取值为-2,-1,0,1. (2)数量积为 ? 2 的有 OA2 ? OA5 ,共 1 种; 数量积为 ? 1 的有 OA , OA2 ? OA6 , OA3 ? OA5 , OA3 ? OA4 ,共 6 1 ? OA 5 , OA 1 ? OA 6 , OA 2 ? OA 4 种; 数量积为 0 的有 OA 1 ? OA 3 , OA 1 ? OA 4 , OA 3 ? OA 6 , OA 4 ? OA 6 错误!未找到引用源。,共 4 种; 数量积为 1 的有 OA 1 ? OA 2 , OA 2 ? OA 3 , OA 4 ? OA 5 , OA 5 ? OA 6 错误!未找到引用源。,共 4 种. 故所有可能的情况共有 15 种.所以小波去下棋的概率为 P 1 ?

7 ; 15

因为去唱歌的概率为 P2 ? 21. (1)解

4 11 ,所以小波不去唱歌的概率 P ? 1 ? P2 ? 15 15 2 由题意知,b= = 2. 2

c 3 b 因为离心率 e=a= 2 ,所以a= 所以 a=2 2. x2 y2 所以椭圆 C 的方程为 8 + 2 =1.

? c? 1 1-?a?2=2. ? ?

(2)证明 由题意可设 M,N 的坐标分别为(x0,y0),(-x0,y0), y0-1 则直线 PM 的方程为 y= x x+1,① 0 直线 QN 的方程为 y= 法一 y0-2 x+2.② -x0 3y0-4 x0 ,y= , 2y0-3 2y0-3

联立①②解得 x=

2 3y0-4? x2 ? x0 0 y0 2 , ? ? 即T .由 8 + 2 =1,可得 x2 0=8-4y0. 2 y - 3 2 y - 3 ? 0 0 ? 2 2 1? x0 ?2 1?3y0-4?2 x0+4?3y0-4? ? ? ? ? 因为 2y -3 + = 8? 0 8?2y0-3?2 ? 2?2y0-3? 2 2 8-4y2 32y2 0+4?3y0-4? 0-96y0+72 8?2y0-3? = = = =1, 8?2y0-3?2 8?2y0-3?2 8?2y0-3?2

所以点 T 的坐标满足椭圆 C 的方程,即点 T 在椭圆 C 上. 法二 设 T(x,y),联立①②解得 x0= 3y-4 x ,y0= . 2y-3 2y-3

2 x2 1? x ? 1?3y-4?2 0 y0 ? =1. 因为 8 + 2 =1,所以8?2y-3?2+2? ? ? ?2y-3?

x2 ?3y-4? 整理得 8 + 2 =(2y-3)2, x2 9y2 x2 y2 所以 8 + 2 -12y+8=4y2-12y+9,即 8 + 2 =1.
22. 解(1) B / (?1, 3) 设圆的一般方程为 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0
2 2

2

将点的坐标代入可得 D ? E ? 0, F ? ?4

所以 ?ABB 的外接圆方程 x2 ? y 2 ? 4
/

(2)设 O 到直线 AC,BD 的距离分别为 m,n (m ? 0, n ? 0) ,则 m ? n ? 3
2 2

则 AC ? 2 4 ? m , BD ? 2 4 ? n
2 2

2

所以 AC ? BD ? 2 4 ? m ? 2 4 ? n 所以 AC ? BD
2 2

2

?

?

2

? 2 4 ? m2 ? 2 4 ? n 2

?

? ? 4(5 ?
2

4 ? m2 n 2 )

因为 m ? n ? 3 ? 2mn

9 3 2 2 ,当且仅当 m ? n ? 取等号 4 2 5 2 2 所以 4 ? m n ? 2
所以 m n ?
2 2

? AC ? BD ?

2

5 ? 4(5 ? 4 ? m 2 n 2 ) ? 4 ? (5 ? 2 ? ) ? 40 2

AC ? BD ? 2 10
AC ? BD 的最大值为 2 10


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