二次函数的零点的分布


第11讲

二次方程根的分布

考纲要求
能利用二次函数的图象来研究一元二次方程的实根 分布条件.

1.判别式与零比较; 2.对称轴的位置;

3.区间端点函数值的正负。

知识梳理
1.设 x1 , x 2 是方程 ax ? bx ? c ? 0 的两根
2

? ?? ? 0 ? b ? ⑴两正根 ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 . a ? c ? x1 ? x2 ? ? 0 ? a ?

? ?? ? 0 ? b ? ⑵两负根 ? ? x1 ? x2 ? ? ? 0 . a ? c ? x1 ? x2 ? ? 0 ? a ?
⑶一正一负 ? ac ? 0 .

2.设 x1 , x 2 是方程 f ( x) ? ax2 ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两个实根,则 根的分布

k ? x1 ? x2
y

x1 ? x2 ? k
y
x2

图象

k x1 O

x

OO O

O O

x1 O

x2 k

x
O

O O OO

充要条件

?? ? 0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f (k ) ? 0

?? ? 0 ? b ? ?k ?? ? 2a ? ? f (k ) ? 0

根的分布

x1 ? k ? x2
y
k

x1 , x2 ? (k1 , k2 )
y

图象

x1

O

O

O

O

O x O

x2

k1x1 O

x2 k2 x

OO O

O OO

充要条件

f (k ) ? 0

?? ? 0 ? b ? ?k1 ? ? ? k2 2a ? ? f (k1 ) ? 0 ? ? ? f (k2 ) ? 0

根的 分布

k1 ? x1 ? k2 ? x2 ? k3
y

在 (k1 , k2 ) 有且只有 一个根

y
k2

图象

k1x1 O

OO O

O

x2 k3 x

k1 O

k2

x
O

O OO

O O

O

充要 条件

? f ( k1 ) ? 0 ? ? f (k2 ) ? 0 ? f (k ) ? 0 3 ?

f (k1 ) ? f (k2 ) ? 0
?? ? 0 ? 或? b k1 ? ? ? k2 ? 2a ?

典例剖析
例1.已 知 方 程 x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 ? 0 (1)若 方 程 的 两 个 不 同 根 在 均区 间 (0,1)内 , 求 m的 范 围

(2)若方程的两个不同根都大于0,求m的取值范围

(3)若方程有两个根,其中 一根在区间 (?1,0) 内, 另一根在区间 (1,2)内,求 m的取值范围
(4)若方程有两根,其中一个比1大,一个比1 小,求m的取值范围

变式:
例1.已 知 函 数 f ( x ) ? x 2 ? 2mx ? 2m ? 1 (1)若 函 数 的 两 个 不 同 零 均 点在区 间(0,1)内 , 求 m的 范 围

(2)若函数的两个不同零点都大于0,求m的 取值范围 (3)若函数有两个零点,其 中一零点在区间 (?1,0)

内, 另一零点在区间 (1,2)内,求 m的取值范围
(4)若函数的两个零点中一个比1大,一个比1 小,求m的取值范围

例2.已知函数f(x)=mx2+(m-3)x+1在原点右侧至
少有一个零点,求实数m的取值范围.
【解析】注意到 x=0 时,f(x)=1, ∴f(x)的图象恒过定点(0,1). 当 m=0 时,f(x)=-3x+1 在原点右侧有一零 点, 当 m<0 时,f(x)的图象开口向下,在原点右侧有 一个零点, 当 m>0 时,f(x)的图象开口向上,如图所示.

Δ=(m-3)2-4m≥0, ? ? ∴?3-m ? ? 2m >0. 解得 0<m≤1. 综上所述,知所求 m 的取值范围是{m|m≤1}.

当堂训练

1.如 果 方 程 x ? 2ax ? a ? 1 ? 0的 两 个 根 中 , 一个比 2大 , 另 一 个 比 2小 , 则 实 数 a的 取值范围是 2.方 程x ? 2ax ? 4 ? 0的 两 根 均 小 于 1, 求实数 a的 范 围
2

2

思考:函数f(x)=x2-(m-1)x+2m 在(0,1) [0,1]上有且只有一个零点, 求m的取值范围

作业
1.若 关 于 x的 方 程 x 2 ? 2(a ? 1) x ? 2a ? 6 ? 0有 两 个都大于 1的 实 数 根 , 求 实 数 a的 取 值 范 围 2.函 数f ( x ) ? x ? ax ? 12有 两 个 零 点 m、n, 其 中m ? 1且n ? 1, 求a的 取 值 范 围
2


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