高考数学一轮复习经典课件——不等关系和不等式


不等关系与不等式

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?1.了解现实世界和日常生活中的不等关系.
?2.了解不等式(组)的实际背景.

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请注意!
以考查不等式的性质为重点,同时考查不等关系,常与函数、数列、

几何、实际问题等相结合进行综合命题.

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课前自助餐
课本导读
1.两个实数的大小比较

①a>b?a-b>0
②a=b?a-b=0 ③a<b?a-b<0

2.不等式的性质
①对称性:a>b?b<a ②传递性:a>b,b>c?a>c

③可加性:a>b?a+c__>__b+c;

a>b,c>d?a+c>b+d

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④可乘性:a>b,c>0?ac__>__bc; a>b,c<0?ac__<__bc; a>b>0,c>d>0?ac__>__bd ⑤可方性:a>b>0,n∈N+?a __>__b n n a>b>0,n∈N+? a__>__ b 1 1 ⑥倒数性质:a>b,ab>0? __<__ a b 1 1 < ,ab>0?a__>__b. a b
n n

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教材回归

答案 1 1 ③ a 2 2 3 3 2 2 1.命题① < ,②a >b ,③a >b ,④ac >bc ,⑤ >1中是命题“a>b”的充 a b b
要条件的命题有________.

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2.已知a<b<0,c>0,在下列空白处填上 恰当的不等号:



①若ad>bd,则d________0; < ②(a-2)c________(b-2)c;

> ③ |a|________ |b|;
c c > ④ ________ . a b

3.(1)(09·浙江) ________条件
? a>1 ? (2)? ? b>1 ?

? a>0 ? ? ? b>0 ?



? a+b>0 ? ? ? ab>0 ?

成立的

充要

? a+b>2 ? ? 是 ? ab>1 ?

成立的

充分非必要 ________条件. 4.如果a,b,c满足c<b<a,且ac<0,那么下列选项中不一定成立的是 ( ) A.ab>ac C.cb2<ab2 答案 C B.c(b-a)>0 D.ac(a-c)<0

解析

由条件知a>0,c<0.从而a>c但b2=0时C不成立.故选C.

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5. (2010· 浙江,理)设0<x<

π ,则 2 )

“xsin2 x<1”是 “xsin x<1”的 ( A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

解析 当0<x< 答案 B

π 时,0<sin x<1, 2

故xsin x<1? xsin xsin x<sin x<1? xsin2 x<1,但xsin2x<1? xsin x< 1 1 ,而 >1,故不能保证 sin x sin x

xsin x<1,故选B.

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授人以渔
题型二
例1

不等式的性质

1 1 (1)a、b为实数,则 < 成立的一个充分而不必 a b ) B.a<b D.a>b

要的条件是( A.b<a<0 C.b(a-b)>0

【答案】
【讲评】

A
1 1 本题的目的在于讲清由a>b? < 成立的 a b 1 1 < ; a b

条件是ab>0,即a、b同号时,若a>b,则 1 1 a、b异号时,若a>b,则 > a b

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3 2 (2)(2010·广东卷,文)“x>0”是“ x >0”成立的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 D.充要条件

)

C.非充分非必要条件 【解析】

3 2 3 2 2 当x>0时, x >0成立;但当 x >0时,得x >0,则

x>0或x<0,此时不能得到x>0.

【答案】
探究1 前提.

A

(1)准确记忆各性质成立的条件,是正确应用性质的

(2)在不等关系的判断中,特殊值法也是非常有效的方法.

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思考题1 ( )

(1)设a<b<0,则下列不等式中不成立的是

1 1 A. > a b C.|a|>-b

1 1 B. > a-b a D. -a> -b

【答案】

B

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(2)设a>b,则下列不等式恒成立的为( A.(a+c) >(b+c)
4 4

)
2

B.ac >bc

2

C.lg|b+c|<lg|a+c| 【解析】

1 1 D.(a+c) >(b+c) 3 3

应用不等式的性质可以判断每个不等式成立

与否,但要注意每个选项上来看都是对的,因此需要我 们利用性质认真判别.

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当a>b,a+c与b+c为负数时,由0>a+c>b+c, 得 0<-(a+c)<-(b+c). 所以0<[-(a+c)] <[-(b+c)] ,即(a+c) <(b+c) . ∴A不成立; 当c=0时,ac =bc ,∴B不成立; 当a>b,得a+c>b+c,但若a+c、b+c均为负数时, |a+c|<|b+c|,即lg|a+c|<lg|b+c|. 故C不恒成立.故选D.
2 2 4 4 4 4

【答案】

D

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题型二

比较大小

例2

(1)设x<y<0,试比较(x +y )(x-y)与(x -y )·(x+y)的大小. ∵(x +y )(x-y)-(x -y )(x+y)
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

【解析】

=(x-y)[x +y -(x+y) ] =(x-y)(-2xy)>0 ∴(x +y )(x-y)>(x -y )(x+y)
2 2 2 2

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探究 2

(1)作差比较法有两种情形: ①将差式进行因

式分解转化为几个因式相乘, ②将差式通过配方转化为 几个非负实数之和,然后判断正负. (2)作商比较法通常适用于两代数式同号的情形. 思考题 2 是( ) b b+1 B. > a a+1 2a+b a D. > a+2b b (1)若 a>b>0,则下列不等式中一定成立的

1 1 A.a+ >b+ b a 1 1 C.a- >b- b a

【答案】

A

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(2)求证:①a +b +c ≥ab+bc+ac; ②(ac+bd) ≤(a +b )(c +d ). 【证明】 ①a +b +c -(ab+bc+ac)
2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

1 2 2 2 = [(a-b) +(b-c) +(a-c) ] ≥0 2 ∴a +b +c ≥ab+bc+ac
2 2 2

②(a2+b2)(c2+d2)-(ac+bd)2 =a2c2+a2d2+b2c2+b2d2-a2c2-2acbd-b2d2 =(ad-bc)2≥0 ∴(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2) 题型三 例3 综合应用

(2010·辽宁理14)已知-1< x + y <4且2< x - y <3,则 z =2x -3y

的取值范围是________.(答案用区间表示)
【解析】 解法一 设2x-3y=λ (x+y)+μ (x-y)

=(λ +μ )x+(λ -μ )y 对应系数相等
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?λ+μ=2 则? ?λ-μ=-3

?λ=-1 ? 2 ?? 5 μ= ? 2 ?

1 5 ∴2x-3y=- (x+y)+ (x-y)∈(3,8) 2 2 解法二

?a=x+y 令? ?b=x-y

?x=a+b ? 2 ∴? a-b y= ? 2 ?

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?a+b ? ?a-b? a 5 ? ? ? ∴2x-3y=2? -3? =- + b∈(3,8) ? ? ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ?

解法三

?-1<x+y<4 由? ?2<x-y<3

确定的平面区域如图阴影部分

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2 z 目标数 z=2x-3y 可化为 y= x- 3 3 由线性规化知识可求出. 探究 3 由 a<f1(x,y)<b,c<f2(x,y)<d,求 g(x,y)的取值范围,可利用待

定系数法解决, 即设 g(x,y)=λf1(x,y)+μf2(x,y),求得λ, μ, 再利 用不等式的性质求出 g(x,y)的范围.

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思考题 3

已知-1<a+b<3 且 2<a-b<4,求 2a+3b

的取值范围. 【解析】 设 2a+3b=m(a+b)+n(a-b), 5 1 ∴m= ,n=- . 2 2

?m+n=2, ∴? ?m-n=3.

5 1 ∴2a+3b= (a+b)- (a-b). 2 2

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∵-1<a+b<3,2<a-b<4, 5 5 15 1 ∴- < (a+b)< ,-2<- (a-b)<-1. 2 2 2 2 9 5 1 13 ∴- < (a+b)- (a-b)< , 2 2 2 2 9 13 即- <2a+3b< . 2 2

本课总结

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?

1.洞察不等式的各个性质的结构特征,是寻找解题线索,启发解题思维
的重要依据.

?

2.比较两数大小,一般运用作差法,具体步骤是:作差——变形——判

断(与0比较).
? 3.判断不等式是否成立,一般可利用不等式性质、函数的单调性等进行 推理,也可利用特殊值法对命题进行否定.

?

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