河北省2011年高考数学一轮复习 2.6指数函数 精品导学案


2011 年高三数学一轮精品复习学案:函数、导数及其应用 第六节 【高考目标定位】
一、函数与方程 1、考纲点击 (1)结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的 存在性及根的个数。 (2)根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解。 2、热点提示 (1)函数与方程的零点、二分法是新课标的新增内容,在近年的高考中一定有所体现。 (2)本节内容多以选择题、填空题的形式出现,属中低档题,不排除与其他知识,在 知识交汇处命题。 二、函数模型及其应用 1、考纲点击 (1)了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征,知道直线上升、指数增长、对 数增长等不同函数类型增长的含义。 (2)了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍 使用的函数模型)的广泛应用。 2、热点提示 (1)考查数学建模能力以及分析问题、解决问题的能力;几种增长型函数模型的应用 可能会成为明年高考的又一生长点。 (2)多以解答题的形式出现,属中、高档题,偶尔也会在选择题、填空题中考查。

函数应用

【考纲知识梳理】
一、函数与方程 1、函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数 y ? f ( x) ? x ? D? ,把使 f ( x) ? 0 成立的实数 x 叫做函数 y ? f ( x) ? x ? D? 的 零点。
用心 爱心 专心 -1-

(2)几个等价关系 方 程 f ( x ) ? 0有 实 数 根 ? 函 数 y ? f ( x) ? x ? D? 的 图 象 与

x 轴有交点 ? 函数

y ? f ( x) ? x ? D? 有零点
注: ①函数的零点不是函数 y ? f ( x) ? x ? D? 与 x 轴的交点, 而是 y ? f ( x) ? x ? D? 与 x 轴的交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数。 ②并非任意函数都有零点,只有 f ( x) ? 0 有根的函数 y ? f ( x) ? x ? D? 才有零点。 (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 如果函 数 y ? f ( x) ? x ? D? 在区间 [a,b] 上的图象 是连续不断的一条曲线 ,并且有 ,使 f (a)?f (b) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) ? x ? D? 在区间(a,b)内有零点,即存在 c∈(a,b) 得 f(c)=0,这个 c 也就是 f ( x) ? 0 的根 注:在上面的条件下, (a,b)内的零点至少有一个 c,还可能有其他根,个数不确定。 2、二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的图象与零点的关系 △>0 二
2

△=0

△<0







y=ax +bx+c(a ≠ 0) 的 图象

与 x 轴的交点 零点个数

? x1 ,0?? x2 ,0?
两个零点

? x1 ,0?
一个零点

无交点 无零点

3、二分法 (1)二分法的定义 对于在区间 [a,b] 上连续不断且 f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f ( x) ,通过不断地把函数

f ( x) 的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的
方法叫做二分法。 (2)用二分法求函数 f ( x ) 零点近似值的步骤
用心 爱心 专心 -2-

第一步,确定区间[a,b],验证 f (a) ? f (b) ? 0 ,给定精确度 ? ; 第二步,求区间(a,b)的中点 x1 ; 第三步,计算 f ( x1 ) : ①若 f ( x1 ) =0,则 x1 就是函数的零点; ②若 f (a) ? f ( x1 ) ? 0 ,则令 b ? x1 (此时零点 x0 ? (a, x1 ) ) ; ③若 f ( x1 )?f (b) ? 0 ,则令 a ? x1 (此时零点 x0 ? ( x1 , b) ) ; 第四步,判断是否达到精确度 ? :即若 a ? b ? ? ,则得到零点近似值 a (或 b ) ;否则 重复第二、三、四步。 二、函数模型及其应用 1、几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 一次函数模型 二次函数模型 指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 函数解析式

f ( x) ? ax ? b(a, b为常数, a ? 0)
f ( x) ? ax2 ? bx ? c(a, b, c为常数, a ? 0) f ( x) ? ba x ? c(a, b, c为常数,a ? 0且a ? 1) f ( x) ? b loga x ? c(a, b, c, 为常数a ? 0且a ? 1) f ( x) ? axn ? b(a, b为常数,a ? 0)

(2)三种增长型函数之间增长速度的比较 ①指数函数 y ? a x (a ? 1) 与幂函数 y ? xn (n ? 0) 在区间 ? 0, ??? 上,无论 n 比 a 大多少,尽管在 x 的一定范围内 a 会小于 x ,但由于 a
x n x

的增长快于 x 的增长,因而总存在一个 x0 ,当 x ? x0 时,有 a > x 。
n x n

②对数函数 y ? loga x(a ? 1) 与幂函数 y ? x ( n ? 0 )
n

对数函数 y ? loga x(a ? 1) 的增长速度,不论 a 与 n 值的大小如何总会慢于 y ? x 的增
n

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长速度,因而在定义域内总存在一个实数 x0 ,使 x ? x0 时有 log a x ? xn 。 由①②可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数,但它们的增长速度不同,且不在同 一个档次上,因此在 ? 0, ??? 上,总会存在一个 x0 ,使 x ? x0 时有 a x ? xn ? loga x 2、解函数应用问题的步骤(四步八字) (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系,初步选择数学模型; (2)建模:将自然语言转化为数学语言,将文字语言转化为符号语言,利用数学知识, 建立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得出数学结论; (4)还原:将数学问题还原为实际问题的意义。 以上过程用图表示如下:

【热点、难点精析】
(一)函数与方程 1、零点的判定 ○相关链接○ (1)解方程:当能直接求解零点时,就直接求出进行判断。 (2)用定理:零点存在性定理。 注:如果函数 y ? f ( x) 在[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且 x0 是函数在这个区间上 的一个零点,但 f (a) ? f (b) ? 0 不一定成立。 (3)利用图象的交点:有些题目可先画出某两个函数 y ? f ( x) , y ? g ( x) 图象,其交 点的横坐标是 f ( x) ? g ( x) 的零点。 ○例题解析○ 〖例〗判断下列函数在给定区间是否存在零点。

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?1? f ?x? ? x 2 ? 3x ? 18, x ? ?1,8?; ?2? f ?x? ? log2 ?x ? 2? ? x, x ? ?1,3?,
分析:第(1)问利用零点的存在性定理或直接求出零点,第(2)问利用零点的存在性 定理或利用两图象的交点来求解。 解答: (1)方法一:
f ?1? ? 12 ? 3?1 ?18 ? ?20 ? 0, f ?8? ? 82 ? 3? 8 ?18 ? 22 ? 0, ? f ?1? ? f ?8? ? 0

故 f ? x ? ? x ? 3x ?18, x ?[1,8] 存在零点。
2

方法二: 令 f ? x ? ? 0 得 x2 ? 3x ? 18 ? 0, x ? [1,8]

? ? x ? 6?? x ? 3? ? 0, ? x ? 6 ??1,8?, x ? ?3 ? ?1,8?,
故 f ? x ? ? x ? 3x ?18, x ?[1,8] 存在零点。
2

(2)方法一:

? f ?1? ? log2 3 ? 1 ? log2 2 ? 1 ? 0, f ?3? ? log2 5 ? 3 ? log2 8 ? 3 ? 0,

?

f ?1? ? f ?3? ? 0,

故 f ? x ? ? log2 ? x ? 2? ? x, x ? ?1,3? 存在零点 方法二:设 y ? log2 ? x ? 2? , y ? x, 在同一直角坐标系中画出它们的图象,从图象中可 以看出当 1 ? x ? 3 时,两图象有一个交点,因此 f ? x ? ? log2 ? x ? 2? ? x, x ? ?1,3? 存在零点。

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2、函数零点个数的判定 ○相关链接○ 函数零点个数的判定有下列几种方法: (1) 直接求零点:令 f(x)=0,如果能求出解,则有几个解就有几个零点; (2) 零 点 存 在 性 定理 : 利 用该 定 理 不 仅 要求 函 数 在 [a,b] 上 是 连续 的 曲 线,且 f(a)·f(b)<0。还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少 个零点。 (3) 画两个函数图象,看其交点的个数有几个,其中交点的横坐标有几个不同的值, 就有几个不同的零点。 ○例题解析○
2 判断函数 f ( x) ? 4 x ? x ?

2 3 x 在区间 ??1,1? 上零点的个数,并说明理由。 3

分析:求 f (1), f (?1) 的值 ?判断函数在 ??1,1? 上的单调性 ?函数零点个数。 解答:

? f (?1) ? ?4 ? 1 ?

2 7 2 13 ? ? ? 0, f (1) ? 4 ? 1 ? ? ? 0 3 3 3 3 ? f ( x)在 ? ?1,1? 上有零点。 9 1 ? 2( x ? ) 2 , 2 2 9 当 ? 1 ? x ? 1时,0 ? f ?( x) ? , 2 ? f ( x)在 ? ?1,1? 上是单调递增函数, 又f ?( x) ? 4 ? 2 x ? 2 x 2 ? ? f ( x)在 ? ?1,1? 上有只有一个零点。
3、与二次函数有关的零点分布问题 ○相关链接○ 设 x1 , x2 是实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 的两实根,下面为几类常见二次
2

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函数零点分布情况需满足于的条件: 根的分布( m?n? p 且 图象 满足的条件

m, n, p 均为常数)

x1 ? x2 ? m

?? ? 0 ? b ? ?m ?? ? 2a ? ? f ( m) ? 0

m ? x1 ? x2

?? ? 0 ? b ? ?m ?? 2 a ? ? ? f ( m) ? 0

x1 ? m ? x2

f (m) ? 0

x1 , x2 ? (m, n)

?? ? 0 ? b ? ?n ?m ? ? 2a ? ? f ( m) ? 0 ? ? ? f ( n) ? 0
? f (m) ? 0 ? ? f (n) ? 0 ? f ( p) ? 0 ?

m ? x1 ? n ? x2

只有一根在 ? m, n ? 之间

?? ? 0 ? 或 b ? m?? ?n ? 2a ?
f (m)?f (n) ? 0

○例题解析○ 〖例〗 (1)m 为何值时,f(x)=x +2mx+3m+4①有且仅有一个零点;②有两个零点且均比 -1 大; (2)若函数 f(x)=|4x-x |+a 有 4 个零点,求褛 a 取值范围。 分析: (1)二次函数结合图象求解,也可用方程思想求解; (2)利用函数图象求解。
用心 爱心 专心
2 2

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解答: (1)①若函数 f(x)=x +2mx+3m+4 有且仅有一个零点,则等价于Δ =4m -4(3m+4)=0, 即 4m -12m-16=0,即 m -3m-4=0,解得 m=4 或 m=-1 ②方法一:方程思想 若 f(x)有两个零点且均比-1 大,设两零点分别为 x1,x2,则 x1+ x2=-2m, x1·x2=3m+4,
2 2

2

2

?? ? 4m2 ? 4 ? 3m ? 4 ? ? 0 ?m2 ? 3m ? 4 ? 0 ?m ? 4或m ? ?1 ? ? ? 故只需 ?( x1 ? 1) ? ? x2 ? 1? ? 0 , ? ?m ? 1 ? ??2m ? 2 ? 0 ?3m ? 4 ? ?2m ? 1 ? 0 ? ? ? ? ?m ? ?5 ? ?( x1 ? 1) ? x2 ? 1? ? 0
故 m 的取值范围是 ?m | ?5 ? m ? ?1? 方法二:函数思想 若 f(x) 有 两 个 零 点 且 均 比 -1 大 , 结 合 二 次 函 数 图 象 可 知 只 需 满 足

?? ? 4m 2 ? 4 ? 3m ? 4 ? ? 0 ?m2 ? 3m ? 4 ? 0 ?m ? 4或m ? ?1 ? ? ? ? 2m ,故 ?5 ? m ? ?1 ? ? m<1 ? ?1 ? ?m ? 1 ?? 2 ?1 ? 2m ? 3m ? 4 ? 0 ? ? ? m>-5 ? ? f (?1) ? 0 ?
∴m 的取值范围是 ?m | ?5 ? m ? ?1? 。 (2)若 f(x)=|4x-x |+a 有 4 个零点,即 4x-x |+a=0 有四个根,即|4x-x |=-a 有四个根, 令 g(x)= |4x-x |,h(x)=-a.则作出 g(x)的图象,
2 2 2 2

由图象可知要使|4x-x |=-a 有四个根,则 g(x)与 h(x)的图象应有 4 个交点。 故需满足 0<-a<4,即-4<a<0.∴a 的取值范围是(-4,0) 。 (二)函数模型及其应用 1、一次函数与二次函数模型 ○相关链接○ (1)在实际问题中,有很多问题的两变量之间的关系是一次函数模型,其增长特点是 直线上升(自变量的系数大于 0)或直线下降(自变量的系数小于 0) ; (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系,如面积问题、利润问题、产量问题等。

2

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一般利用函数图象的开口方向和对称轴与单调性解决,但一定要注意函数的定义域,否则极 易出错。 ○例题解析○ 〖例〗某飞机制造公司一年中最多可生产某种型号的飞机 100 架。已知制造 x 架该种飞 机的产值函数为 R(x)=3000x-20x (单位:万元) ,成本函数 C(x)=500x+4000 (单位:万元) 。利润是收入与成本之差,又在经济学中,函数 ?(x) 的边际利润函数 M?x)定义为:M?x)=?(x+1)-?(x). ①求利润函数 P(x)及边际利润函数 MP(x); (利润=产值-成本) ②问该公司的利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)是否具有相等的最大值? 解:①P(x)= R(x)- C(x)= -20x +2500x-4000 (x∈N*,且 x∈[1,100]); MP(x)= P(x+1)- P(x)=-40x+2480(x∈N*,且 x∈[1,100]); 125 2 ②P(x)= -20 (x- )+74125 (x∈N*,且 x∈[1,100]); 则当 x=62 或 63 时, P (x)max=74120 2 (元) ,因为 MP(x) =-40x+2480 为↘,则当 x=1 时,MP(x)max =2440 元,故利润函数与边际 利润函数不具有相等的最大值。 2、分段函数模型 ○相关链接○ (1)很多实际问题中变量间的关系,不能用同一个关系式给出,而是由几个不同的关 系式构成分段函数。如出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数。 (2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题, 将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起。要注意各段变量的范围,特别是端点值。 〖例 1〗某同学从甲地以每小时 6 千米的速度步行 2 小时到达乙地,在乙地耽搁 1 小时 后,又以每小时 4 千米的速度步行返回甲地。写出该同学在上述过程中,离甲地的距离 S(千 米)和时间 t(小时)的函数关系式,并作出函数图象。 解答: 先考虑由甲地到乙地的过程: 0≤t≤2 时, y=6t
2 2

再考虑在乙地耽搁的情况: 2<t≤3 时, y=12

最后考虑由乙地返回甲地的过程:

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3<t≤6 时,

y=12-4(t-3)

所以 S(t)=

?6t (0 ? t ? 2) ? ?12(2 ? t ? 3) ?? 4t ? 24(3 ? t ? 6) ?

函数图象(略) 〖例 2〗北京奥运会纪念章某特许专营店销售纪念章,每枚进价为 5 元,同时每销售一 枚这种纪念章还需向北京奥组委交特许经营管理费 2 元,预计这种纪念章以每枚 20 元的价格 销售时该店一年可销售 2000 枚,经过市场调研发现每枚纪念章的销售价格在每枚 20 元的基 础上每减少一元则增加销售 400 枚,而每增加一元则减少销售 100 枚,现设每枚纪念章的销 售价格为 x 元。 (1)写出该特许专营店一年内销售这种纪念章所获得的利润 y(元)与每枚纪念章的销 售价格 x 的函数关系式(并写出这个函数的定义域) 。 (2)当每纪念章销售价格 x 为多少元时,该特许专营店一年内利润 y(元)最大,并求 出这个最大值。 分析: (1)利润=(售价-进价-管理费)×(销售的纪念章数) ,注意价格取值是分段的; (2)分段函数求最值时,要分段求,然后比较大小。 解答: (1)依题意

? ?? ? 2000 ? 400 ? 20 ? x ?? ? ? x ? 7? y?? ?? ? 2000 ? 100 ? x ? 20 ?? ? ? x ? 7? ?
即y??

0 ? x ? 20 20 ? x ? 40

? ? 400 ? 25 ? x ?? x ? 7 ? ? ?100 ? 40 ? x ?? x ? 7 ?

0 ? x ? 20 20 ? x ? 40

此函数的定义域为(0,40)

? 400 ? ? ? x ? 16 ?2 ? 81? ? ? ? ? 2 (2) y ? ? ? ? 47 ? 1089 ? ?100 ? ? ? x ? ? ? ? 2 ? 4 ? ? ? ? ? ? ?

0 ? x ? 20 20 ? x ? 40

当 0<x ? 20,则当 x=16 时,ymax=32400(元) ; 当 20<x<40,则当 x=

47 时,ymax=27225(元) 。 2

综上可得当 x=16 时,该特许专营店获得的利润最大为 32400 元。 注:分段函数是一类重要的函数,生活中很多实例都是分段函数模型,解决此类问题主

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要是构造分段函数,然后分步解决,构造分段函数时要力求准确、简捷,做到分段合理,不 重不漏。 3、指数函数模型 ○相关链接○ 指数函数模型的应用是高考的一个主要内容,常与增长率结合进行考查。在实际问题中 有人口增长、银行利率、细胞分裂等增长问题可以用指数函数模型来表示。通常可表示为

y ? a ?1 ? p? (其中 a 为原来的基础数, p 为增长率, x 为时间)的形式。
x

○例题解析○ 〖例〗某城市现有人口总数为 100 万人,如果年自然增长率为 1.2%,试解答下面的问题: (1)写出该城市人口总数 y(万人)与年份 x(年)的函数关系式; (2)计算 10 年以后该城市人口总数(精确到 0.1 万人) ; (3)计算大约多少年以后该城市人口将达到 120 万人(精确到 1 年) 。 (1.012 =1.127,1.012 =1.196,1.012 =1.210) 分析:列出前几年该城市人口总数 y 与年份 x 的函数关系 ?观察规律,总结出 y 与 x 的函数关系 ?按要求求解(2) 、 (3)两小题 解答: (1)1 年后该城市人口总数为 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%), 2 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%)+100×(1+1.2%) ×1.2%=100×(1+1.2%) 同理,3 年后该城市人口总数为:y=100×(1+1.2%) ???????? X 年后该城市人口总数为 y=100×(1+1.2%) (x∈N). (2)10 年后人口总数为 100×(1+1.2) ≈112.7(万) (3)设 x 年后该城市人口将达到 120 万人,即 100×(1+1.2%) =120,x=log1.0121.20≈ 16(年) 。 因此,大约 16 年以后城市人口将达到 120 万人。 注:高考数学试题中联系生活实际和生产实际的应用问题,其创意新颖,设问角度独特, 解题方法灵活,一般文字叙述长,数量关系分散且难以把握。解决此类问题关键要认真审题, 确切理解题意,进行科学的抽象概括,将实际问题纳为相应的数学问题,然后利用函数、方 程、不等式等有关知识解答。
x 10 x 3 2 2 10 15 16

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【感悟高考真题】
1、 (2010 上海文数) 17.若 (A) (0,1). 解析:

x0 是方程式 lg x ? x ? 2 的解, x 则 0 属于区间
(C) (1.25,1.75) (D) (1.75,2)

[答] ( D )

(B) (1,1.25).

7 7 1 构造函数 f ( x) ? lg x ? x ? 2,由f (1.75) ? f ( ) ? lg ? ? 0 4 4 4
f (2) ? lg 2 ? 0 知 x0 属于区间(1.75,2)

1 x x , x2 ∈ 2、 (2010 浙江文数) (9)已知 x 是函数 f(x)=2 + 1 ? x 的一个零点.若 1 ∈(1, 0 )
x



x 0 ,+ ? ) ,则
(A)f( (C)f(

x1 )<0,f( x 2 )<0 x1 )>0,f( x 2 )<0

(B)f( (D)f(

x1 )<0,f( x 2 )>0 x1 )>0,f( x 2 )>0

解析:选 B,考察了数形结合的思想,以及函数零点的概念和零点的判断,属中档题

?3x , x ? 1, f ( x) ? ? ?? x, x ? 1, 若 f ( x) ? 2 ,则 x ? 3、 (2009 北京文)已知函数

log3 2

.

【解析】5.u.c 本题主要考查分段函数和简单的已知函数值求 x 的值. 属于基础知识、基本运 算的考查.

?x ? 1 ?x ? 1 ? x ? log3 2 ? ? x 3 ?2 ? x ? 2 ? x ? ?2 无解,故应填 log3 2 . 由? ,?
4、 (2010 天津文数) (4)函数 f(x)= e ? x ? 2的零点所在的一个区间是
x

(A)(-2,-1) (B) (-1,0) 【答案】C

(C) (0,1)

(D) (1,2)

【解析】本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用,属于容易题。 因为 f(0)=-1<0 f(1)=e-1>0,所以零点在区间(0,1)上,选 C 【温馨提示】函数零点附近函数值的符号相反,这类选择题通常采用代入排除的方法求解。 5、 (2010 江苏卷)14、将边长为 1m 正三角形薄片,沿一条平行于底边的直线剪成两块,其中 一块是梯形,记 S ?
2 (梯形的周长) ,则 S 的最小值是____▲____。 梯形的面积

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[解析] 考查函数中的建模应用,等价转化思想。一题多解。 设剪成的小正三角形的边长为 x ,则: S ?

(3 ? x) 2 4 (3 ? x) 2 ? ? (0 ? x ? 1) 2 1 3 3 1? x ? ( x ? 1) ? ? (1 ? x) 2 2

(方法一)利用导数求函数最小值。

4 (3 ? x)2 4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x)2 ? (?2 x) ? , S ( x) ? S ( x) ? ? ? 2 (1 ? x2 )2 3 1? x 3 ? 4 (2 x ? 6) ? (1 ? x 2 ) ? (3 ? x)2 ? (?2 x) 4 ?2(3x ? 1)( x ? 3) ? ? ? (1 ? x 2 )2 (1 ? x2 )2 3 3

1 S ?( x) ? 0, 0 ? x ? 1, x ? , 3 1 1 当 x ? (0, ] 时, S ?( x) ? 0, 递减;当 x ? [ ,1) 时, S ?( x) ? 0, 递增; 3 3
故当 x ?

1 32 3 时,S 的最小值是 。 3 3

(方法二)利用函数的方法求最小值。

4 t2 4 1 1 1 1 S ? ? ? ? 3 ? x ? t , t ? (2,3), ? ( , ) 令 ,则: 2 8 t 3 2 3 ?t ? 6t ? 8 3 ? ? 6 ?1 t2 t
故当 ?

1 t

3 1 32 3 , x ? 时,S 的最小值是 。 8 3 3

6、 (2010 湖北理数)17. (本小题满分 12 分) 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层。某幢建 筑物要建造可使用 20 年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为 6 万元。该建筑物每年的能 源消耗费用 C (单位: 万元) 与隔热层厚度 x (单位: cm) 满足关系: C (x) =

k (0 ? x ? 10), 3x ? 5

若不建隔热层,每年能源消耗费用为 8 万元。设 f(x)为隔热层建造费用与 20 年的能源消耗 费用之和。 (Ⅰ)求 k 的值及 f(x)的表达式。 (Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用 f(x)达到最小,并求最小值。

17.本小题主要考查函数、函数等基础知识,同时考查运用数学知识解决实际问题的能力 .(满 分 12 分)
用心 爱心 专心 - 13 -

解答:(I)设隔热层厚度为 xcm,由题设,每年能源消耗费用为 C ( x) ? k=40,因此 C ( x) ? 费用之和为

k .再由 C(0)=8,得 3x ? 5

40 ,而建造费用为 C1 ( x) ? 60 .最后得隔热层建造费用与 20 年能源消耗 3x ? 5 40 800 ? 6x ? ? 6 x(0 ? x ? 10) 3x ? 5 3x ? 5

f ( x) ? 20C ( x) ? C1 ( x) ? 20 ?
(II)

2400 2400 25 .令f ?( x) ? 0, 即6= .解得x ? 5, x ? ? (舍去). 2 2 (3x ? 5) (3x ? 5) 3 当0 ? x ? 5时,f ?( x) ? 0, 当5 ? x ? 10时,f ?( x) ? 0, 故x ? 5是f ( x)的最小值点, f ?( x) ? 6 ? 800 ? 70. 15 ? 5 当隔热层修建5cm厚时,总费用达到最小值70万元. 对应的最小值为f (5) ? 6 ? 5 ?

7、 (2009 广东卷理) (本小题满分 14 分) 已知二次函数 y ? g ( x) 的导函数的图像与直线 y ? 2 x 平行,且 y ? g ( x) 在 x ? ?1 处取得极

小值 m ? 1(m ? 0) .设

f ( x) ?

g ( x) x .

(1)若曲线 y ? f ( x) 上的点 P 到点 Q (0, 2) 的距离的最小值为 2 ,求 m 的值; (2) k (k ? R) 如何取值时,函数 y ? f ( x) ? kx 存在零点,并求出零点. 解: (1)依题可设 g ( x) ? a( x ? 1) ? m ? 1 ( a ? 0 ),则 g ' ( x) ? 2a( x ? 1) ? 2ax ? 2a ;
2



g? ? x ?

的图像与直线 y ? 2 x 平行

? 2a ? 2

a ?1

? g ( x) ? ( x ? 1) ? m ? 1 ? x ? 2x ? m ,
2 2

f ? x? ?

g ? x? m ? x? ?2 x x ,



P ? xo , yo ?

2 2 | PQ | 2 ? x0 ? ( y 0 ? 2) 2 ? x0 ? ( x0 ?

,则

m 2 ) x0

2 ? 2 x0 ?

m2 ? 2m ? 2 2m 2 ? 2m ? 2 2 | m | ?2m 2 x0
2 0

m2 2x ? 2 x0 时, | PQ | 2 取得最小值,即 | PQ | 取得最小值 2 当且仅当
用心 爱心 专心 - 14 -

当 m ? 0 时, 当 m ? 0 时,

(2 2 ? 2)m ? 2 (?2 2 ? 2)m ? 2

解得 m ?

2 ?1

解得 m ? ? 2 ? 1

(2)由

y ? f ?x ??kx ? ?1 ?k x? ?

m ? ? 2 0 ?1? k ?x 2 ? 2x ?m ? 0 x ( x ? 0 ),得

?*?

当 k ? 1 时,方程

?*?

x??
有一解

m m x?? y ? f x ? kx ? ? 有一零点 2 ,函数 2;

?*? 有二解 ? ? ? 4 ? 4m ?1? k ? ? 0 , 当 k ? 1 时,方程
若m ? 0,

k ? 1?

1 m,

函数

y ? f ? x ? ? kx
k ? 1?

x?
有两个零点

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) 1 ? 1 ? m(1 ? k ) x? 2(1 ? k ) k ?1 ,即 ;

若m? 0,

1 m,

函数

y ? f ? x ? ? kx

x?
有两个零点

? 2 ? 4 ? 4m(1 ? k ) 1 ? 1 ? m(1 ? k ) x? 2(1 ? k ) k ?1 ,即 ;
k ? 1? 1 m,

?*? 有一解 ? ? ? 4 ? 4m ?1? k ? ? 0 , 当 k ? 1 时,方程
函数

y ? f ? x ? ? kx

x?
有一零点

1 ? ?m k ?1 x??
有一零点

综上,当 k ? 1 时, 函数

y ? f ? x ? ? kx

m 2;

k ? 1?


1 1 k ? 1? m ( m ? 0 ),或 m ( m ? 0 )时,

函数

y ? f ? x ? ? kx

x?
有两个零点

1 ? 1 ? m(1 ? k ) k ?1 ;

k ? 1?


1 1 x? ? ?m y ? f x ? kx ? ? m 时,函数 k ?1 有一零点 .

【考点精题精练】
用心 爱心 专心 - 15 -

一、选择题 1、 (09-10 学年·广东深圳深圳高中高二期末(文) )若函数 f(x)=x3+x2-2x-2 的一个正数零 点附近的函数值用二分法逐次计算,参考数据如下表:

f(1)=-2 f(1.25)=-0.984 f(1.438)=0.165

f(1.5)=0.625 f(1.375)=-0.260 f(1.4065)=-0.052

那么方程 x3+x2-2x-2=0 的一个近似根(精确到 0.1)为( C ) A、1.2 B、1.3 C、1.4 D、1.5

2、 若函数 y ? f ( x) 在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线, 则下列说法正确的是 ( D ) A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 解析: 由零点存在性定理可知选项 D 不正确; 对于选项 B, 可通过反例 “ f ( x) ? x( x ? 1)(x ? 1) 在区间 [?2,2] 上满足 f (?2) f (2) ? 0 ,但其存在三个解 {?1,0,1} ”推翻;同时选项 A 可通过反 例“ f ( x) ? ( x ? 1)(x ? 1) 在区间 [?2,2] 上满足 f (?2) f (2) ? 0 ,但其存在两个解 {?1,1} ” ;
2 选项 D 正确,见实例“ f ( x) ? x ? 1 在区间 [?2,2] 上满足 f (?2) f (2) ? 0 ,但其不存在实数

解” 3、关于“二分法”求方程的近似解,说法正确的是(D) A. “二分法”求方程的近似解一定可将 y ? f ( x) 在[a,b]内的所有零点得到; B. “二分法”求方程的近似解有可能得不到 y ? f ( x) 在[a,b]内的零点; C.应用“二分法”求方程的近似解, y ? f ( x) 在[a,b]内有可能无零点; D. “二分法”求方程的近似解可能得到 f ( x) ? 0 在[a,b]内的精确解;

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- 16 -

解析:如果函数在某区间满足二分法题设,且在区间内存在两个及以上的实根,二分法只可 能求出其中的一个,只要限定了近似解的范围就可以得到函数的近似解,二分法的实施满足 零点存在性定理,在区间内一定存在零点,甚至有可能得到函数的精确零点。 4、若函数 以是 A.

f ? x?

的零点与

g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2

的零点之差的绝对值不超过 0.25, 则

f ? x?



f ? x ? ? 4x ?1
f ? x ? ? e x ?1

B.

f ? x ? ? ( x ?1)2

C.

1? ? f ? x ? ? In ? x ? ? 2? ? D.

答案 A

解析

1 f ? x ? ? 4x ?1 f ? x ? ? ( x ?1)2 f ? x ? ? e x ?1 的零点为 x= 4 , 的零点为 x=1, 的零点为

1? ? 3 f ? x ? ? In ? x ? ? x 2 ? ? 的零点为 x= 2 . 现在我们来估算 g ? x ? ? 4 ? 2x ? 2 的零点,因为 x=0,
1 1 f ? x? g ? x ? ? 4x ? 2x ? 2 g(0)= -1,g( 2 )=1,所以 g(x)的零点 x ? (0, 2 ),又函数 的零点与
的零点之差的绝对值不超过 0.25,只有

f ? x ? ? 4x ?1

的零点适合,故选 A。

5、某种商品,现在每件定价 p 元,每月卖 n 件。根据市场调查显示,定价没上涨 x 成,卖出 的数量将会减少 y 成,如果涨价后的销售总金额是现在的 1.2 倍,则用 x 来表示 y 的函数关 系式为( C ) (A) y ? (C) y ?
10x ? 20 x ?10 10x ? 20 x ? 10

(B) y ? (D) y ?

10 x ? 10 x ? 10

10x ? 20 x ? 10

6、某种细菌在培养过程中,每 15 分钟分裂一次(由一个分裂成两个) ,这种细菌由 1 个繁殖 成 4096 个需经过( C ) (A) 12 小时 (B) 4 小时 (C) 3 小时 (D) 2 小时 7、 世界人口已超过 56 亿, 若按千分之一的年增长率计算, 则两年增长的人口就相当于 ( D ) (A) 新加坡(270 万) (B)香港(560 万) (C) 瑞士(700 万) (D) 上海(1200 万) 8、拟定从甲地到乙地通话 m 分钟的电话费 f(m)=1.06*(0.50*[m]+1)给出,其中 m>0,[m]是大 于 m 的最小整数(如[3]=3,[3.7]=4,[5.1]=6) 。则从甲地到乙地通话时间为 5.5 分钟的通话 费为( C ) (A) 3.01 (B) 3.97 (C) 4.24 (D)4.77 9、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。2003 年某地区农民人均收入为 3150 元(其

用心

爱心

专心

- 17 -

中工资性收入为 1800 元,其它收入为 1350 元), 预计该地区自 2004 年起的 5 年内,农 民的工资性收入将以每年 6%的年增长率增长,其它收入每年增加 160 元。根据以上数据, 2008 年该地区农民人均收入介于( B ) (A)4200 元~4400 (C)4600 元~4800 元 (B)4400 元~4600 元 (D)4800 元~5000 元

10、 抽气机每次抽出容器内空气的 60%, 要使容器内的空气少于原来的 0.1%, 则至少要抽 ( C ) (已知 lg2 ? 0.0310) (A)6 次 (B)7 次 (C)8 次 (D)9 次

11、方程 lgx+x=3 的解所在区间为( C ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,+∞)

解析:在同一平面直角坐标系中,画出函数 y=lgx 与 y=-x+3 的图象(如图)。它们的交点横坐 标

x0 ,显然在区间(1,3)内,由此可排除 A,D 至于选 B 还是选 C,由于画图精确性的限制, x0 与 2 的大小。当 x=2 时,lgx=lg2,3-x=1。由

单凭直观就比较困难了。实际上这是要比较 于 lg2<1,因此

x0 >2,从而判定 x0 ∈(2,3),故本题应选 C。

12、 (安徽·合肥 168 中高三段考(理) )11.下面关于函数 f ( x) ? 3x ? 5x ? 7 x 的零点说法中 正确的是(B) A.不存在零点 C.有且仅有两个零点 答案:B 二、填空题 1、由于微电子技术的飞速发展,计算机的成本不断下降,若每隔 5 年计算机的价格降低 , 则现在价格为 8100 元的计算机经过 15 年的价格应降为______2400 元_____. 2、建造一个容积为 8 立方米,深为 2 米的长方体无盖水池,如果池底和池壁的造价每平方米 分别为 120 元和 80 元,那么水池的最低造价_______1760____元 3、 ( 湖北同 升湖实 验学校 · 2010 届高三 月考(文 ) ) 函数
1 3

B.有且仅有一个零点 D.有两个或两个以上零点

f ( x) ? 1 ? 2 x ? 1 , 则方 程

f ( x) ? 2 x ? 1 的实根的个数是__2__
4、函数 f(x) =
ln x ? 2 x 的零点所在的大致区间是
用心 爱心 专心

(2,e)
- 18 -

三、解答题 1、 (09-10 学年?广东深圳深圳高中高二期末(文) ) (本小题满分 14 分).通过研究学生的学 习行为,专家发现,学生的注意力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时,学生的兴 趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设 f (t)表示学生注意力随时间 t(分钟)的变化规律(f(t)越大,表明学生注意力越集中) ,经过 实验分析得知:

??t 2 ? 24t ? 100,0 ? t ? 10 ? f (t ) ? ?240, 10 ? t ? 20 ??7t ? 380, 20 ? t ? 40 ?
(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能持续多少分钟? (2)讲课开始后 5 分钟与讲课开始后 25 分钟比较,何时学生的注意力更集中? (3)一道数学难题,需要讲解 24 分钟,并且要求学生的注意力至少达到 180,那么经过适当安 排,老师能否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目? 解: (1)当 0 ? t ? 10时 , f (t ) ? ?t ? 24t ? 100 ? ?(t ? 12) ? 244是增函数?1 分,
2 2

且 f (10) ? 240????2 分;

当20 ? t ? 40时 , f (t ) ? 7t ? 380 是减函数????3 分,
且 f (20) ? 240????4 分. 所以,讲课开始 10 分钟,学生的注意力最集中,能持续 10 分钟????5 分.

, f (25) ? 205????7 分, (2) f (5) ? 195
故讲课开始 25 分钟时,学生的注意力比讲课开始后 5 分钟更集中????9 分.

, 则t ? 4 ????11 分; (3)当 0 ? t ? 10 时, f (t ) ? ?t ? 24t ? 100 ? 180
2

当 20 ? t ? 40 ,令 f (t ) ? ?7t ? 380 ? 180, 则t ? 28.57 ????12 分,
2

则学生注意力在 180 以上所持续的时间 28.57-4=24.57>24????13 分, 所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的状态下讲授完这道题????14 分. 2、设函数 f ( x) ? x ? ln( x ? m) ,其中常数 m 为整数。 (1)当 m 为何值时, f ( x) ? 0 ;

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- 19 -

(2)定理:若函数 g ( x) 在 [ a, b] 上连续,且 g (a ) 与 g (b) 异号,则至少存在一点 使得

x0 ? (a, b) ,

g ( x0 ) ? 0
?m

?e 试用上述定理证明:当整数 m ? 1 时,方程 f ( x) ? 0 在 ?

? m, e 2 m ? m ? ?

内有两个实根。

解析: (1)函数 f(x)=x-ln(x+m),x∈(-m,+∞)连续,且

f ' ( x) ? 1 ?

1 , 令f ' ( x) ? 0, 得x ? 1 ? m x?m

当 x∈(-m,1-m)时,f ’(x)<0,f(x)为减函数,f(x)>f(1-m) 当 x∈(1-m, +∞)时,f ’(x)>0,f(x)为增函数,f(x)>f(1-m) 根据函数极值判别方法,f(1-m)=1-m 为极小值,而且 对 x∈(-m, +∞)都有 f(x)≥f(1-m)=1-m 故当整数 m≤1 时,f(x) ≥1-m≥0 (2)证明:由(I)知,当整数 m>1 时,f(1-m)=1-m<0, 函数 f(x)=x-ln(x+m),在 [e
?m

? m,1 ? m] 上为连续减函数.

f (e ? m ? m) ? e ? m ? m ? ln(e ? m ? m ? m) ? e ? m ? 0 当整数m ? 1时, f (e ?m ? m)与f (1 ? m)异号,
由所给定理知,存在唯一的 x1 ? (e 而当整数 m>1 时,
?m

? m,1 ? m),使f ( x1 ) ? 0

2m(2m ? 1) ? 3m ? 0 2 (? m ? 1 ? 2m ? 1 ? 1, 上述不等式也可用数学 归纳法证明 ) f (e 2 m ? m) ? e 2 m ? 3m ? (1 ? 1) 2m ? 3m ? 1 ? 2m ?
类似地, 当整数 m>1 时, 函数 f(x)=x-ln(x+m),在 [1 ? m, e 与 f (e
2m ?m

? m] 上为连续增函数且 f(1-m)

? m) 异号,由所给定理知,存在唯一的 x2 ?[1 ? m, e ?m ? m, ],使f ( x2 ) ? 0
?m

故当 m>1 时,方程 f(x)=0 在 [e

? m, e 2m ? m] 内有两个实根

用心

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